九年级上册 第4章 第8课时黄金分割-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

数学·九年级·全册（北师大版） 第8课时 黄金分割 新课学) ----- 1.黄金分割的概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图)，如果 ,那么称线段 AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的 ,AC与AB的比叫做 (记忆 法尖 2.黄金比的值：如图，点C是线段AB的黄金分割点，设AB=1,AC=x, 则BC=1-会6-肥即1-，解得=，即黄金比的位号 2 (约0.618). 3.一条线段有 个黄金分割点， 知识点黄金分割的定义及应用 变式1（教材P98T1改编）如图，乐器上的一根 例1如图所示，点B是线段AC的黄金分割点 弦AB=80cm,两个端点A,B固定在乐器板面 (AB>BC),则下列结论中，正确的是 ( 上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，则AC L B cm.（结果保留根号) A.AC2=AB2+BC2 B.BC2=AC.AB c怨 D.BC-5-1 AC 2 变式2 帕提侬神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是 52的矩形.我们将这种宽与长的比是5的短形叫黄金矩形.如图1，已知黄金知形ABCD的 2 宽AB=1. (1)黄金矩形ABCD的边长BC= (2)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形 ABEF,得到新的矩形DCEF,猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并 证明你的结论， 图1 图2 ●>664● 第四章 图形的相似 课堂检测 迟基础过关 1.如图，线段AB 2.符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上 =1,点P是线 的美感.在如图所示的五角星中，C,D两点都 段AB靠近点A的黄金分割点，点P1是线段 是AB的黄金分割点，若AB=2,则AC的长 AP靠近点A的黄金分割点，点P2是线段 是 AP1靠近点A的黄金分割点，…，依此类推，则 线段AP2o2s的长是 A(3≥5)e B.(35)2oe 2 C.(5-l)202s 2 D.5- 2 3.黄金分割是汉字结构最基本 M 4.某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所 的规律，借助如图的正方形习 示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的 字格书写的汉字“晋”端庄稳 高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD 重、舒展美观.已知一条分割 之比是黄金比，已知CD=80cm,则AB的长 线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ 度是 cm. 上，且AB∥NP,“晋”字的笔画“、”的位置在 D AB的黄金分割点C处，若NP=2cm,则BC 的长为 cm(结果保留根号. 30 cm 能力检测 5.如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取边AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上 取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在边AD上， (1)求AM,DM的长； (2)点M是AD的黄金分割点吗？为什么？ ●>674高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 【变式2】解：，四边形ABCD是正方形 20 .△ABCc∽△DEF .BC=AB=4,∠B=∠C=90° AC 3 【变式1】解：相似. ∴∠BAE+∠AEB=9O. CD 4 3'BD 3 证明：AB=2,AC=2√5， ,EF⊥AE,.∠AEF=90° ..4c BC CD BD BC=2√2，DE=√2， ∴.∠AEB+∠CEF=90°. 又.∠ACB=∠D=90°，∴.△ABC∽△CBD. DF=√/10，EF=2, ∴.∠BAE=∠CEF 【例2】(1)解：相似.理由：：四边形 △AEBn△EFC,∴0- CF ABCD是正方形，.AD=CD=BC, 提易器-- 2 ,点E是边BC的中点， ∠C=∠D=90° BE=CE=2.∴号=品CF=1 2 又：Q是CD的中点，∴CQ=DQ=号AD, DE w/10 .△ABCC∽△DEF! 【课堂检测 BP-3PC.CP-BC-AD. 【例2】证明：如答图， 1.B2.∠C3.6 过点C作CH⊥OB, 4.证明：，∠1=∠2，∴∠1+∠CAD= 器贤 交OB于点H. ∠2+∠CAD,.∠BAC=∠DAE. 又，∠C=∠D=90°，.△ADQ△QCP. 由A,B,C三点的坐标 又，∠B=∠D,∴.△ABCn△ADE. (2)证明：由(1)知，△ADQO△QCP, 可以得到OA=3,OB 5.证明：四边形ABCD为矩形， .∠AQD=∠QPC,∠DAQ=∠PQC. =4,AD=1,CD=2, ∴.∠C=90°，AD∥BC .∠PQC+∠DQA=∠DAQ+∠AQD= OH-=CD-2, ∴∠ADF=∠DEC. 90°.∠AQP=90°.AQ⊥QP. BH=OB-OH=2,CH=4, :AF⊥DE,∴.∠AFD=∠C=90, 【变式2】(1)证明：设正方形的边长为a, .AB=OA2+OB2=√/32+4=5， ∴.△DECC∽△ADF 则AC=Ea瓷-号 AC=√AD+CD=√1+2=5， 6.证明：(1)，∠A+∠ACD=90°， ∠BCD+∠ACD=90°， 又∠ACF=∠GCA, BC=√BH+CH=√2+4=2√5 ∴.∠A=∠BCD. .△ACF∽△GCA. 又CD是Rt△ABC的高， (2)解：由(1)得，△ACF∽△GCA, 在△ABC和△ACD中，S-=5, -1 ∴.∠ADC=∠CDB=90° .∠1=∠CAF.∴.∠1+∠2=∠CAF+ .△ACDc∽△CBD ∠2=∠ACB=45°， 器-5晨后6 CD 2 (2)△ACD∽△CBD,∴.SC=AC 〔课堂检测 CD ÷品-器是ABCAACD. ..CD=AD·BD. 7.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边 1.c2.B3445或写 【度式】E明：裙智 AD 形，.AD∥BC,AB∥CD 5.证明：，△ABC是等边三角形 .∠ADF=∠DEC,∠B+∠C=180° ,.AB=AC=BC,∠A=∠C=60°. 指又品-怨0。 .·∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE= AD 1 :点E为AB的中点，AC=3 CD AC AD ∠B,∴.∠B+∠AFD=180°. ∴C7=A℃=AD, ∴.∠C=∠AFD..△ADFO△DEC .△ADCc∽△A'D'C..∠A=∠A' (2),四边形ABCD是平行四边形， 又，∠A=∠C,∴.△AED△CBD, 又：S-铝△ABC△ABC ..AD=BC=6,.BE=2, ∴.∠AED=∠CBD ∴.CE=BC-BE=6-2=4, 6.解：设经过间ts后，则QC=(8-2t)cm, 【课堂检测】 DF=2EF,.'DE=EF+DF=3EF CP=t cm, 1.C2.C3.B4.135 △ADP∽△DEC,:AP=DF ①-%即-84 5.证明：：点D,E,F分别为OA,OB,OC DE一ECI t 的中点，∴由三角形的中位线定理，得 6 2EF 3EF 解得-号（⊙： DE EF FD 1 4 AB BC CA 2' ∴.EF=2.∴.DF=2EF=4. wt ∴.△DEF△ABC. .DF的长为4. ®-脚号-8a 6.解：由图知，AB=2,AD=1,BD=√5， 第6课时探索三角形相似的条件(2) 解得t= 0. Bc=5,Dc=m品店提 【新课学习 所以经过号s或器：后，△CPQ与 对应成比例夹角相等∠A=∠A' E=1,-5-1 △CBA相似. √105'BC55 【例】证明能-品合 1 第7课时探索三角形相似的条件(3) 部8-肥△ABDn△DCB, 【新课学习 ∴.∠BDC=∠BAD=135°. 又，∠A=∠D=70°，∴.△ABC△DEF AB AC BC 成比例AB=A℃=BC 7.吕和3或号和号或号和号 【变式1】证明：.∠ACB=90°， 8.△DFJ 且AB=25 【例1】解：△ABCP△DEF. BC=5, 理由如下：由题意知，AC=3, 第8课时 黄金分割 Ac=√()--9. BC=3.5,AB=4, DF=1.8,EF=2.1,DE=2.4, 【新课学习】 ∠D=90°，且BC=5,BD=3, .CD=√52-32=4. ∴品器提号 1福熙 黄金分割点黄金比 12 参考苔案 2.5,13.2 DC∥AB,∴.△DCE∽△ABE 【例1】(1)证明：，DB=2AD,EC=2AE 2 【例1】C 器器即= 【变式1】(40√5-40) x6+y 品}能=子把怎 根据题意可知，∠DCF=∠ABF=90°， 又，∠A=∠A,.△ADE△ABC 【变式2】解：(1)5+1 2 ∠DFC=∠AFB.∴.△DCF∽△ABF, (2)解：△ADEp△ABC, (2)矩形DCEF为黄金矩形，理由如下： ,即人62 器 .C△ABC:C△ADE=3:1. 由(1)知，AD=BC=5+1 .2 CAARC=27 cm,.CAADE=9 cm 4 1.6 2 2 6+y y .解得y=6.∴. 6 【变式1】解：DE∥BC, ·FD=EC=AD-AF=5+1-1 解得x=4.8. ∠ADE=∠B,∠AED=∠C 2 答：路灯的高度AB为4.8m. .△ADEn△ABC. 21器-2÷1 因为相似三角形的周长之比等于相似比， EF 2 第10课时 相似三角形的性质(1) .AD:AB=2:3,AD=4,∴.AB=6. 故矩形DCEF为黄金矩形 ,.DB=ABAD=6-4=2. 课堂检测了 【新课学习 【例2】解：DE∥FG∥BC, 等于相似比 1 1.A2.5-13.(5-1) 22 .∠ADE=∠AFG=∠ABC, 4.(40√5-40) 【例1】证明：：△ABC∽△A'B'C', ∠AED=∠AGF=∠ACB, 5.解：(1)，正方形ABCD的边长是2，点 ∴== ,∴，△ADEC∽△AFGC∽△ABC =k,∠B=∠B, P是边AB的中点， :S△ADE=SI边形DFGE=S阳边形FBCG, ∴.AB=AD=2,AP=1,∠BAD=90° ∠BAC=∠B'A'C'. :AD,A'D'分别是∠BAC,∠BA'C'的平 sE=号，SE=1 ∴.PD=√AP2+AD-5. S△APG Z’SAABC 39 分线，.∠BAD=∠BA'D ∴.DE:FG:BC=1:√2：3 PF=PD,AF=√5-1. 六△ABD△AB'D.C=A 【变式2】解：，四边形ABCD为平行四边 在正方形AMEF中，AM=AF=√J5-1, ADAB 7=k. 形，∴.AB=CD,AB∥CD, DM=AD-AM=3-√5. 【变式1】(1)4(2)8 (2)点M是线段AD的黄金分割点.理 【变式2】证明：，△ABC∽△A'B'C', DE:EC=2:3, .∠ABD=∠A'B'D'..AD和A'D'是 .DE:AB-DE:DC-2:5. 由如下：由(1)得，AD·DM=2(3一√5) 高，·∠ADB=∠A'D'B' DE∥AB,△DEF∽△BAF =6-25. 六△ABD△A'B'D.A5 AD 又，AM=(W5-1)2=6-25, AB ∴.AP=AD·DM AB 同理可得，始-5∴05 BE .点M是线段AD的黄金分割点 课堂检测 4 4 第9课时利用相似三角形测高 25+10351 【新课学习】 1A2.C3.等m 4.12 课堂检测】 成正比 5.解：(1)四边形EGHF为正方形， 1.B2.B3.1:44.2:3 【例1】解：设此高楼的高度为hm, .BC∥EF,∴.△AEFp△ABC. 5.(1)证明：四边形ABCD是平行四边 在同一时刻，有人测得一高为1.8m的 设正方形零件的边长为xmm, 形，∠A=∠C,AB∥CD..∠ABF= 竹竿的影长为3m,某高楼的影长为60m, KD=EF=x mm,AK=(80-x)mm. ∠CEB,,.△ABF∽△CEB. 与-命解得h=36(m. ADLBC,BC-AD' (2)解：四边形ABCD是平行四边形 .AD∥BC,AB∥CD,AB=CD. 答：高楼的高度是36m. 【变式1】(33+2)m 即-80 .△EFD∽△EBC,△BFA∽△EFD 80 解得x=48.故这个正方形零件的边长 .DE= 【例2】解：(1)根据题意，得∠CBF= 2CD,.. ED 1 ∠ABG,∠FCB=∠GAB,.△FCBC∽ 是48mm. △GAR小器器 (2)设PN=2y,则PQ=y. SAEBC ()-(3)‘- 根据题意可知，△APN∽△ABC AG=1.2 m,CF=1.8 m,AC=6 m, (是)=2=4 格9 2义=80y 80 ,△DEF的面积为2， AB 40 解得AB=2.4.经检验，符合题意 解得y=7 S△mc=18,S△FA=8, .S网边形De=SAc-S△Er=18-2=16. 故AB的长是2.4m. (2)根据题意知，∠GAB=∠EDB,∠GBA .PN 249×2-49(mm）, ,.S2ABCD=Sg边形DF十S△ABr=16十8=24， .平行四边形ABCD的面积为24. =∠EBD,'.△EDB∽△GAB. 恶器即叶4。 故这个矩形零件的两条边长是9m, 2.4 480 第12课时 图形的位似(1) 7 mm .DE=3.8m. 【新课学习 【例3】13.5 【变式2】15.6 1.相似OP=k·OP T课堂检测 第11课时 相似三角形的性质(2) 2.相似图形位似中心 相似比 1.C2.543.20 【新课学习 3.位似中心O相似比 4.解：设AB=xm,BF-ym,根据题意可 相似比相似比的平方令 1 【例1】D 【变式1】点03：1 知，CD=1.6m,CE=4m,CF=2m. 【例2】4：9 【变式2】D 3