4.4 课时4 黄金分割 课件 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

4.4 课时4 黄金分割 22200 1 1.理解并掌握黄金分割和黄金比的概念. 2.能利用黄金分割求线段的长. 学习目标 22200 A B C L K D E G H F 一个五角星如图所示 （1）从图中找出相等的角、相等的线段. （2）在图中找出两对相似比不同的相似三角形. 如△ACD∽△ABF，△FGH∽△ DGC 小亮认为， .你同意他的看法吗？说说你的理由. 情境导入 22200 3 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果 ，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比. A B C 新知讲解 22200 A A C 例 计算黄金比. 解：由 ，得AC 2＝AB·BC 设AB＝1，AC＝x， ∴ x2＝1×（1－x） 即x2＋x－1＝0 解这个方程，得 （不合题意，舍去） 则BC＝1－x . 所以，黄金比 经典例题 22200 较长线段 原线段 ＝ 较短线段 较长线段 比值称为黄金比，近似值为0.618 线段AB被点C黄金分割 黄金分割点 A A C 黄金比是一个比值﹐它没有单位! 新知讲解 22200 A B C 黄金分割是一种分割线段的方法，每条线段有两个黄金分割点.如图，点C和点D都是线段AB的黄金分割点. D 并且AD＝BC，AC＝BD. 新知讲解 22200 A B D C E F 图1 图2 如果把图1中用虚线表示的矩形画成图2中的 ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD. 新知讲解 22200 A B D C E F 图1 图2 那么我们可以惊奇地发现 点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗? 新知讲解 22200 A B D C E F 图2 由 ，可得 即 因此点E是AB的黄金分割点. 是黄金比， （即 ） 也就是说，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比. 新知讲解 22200 黄金分割在几何作图上有很多应用,如五角星形的各边是按黄金分割划分的. A B C L K D E G H F 新知讲解 22200 黄金分割也被应用于各种艺术品创作当中 绘画：《蒙娜丽莎》 雕像：《维纳斯》 苹果logo 新知讲解 22200 影视中的黄金分割使画面更加自然大方与舒适 新知讲解 22200 公认最完美的人体比例也和黄金分割挂钩 新知讲解 22200 自然界中的黄金分割 生活中的黄金分割 新知讲解 22200 黄金分割点的作法 方法一： 如图，已知线段AB， （1）过点B作BD⊥AB，使AB＝2BD； （2）连接AD，在DA上截取DE＝DB； （3）在AB上截取AC＝AE； 点C即为所求的黄金分割点. A B D E C 新知讲解 22200 方法二： 如图，已知线段AB， （1）以线段AB为边作正方形ABCD； （2）取AD的中点E，连接EB； （3）延长DA至点F，使EF＝EB； （4）以AF为边作正方形AFGH； A B D C E 点H即为所求的黄金分割点. F G H 新知讲解 22200 1. 在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近 0.618 越给人以美感. 小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为 0.60，她的身高为 1.60 m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？ 解：设肚脐到脚底的距离为 x m， 根据题意，得 ，解得 x = 0.96. 设穿上 y m 高的高跟鞋看起来会更美，则 解得 y ≈ 0.075，而 0.075m = 7.5 cm. 故她应该穿约为 7.5 cm 高的高跟鞋看起来会更美. 随堂练习 22200 2. 如图：在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 36°， BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，求证：D 是 AC 的黄金分割点. 证明：在等腰△ABC 中，顶角∠A = 36°， 所以∠ABC =∠C = 72°， ∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD =∠DBC = 36°， 在△ACB 和△BCD 中，∠BDC = 72°， ∵∠C =∠C，∠A =∠CBD = 36°，∴△ACB∽△BCD， ∴AC : BC = BC : DC； A B D C 随堂练习 22200 ∵∠A =∠ABD， ∴AD = BD. ∵∠DBC = 36°，∠C = 72°， ∴∠BDC = 72°， ∴BD = BC， ∴AD = BC， ∴AC : AD = AD : DC； 即点 D 是 AC 的黄金分割点． A B D C 随堂练习 22200 较长线段 原线段 ＝ 较短线段 较长线段 比值称为黄金比，近似值为0.618 线段AB被点C黄金分割 黄金分割点 A A C 课后总结 22200 $$