九年级上册 第4章 第12课时图形的位似(1)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

数学·九年级·全册（北师大版） 第12课时 图形的位似(1) 新课母 1.位似多边形的概念：一般地，如果两个 多边形任意一组对应顶点P,P所在的直线都经过同一个 点O,且有 (k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.k就是这 两个相似多边形的相似比. 2.位似多边形的性质：位似图形具有 的一切性质；对应点所在直线必过 ;位似图 形任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于 3.画位似图形的步骤：第一步：确定 (位似中心可以在图形外部，或在图形内部，或在图形的 边上，还可以在某一个顶点上)；第二步：画出图形各顶点与位似中心O的连线；第三步：按 伞 点；第四步：顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形， 知识点①位似的概念 例1如图，在正方形网格中，两 变式1如图，AB∥CD,AO=3CO,则△AOB和 个阴影部分的格点三角形位似， △COD的位似中心为 ,相似比为 则位似中心为 ( B A.点M B.点N C.点P D.点Q 知识点2位似多边形的性质及应用 例2如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O 变式2如图，以点O为位似 为位似中心的位似图形，若OA:OA'=2:3,则 中心，作四边形ABCD的位 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比 似图形A'B'CD',已知 A 为 OA 3,若四边形ABCD的面 积是2，则四边形A'B'C'D'的面积是 A.4 B.6 C.16 D.18 知识点3作位似图形 例3如图，以点O为位似中心，画出将四边形ABCD缩小成原来的一半的图形. ●>74● 第四章 图形的相似 变式3如图，在平面直角坐标系中： (1)画出一个以点B为位似中心的图形△A1B1C1,使△A1BC1与△ABC的相似 比为2：1； (2)在第三象限内，以原点O为位似中心，画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC 的相似比为1：2； (3)S△ABC:S△A,B,C= 课堂检 基础过关 1.下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的2.如图的两个四边形是位似图形，位似中心是 是 D. A.点M B.点N C.点O D.点P 3.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的4.如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，且相似 位似图形，相似比为2：3，则△ABC和△DEF 比是1：2. 的面积比是 ,周长比为 (1)请在图中画出位似中心O; (2)若AB=2cm,则A'B'= cm; (3)AC:A'C'= (4)AB与A'B的位置关系为 圆能力检测 5.如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D,E,F 分别是OA,OB,OC的中点，若△DEF与△ABC所围的图形（阴影部分）的 面积为30cm,则△DEF的面积为 ●>75●参考苔案 2.5,13.2 DC∥AB,∴.△DCE∽△ABE 【例1】(1)证明：，DB=2AD,EC=2AE 2 【例1】C 器器即= 【变式1】(40√5-40) x6+y 品}能=子把怎 根据题意可知，∠DCF=∠ABF=90°， 又，∠A=∠A,.△ADE△ABC 【变式2】解：(1)5+1 2 ∠DFC=∠AFB.∴.△DCF∽△ABF, (2)解：△ADEp△ABC, (2)矩形DCEF为黄金矩形，理由如下： ,即人62 器 .C△ABC:C△ADE=3:1. 由(1)知，AD=BC=5+1 .2 CAARC=27 cm,.CAADE=9 cm 4 1.6 2 2 6+y y .解得y=6.∴. 6 【变式1】解：DE∥BC, ·FD=EC=AD-AF=5+1-1 解得x=4.8. ∠ADE=∠B,∠AED=∠C 2 答：路灯的高度AB为4.8m. .△ADEn△ABC. 21器-2÷1 因为相似三角形的周长之比等于相似比， EF 2 第10课时 相似三角形的性质(1) .AD:AB=2:3,AD=4,∴.AB=6. 故矩形DCEF为黄金矩形 ,.DB=ABAD=6-4=2. 课堂检测了 【新课学习 【例2】解：DE∥FG∥BC, 等于相似比 1 1.A2.5-13.(5-1) 22 .∠ADE=∠AFG=∠ABC, 4.(40√5-40) 【例1】证明：：△ABC∽△A'B'C', ∠AED=∠AGF=∠ACB, 5.解：(1)，正方形ABCD的边长是2，点 ∴== ,∴，△ADEC∽△AFGC∽△ABC =k,∠B=∠B, P是边AB的中点， :S△ADE=SI边形DFGE=S阳边形FBCG, ∴.AB=AD=2,AP=1,∠BAD=90° ∠BAC=∠B'A'C'. :AD,A'D'分别是∠BAC,∠BA'C'的平 sE=号，SE=1 ∴.PD=√AP2+AD-5. S△APG Z’SAABC 39 分线，.∠BAD=∠BA'D ∴.DE:FG:BC=1:√2：3 PF=PD,AF=√5-1. 六△ABD△AB'D.C=A 【变式2】解：，四边形ABCD为平行四边 在正方形AMEF中，AM=AF=√J5-1, ADAB 7=k. 形，∴.AB=CD,AB∥CD, DM=AD-AM=3-√5. 【变式1】(1)4(2)8 (2)点M是线段AD的黄金分割点.理 【变式2】证明：，△ABC∽△A'B'C', DE:EC=2:3, .∠ABD=∠A'B'D'..AD和A'D'是 .DE:AB-DE:DC-2:5. 由如下：由(1)得，AD·DM=2(3一√5) 高，·∠ADB=∠A'D'B' DE∥AB,△DEF∽△BAF =6-25. 六△ABD△A'B'D.A5 AD 又，AM=(W5-1)2=6-25, AB ∴.AP=AD·DM AB 同理可得，始-5∴05 BE .点M是线段AD的黄金分割点 课堂检测 4 4 第9课时利用相似三角形测高 25+10351 【新课学习】 1A2.C3.等m 4.12 课堂检测】 成正比 5.解：(1)四边形EGHF为正方形， 1.B2.B3.1:44.2:3 【例1】解：设此高楼的高度为hm, .BC∥EF,∴.△AEFp△ABC. 5.(1)证明：四边形ABCD是平行四边 在同一时刻，有人测得一高为1.8m的 设正方形零件的边长为xmm, 形，∠A=∠C,AB∥CD..∠ABF= 竹竿的影长为3m,某高楼的影长为60m, KD=EF=x mm,AK=(80-x)mm. ∠CEB,,.△ABF∽△CEB. 与-命解得h=36(m. ADLBC,BC-AD' (2)解：四边形ABCD是平行四边形 .AD∥BC,AB∥CD,AB=CD. 答：高楼的高度是36m. 【变式1】(33+2)m 即-80 .△EFD∽△EBC,△BFA∽△EFD 80 解得x=48.故这个正方形零件的边长 .DE= 【例2】解：(1)根据题意，得∠CBF= 2CD,.. ED 1 ∠ABG,∠FCB=∠GAB,.△FCBC∽ 是48mm. △GAR小器器 (2)设PN=2y,则PQ=y. SAEBC ()-(3)‘- 根据题意可知，△APN∽△ABC AG=1.2 m,CF=1.8 m,AC=6 m, (是)=2=4 格9 2义=80y 80 ,△DEF的面积为2， AB 40 解得AB=2.4.经检验，符合题意 解得y=7 S△mc=18,S△FA=8, .S网边形De=SAc-S△Er=18-2=16. 故AB的长是2.4m. (2)根据题意知，∠GAB=∠EDB,∠GBA .PN 249×2-49(mm）, ,.S2ABCD=Sg边形DF十S△ABr=16十8=24， .平行四边形ABCD的面积为24. =∠EBD,'.△EDB∽△GAB. 恶器即叶4。 故这个矩形零件的两条边长是9m, 2.4 480 第12课时 图形的位似(1) 7 mm .DE=3.8m. 【新课学习 【例3】13.5 【变式2】15.6 1.相似OP=k·OP T课堂检测 第11课时 相似三角形的性质(2) 2.相似图形位似中心 相似比 1.C2.543.20 【新课学习 3.位似中心O相似比 4.解：设AB=xm,BF-ym,根据题意可 相似比相似比的平方令 1 【例1】D 【变式1】点03：1 知，CD=1.6m,CE=4m,CF=2m. 【例2】4：9 【变式2】D 3 高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 【例3】解：如答图，四边形A'BC'D'即为 【课堂检测 .∠ACB=∠DFE 所求. 1.B2.D3.(2,2)4.3 5.解：(1)如答图，△OB'C即为所求； 答图 答图 【变式3】解：(1)(2)画图如答图所示 又，∠ABC=∠DEF=90°， △ABCn△DER.∴0-器 答图 .'AB=6 m,BC=2 m,EF=3 m, (2)一2×3=-6，-2×(-1)=2， -2×2=一4，-2×1=一2， ∴E=号，解得DE=9m B,C两点的对应点B',C的坐标为 【变式2】解：如答图，根据题意知，BC B(-6,2),C(-4,-2). 4 m,CD=1 m,MN=1 m,NH=2 m. 6.(-2,1)或(4，-1) (3)16:1 【课堂检测了 第14课时《图形的相似》 D M 1.C2.D3.4:92:3 热门考点整合应用 竹竿 【知识体系】 GN H 4.解：(1)如答图所示，点O即为所求， 答图 B ①ad=bc +-台 ,'△ABGp△MNH,△DCGp△MNH, b BG CD CG ③5-1 .A MN-NH'MN NH 2 ④相等⑤成比例⑥相等 ..AB_4+CG.1_CG B ⑦成比例⑧成比例⑨相似比 2一，1=21 答图 ⑩相似比 ①相似比的平方 解得CG=2,AB=3. (2)4(3)1:2(4)平行 基础巩固 .古树AB的高为3m. 5.10cm 1.A2.C3.34.1:35.2 课堂检测了 第13课时 6.1:3:67.13.6 1.A2.D3.B4.4.8 图形的位似(2)】 【新课学习 8.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边 5.解：BN∥AM,∠CBN=∠A, 形，.AD∥BG,DC∥AB. ∠CNB=∠M..△CBN∽△CAM. 24-2-440 -402x ∴·△ADE∽△GBE,△DEF∽△BEA. 2y一2x-2y位似坐标原点 |(kx。,kyo)或（一kxo,一ky%) 噐-器器器盖器 解得AC=3..AB=3-1=2(m). 【例1】3663【变式1】C ∴.AE=EF·EG. 答：窗户的高度为2m. 【例2】解：(1)如答图1，连接AA1,BB1,两 (2)3:2 6.解：(1)如答图， 直线的交点即为位似中心M,点M的坐 【能力提升】 点O为灯 0 标为(-1,1)， 泡的位置， 9.乙和丁 FH为小亮 10.宽长1910+6√5或4√5 在灯光下的 解：(2)存在，理由如下：设MN=2a, 影子 A D 答图 则BC=MB=MN=2a.由折叠可知 (2)AB∥OD,.△ABC∽△DOC ME=BE=a.矩形BCDF就是黄金 8器8 1.4 纯形，既- 2 解得DO=4..路灯的高为4m 答图1 然图2 (2)C(3)(-2a,2b) ∴.BF=(5-1)a. ∴.MF=MB+BF=(5+1)a. 第2课时视图(1) (2)△ABC与△A1B1C1的位似比即对应 边之比，为司 2a √5-1 【新课学习】 5(5+1)a2 2.正面左面上面3.长高宽 (3)作图如答图2， ,矩形MNDF为黄金矩形 4.矩形矩形 圆等腰三角形 【变式2】解：(1)A(1,3),C(5,1); 圆（有圆心）圆 (2)如答图，△A'B'C即为所求，A'(2,6), 【例1】解：如答图所示： C(10,2) 第五章投影与视图 第1课时投影 新课学可 主视图 左视图 影子平行垂直 【例1】D 【变式1】A 【例2】解：如答图，.DF∥AC, 俯视图 答图 14