九年级上册 第4章 第7课时探索三角形相似的条件(3)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 【变式2】解：，四边形ABCD是正方形 20 .△ABCc∽△DEF .BC=AB=4,∠B=∠C=90° AC 3 【变式1】解：相似. ∴∠BAE+∠AEB=9O. CD 4 3'BD 3 证明：AB=2,AC=2√5， ,EF⊥AE,.∠AEF=90° ..4c BC CD BD BC=2√2，DE=√2， ∴.∠AEB+∠CEF=90°. 又.∠ACB=∠D=90°，∴.△ABC∽△CBD. DF=√/10，EF=2, ∴.∠BAE=∠CEF 【例2】(1)解：相似.理由：：四边形 △AEBn△EFC,∴0- CF ABCD是正方形，.AD=CD=BC, 提易器-- 2 ,点E是边BC的中点， ∠C=∠D=90° BE=CE=2.∴号=品CF=1 2 又：Q是CD的中点，∴CQ=DQ=号AD, DE w/10 .△ABCC∽△DEF! 【课堂检测 BP-3PC.CP-BC-AD. 【例2】证明：如答图， 1.B2.∠C3.6 过点C作CH⊥OB, 4.证明：，∠1=∠2，∴∠1+∠CAD= 器贤 交OB于点H. ∠2+∠CAD,.∠BAC=∠DAE. 又，∠C=∠D=90°，.△ADQ△QCP. 由A,B,C三点的坐标 又，∠B=∠D,∴.△ABCn△ADE. (2)证明：由(1)知，△ADQO△QCP, 可以得到OA=3,OB 5.证明：四边形ABCD为矩形， .∠AQD=∠QPC,∠DAQ=∠PQC. =4,AD=1,CD=2, ∴.∠C=90°，AD∥BC .∠PQC+∠DQA=∠DAQ+∠AQD= OH-=CD-2, ∴∠ADF=∠DEC. 90°.∠AQP=90°.AQ⊥QP. BH=OB-OH=2,CH=4, :AF⊥DE,∴.∠AFD=∠C=90, 【变式2】(1)证明：设正方形的边长为a, .AB=OA2+OB2=√/32+4=5， ∴.△DECC∽△ADF 则AC=Ea瓷-号 AC=√AD+CD=√1+2=5， 6.证明：(1)，∠A+∠ACD=90°， ∠BCD+∠ACD=90°， 又∠ACF=∠GCA, BC=√BH+CH=√2+4=2√5 ∴.∠A=∠BCD. .△ACF∽△GCA. 又CD是Rt△ABC的高， (2)解：由(1)得，△ACF∽△GCA, 在△ABC和△ACD中，S-=5, -1 ∴.∠ADC=∠CDB=90° .∠1=∠CAF.∴.∠1+∠2=∠CAF+ .△ACDc∽△CBD ∠2=∠ACB=45°， 器-5晨后6 CD 2 (2)△ACD∽△CBD,∴.SC=AC 〔课堂检测 CD ÷品-器是ABCAACD. ..CD=AD·BD. 7.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边 1.c2.B3445或写 【度式】E明：裙智 AD 形，.AD∥BC,AB∥CD 5.证明：，△ABC是等边三角形 .∠ADF=∠DEC,∠B+∠C=180° ,.AB=AC=BC,∠A=∠C=60°. 指又品-怨0。 .·∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE= AD 1 :点E为AB的中点，AC=3 CD AC AD ∠B,∴.∠B+∠AFD=180°. ∴C7=A℃=AD, ∴.∠C=∠AFD..△ADFO△DEC .△ADCc∽△A'D'C..∠A=∠A' (2),四边形ABCD是平行四边形， 又，∠A=∠C,∴.△AED△CBD, 又：S-铝△ABC△ABC ..AD=BC=6,.BE=2, ∴.∠AED=∠CBD ∴.CE=BC-BE=6-2=4, 6.解：设经过间ts后，则QC=(8-2t)cm, 【课堂检测】 DF=2EF,.'DE=EF+DF=3EF CP=t cm, 1.C2.C3.B4.135 △ADP∽△DEC,:AP=DF ①-%即-84 5.证明：：点D,E,F分别为OA,OB,OC DE一ECI t 的中点，∴由三角形的中位线定理，得 6 2EF 3EF 解得-号（⊙： DE EF FD 1 4 AB BC CA 2' ∴.EF=2.∴.DF=2EF=4. wt ∴.△DEF△ABC. .DF的长为4. ®-脚号-8a 6.解：由图知，AB=2,AD=1,BD=√5， 第6课时探索三角形相似的条件(2) 解得t= 0. Bc=5,Dc=m品店提 【新课学习 所以经过号s或器：后，△CPQ与 对应成比例夹角相等∠A=∠A' E=1,-5-1 △CBA相似. √105'BC55 【例】证明能-品合 1 第7课时探索三角形相似的条件(3) 部8-肥△ABDn△DCB, 【新课学习 ∴.∠BDC=∠BAD=135°. 又，∠A=∠D=70°，∴.△ABC△DEF AB AC BC 成比例AB=A℃=BC 7.吕和3或号和号或号和号 【变式1】证明：.∠ACB=90°， 8.△DFJ 且AB=25 【例1】解：△ABCP△DEF. BC=5, 理由如下：由题意知，AC=3, 第8课时 黄金分割 Ac=√()--9. BC=3.5,AB=4, DF=1.8,EF=2.1,DE=2.4, 【新课学习】 ∠D=90°，且BC=5,BD=3, .CD=√52-32=4. ∴品器提号 1福熙 黄金分割点黄金比 12数学·九年级·全册（北师大版） 第7课时 探索三角形相似的条件(3) 新课 相似三角形的判定定理3：如果两个三角形三边 ,那么这两个三角 形相似. 几何语言：， ,∴.△ABCn△A'B'C 知识点①三边成比例的两个三角形相似 变式1如图，在4×4的正方形网格中，△ABC 例①判断图中的两个三角形是否相似，并说明 和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格 理由. 点上.△ABC与△DEF是否相似？证明你的 结论、 2.4 18 21 例2如图，在平面直角坐标系中，已知A(3,0),变式2 如图，在△ABC和△A'B'C'中，D,D'分 B(0,4),C(4,2),作CD⊥x轴，垂足为点D,连接 AB,BC,AC.求证：△ABC∽△ACD. 别是AB,上-点铝-招当品 AC=AB时，求证：△ABC△A'B'C'. AC AB AD￥ ●640 第四章 图形的相似 课堂检 基础过关 1.下列数据分别表示两个三角形的三边长，则两2.若△ABC的各边都分别扩大为原来的2倍， 个三角形相似的是 ) 得到△A'B'C',则下列结论正确的是( A.2,4,5与4,9,12 A.△ABC与△A'B'C'的对应角不相等 B.3,5,7与√3，√5，√7 B.△ABC与△A'BC'不一定相似 C.3,2,4与9,12,6 C.△ABC与△A'B'C'的相似比为1：2 D.2.5,5,4与0.5,11,1.5 D.△ABC与△A'B'C的相似比为2：1 3.下列四个三角形中，与题图中的三角形相似4.如图1，纸船是一种充满童趣和创意的手工作 的是 ( 品，它可以帮助孩子们锻炼手部协调能力和创 造力，并感受到快乐与成就感.如图2是其示 意图，△ABC和△EDF的顶点都在4×5的网 格的格点上，则∠BAC 图1 图2 5.如图，O为△ABC内一点，点D,E,F分别为6.如图，在1×5的正方形的网格中有四边形 OA,OB,OC的中点，求证：△DEF∽△ABC. ABCD,求∠BDC的度数. 能力检测 7.要做两个形状为三角形的框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4,5,6，另一个三角形框架的一边 长为2，欲使这两个三角形相似，该三角形框架的另两边长可以是 8.如图，△ACD的三个顶点均在1×4的网格的格点上，现任选三个格 点，组成一个格点三角形与△ACD相似（不全等），则这个格点三角 形可以是 (写出一个即可) ●>65●