4.8 图形的位似 第2课时 教学设计 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦图形位似在坐标系中的应用，以“图形放大与缩小”为核心知识点，通过复习相似图形与位似图形的区别建立认知支架，再由原点位似入手，逐步过渡到非原点位似，层层递进地构建知识体系，帮助学生从直观感知走向抽象归纳。 本设计亮点突出，体现数学眼光、数学思维与数学语言的融合。例如，用“手机壁纸设计”情境激发兴趣，引导学生观察坐标变化规律，发展几何直观和符号意识；通过画图、填表、讨论三步探究活动，强化推理能力和逻辑表达，如总结出“对应点坐标比等于位似比或其相反数”的结论，体现数形结合思想；作业中设置多角度问题，训练模型意识和数据观念，提升解决实际问题的能力。对学生而言，能深化理解位似本质，增强动手实践与合作交流能力；对教师而言，提供清晰的教学路径与典型例题，便于实施分层教学与素养导向课堂。

4.8图形的位似第2课时 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是北师大版初中数学九年级（上册）第四章“图形的相似”的第8节。内容包括利用位似图形的性质进行图形的放大与缩小，具体包括在平面直角坐标系中绘制已知图形的位似图形，以及探究位似图形对应点坐标的变化规律。 （二）教学内容解析 本节课是对第一课时位似图形定义、性质的延伸应用，是“图形变换”知识体系的重要组成部分，承接平移、对称、旋转，进一步完善图形变形的学习。 从坐标系中研究位似图形，将“图形变换”与“坐标”结合，为后续学习函数图像、相似三角形的坐标应用奠定基础，同时培养学生的数形结合思想。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】坐标系中根据坐标的变化规律做出位似图形 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1、能利用位似图形的性质，在平面直角坐标系中画出已知图形的位似图形；掌握位似图形对应点坐标的变化规律。 2、通过动手画图、观察分析，经历“操作—归纳—应用”的过程，提升数形结合能力和逻辑推理能力。 3、感受图形变换的美学价值，激发数学学习兴趣；在小组合作中培养团队协作意识。 （二）教学目标解析 1、达成“知识与技能”目标的标志：学生能独立确定位似中心、位似比，准确画出位似图形；能总结出“以原点为位似中心时，对应点坐标比等于位似比（或其相反数）”的规律。 2、达成“过程与方法”目标的标志：学生能通过观察坐标系中不同位似图形的坐标变化，自主归纳规律，并用规律解决具体画图问题。 3、 达成“情感态度与价值观”目标的标志：学生主动参与画图活动，在小组讨论中积极表达观点，能欣赏自己或他人绘制的位似图形。 三、学生学情分析 已有基础：学生在第一课时已掌握位似图形的定义（对应顶点连线交于一点、对应边平行或共线、对应边成比例）和性质，且熟悉平面直角坐标系中图形的平移、对称变换，具备一定的图形操作能力。 潜在困难：难以准确确定位似中心（尤其是非原点的位似中心）和位似比的正负（影响图形与原图形的位置关系：同侧或异侧）。从具体图形的坐标变化中抽象出通用规律（如原点为位似中心时的坐标规律）存在难度。实际画图时容易出现“对应点连线不交于位似中心”“对应边不成比例”的错误。 确定本节课的教学难点为： 【教学难点】位似图形的坐标变换规律 四、教学策略分析 1、教法选择：情境教学法+分层探究法 创设“设计手机壁纸（图形放大/缩小）”的情境，激发学生的应用需求，引出“如何在坐标系中画位似图形”的问题。 分两层探究：第一层探究“以原点为位似中心”的位似图形绘制及坐标规律，第二层探究“以非原点为位似中心”的绘制方法，逐步加深难度，符合学生认知规律。 2. 学法指导：动手操作法+合作归纳法 让学生通过“画一画（用直尺、圆规画位似图形）”“填一填（记录对应点坐标）”“议一议（小组讨论坐标规律）”的活动，主动建构知识，避免被动接受。 五、教学过程分析 （一）复习引入 展示两组图片——第一组是“相似但非位似的图形”（如两个大小不同的正方形，顶点连线不交于一点），第二组是“位似图形”（如同一照片的不同尺寸打印件）。提问：“这两组图形都是相似图形，它们有什么不同？” 设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 问题1：如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(2，3)． 将点O，A，B的横坐标、纵坐标都乘2，得到三个点，以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比． 如果将点O，A，B的横坐标、纵坐标都乘-2呢？ 解：如下图所示，将点O，A，B的横坐标、纵坐标都乘2或-2，所得到的三角形都与原△OAB位似，位似中心均为点O，相似比均为2． 问题2：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(4，2)，B(8，6)，C(6，10)，D(-2，6)． 将点A，B，C，D的横坐标、纵坐标都乘，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比． 如果将点A，B，C，D的横坐标、纵坐标都乘呢？ 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论、动手画图，最后教师总结． 解：如下图所示，将点A，B，C，D的横坐标、纵坐标都乘或，所得到的四边形与原四边形ABCD位似，位似中心均为点O，相似比均为． 结论： 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为． 注意： 1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个． 2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k． 3. 当k＞1时，图形扩大为原来的k倍；当0＜k＜1时，图形缩小为原来的k倍． 例1：在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，A(6，0)，B(3，6)，C(-3，3)．以原点O为位似中心，画出四边形OABC的位似图形，使它与四边形OABC的相似比是2∶3． 师生活动：教师出示例题，分析、引导学生画图． 分析：为了使画出的四边形与原四边形的相似比为2∶3，可以将原四边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘，或都乘． 解：如图，有两种画法． 画法一：将四边形OABC各顶点的坐标都乘，得O(0，0)，A'(4，0)，B'(2，4)，C'(-2，2)；在平面直角坐标系中描出点A'，B'，C'，用线段顺次连接点O，A'，B'，C'，O，则四边形OA'B'C'就是符合要求的四边形． 画法二：将将四边形OABC各顶点的坐标都乘，得O(0，0)，A''(-4，0)，B''(-2，-4)，C''(2，-2)；在平面直角坐标系中描出点A''，B''，C''，用线段顺次连接点O，A''，B''，C''，O，则四边形OA''B''C''也是符合要求的四边形． （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1.在平面直角坐标系中，已知点A(6，4),B(4，-2),以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是（ ） A.(3，2) B.(12，8)或（-12，8） C.(12，8) D.(3，2)或（-3，-2） 2.在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以点O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若点B的对应点B′的坐标为(0，－6)，则点A的对应点A′的坐标为(　　) A．(－2，－4) B．(－4，－2) C．(－1，－4) D．(1，－4) 3. 原点O是△ABC 和△A′B′C′ 的位似中心，点A (1，0) 与点 A′ (－2，0) 是对应点，△ABC 的面积是，则 △A′B′C′ 的面积是 . 4.如图,已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形,点P是位似中心,若点B的坐标为(2,4),点E的坐标为(-1,2),则点P的坐标为______. 5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且点B(3,1),B'(6,2). (1)请你根据位似的特征并结合点B与点B'的坐标回答下列问题: ①若点A(,3 ),则点A'的坐标为________; ②△ABC与△A'B'C'的相似比为____________; (2)若△ABC的面积为m,求△A'B'C'的面积.(用含m的代数式表示) 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $