九年级上册 第4章 第5课时探索三角形相似的条件(1)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

参考皆案 7.D8.①)3：2(2)号 【例2】解：，'AD=4cm,AB=7cm, 【变式2】解：梯形AEFDO∽梯形EBCF .DB=AB-AD=7-4=3(cm). 9.解：根据题意知，AB=2AE 架能器 一EB 小矩形长边与短边的比等于原来矩 DEBC品瓷即 又，AD=4,BC=9 形长边与短边的比， EC-15 ,.EF2=AD·BC=4X9=36 cm. 架铝即在 4 .EF>0,∴.EF=6. 4 .AE=2√2，AE=-2√2（舍去）. 【变武爆：/c怒部是 .AB=4√2. 又GF/c,瓷-5 【例3】解：不相似，理由如下： 设四周的小路的宽为x, 第2课时 成比例线段(2) 部-是FD=号AF-号x6=4 :30+2x=15+z,20+2x-10+x 30 1520 10 新课学可] .AD=AF+FD=6+4=10. 【例3】9 【变式3】1：3：2 :30+22≠20+2z 1.ad=be号-音2.号 3.±d 30 20 d 【课堂检测 .小路四周所围成的矩形A'BC'D'和矩 【例1】A 【变式1】B 1.C2.B3.2:5 形ABCD不相似. 【例2】C 【变式2】A 4.解：DE∥BC, 【变式3】解：当矩形A'B'CD'和矩形ABCD 【例3】解：令受=学-音-， ∴.AE:CE=AD:BD=1:2. 相似时，302型-202，解得二=名 EF∥AB, 30 20 y 3 则x=2k,y=3k,x=4k. ..BF:CF=AE:CE=1:2. 2y十32-2h36+12k=11k-1是 CF=8,.BF=4. 所以当小路的宽x与y的比值为号时， 3x+2y 6k+6k 12k-12 5.解：D是BC的中点，∴.BD=CD. 矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似. 【变式31解：设号=台-千=6(>0， :MN/DE8B-器 【课堂检测) 则a=2k,b=3k,c=4k. 1.D2.B3.C .EN=CE. .a+b+c=27,∴.9k=27,∴.k=3. MN∥DE,M是AD的中点， 4.解：设AD=BC=,则AF=之x. .a=6,b=9,c=12, .∴.AM=DM.,'.AN=EN, ∴.a-b+c=6-9+12=9. '矩形ABEFO矩形ABCD, ..AN=EN=CE. 【变式4】解：设a-c=-2k,a十b=7k,c ∴.AN:NC=1:2. b=k,.a-c+(a+b)+(c-b)=-2k+ 7k+k,即2a=6, 6解：AE/DP0器 x 4 EF x>0,.x=42,即AD=4√2， .a=3k,.b=4k,c=5k. ".a+b+c=24,.∴.3k+4k+5k=24, 即36 5.解：不相似.理由如下： .k=2,.a=6,b=8,c=10. ,∴.BE=BF+EF=36+24=60. 根据题意可知，AB=CD=3m, AD=BC=5 m. 【课堂检测】 DE/AC8器，脚是是 ,小路宽1m, 1.D2.①②③④ ∴.CE=40,∴.CF=CE+EF=64. ∴.A'B'=5m,A'D'=7m 3.解：(D3a=26号=号 即EF的长为24，CF的长为64. 号=号∴设a=2k6=80, (2): 第4课时 相似多边形 滑≠铝 3a+6 6k+3k9k 【新课学习] ∴两个矩形不相似 91 1.各角成比例 4解：能-器-部日 2.对应边的比相同A'B'C 第5课时探索三角形相似的条件(1)】 .BE=2AE,DE=2CE,BD-2AC, 【例1】A 【新课学习) ·△BDE的周长为BE+DE+BD= 【变式1】证明：在菱形ABCD中， 1.相等成比例 2AE+2CE+2AC-2(AE+CE+AC) ,∠B=50°，∴.∠D=50°，∠A=130°， =2×15=30(cm). ∠C=130°.在菱形A'B'CD'中， ∠A=∠A',∠B=∠B :∠B=50°，.∠D=50°，∠A'=130° 2.相等∠A=∠A',∠B=∠B 5解：1)设号=冬=台=4（≠0）. ∠C=130°..∠A=∠A', 【例1】证明：：DE∥BC, ∠B=∠B',∠C=∠C,∠D=∠D .∠ADE=∠B,∠AED=∠C .a=5t,b=4t,c=6t, .∴.△ADE∽△ABC. 代入2a+,得2a+b_10+_14=2 又菱形的四条边均相等， 【变式1】解：△AED和△ACB相似.证明 3c 3c 18t18t9 (2)由题意知，a+b十c=60,则5t+4t+6t 4 如下：∠A=∠A,∠B=∠ADE, ∴.△AED∽△ACB. =60,解得t=4...a=20,b=16,c=24. 菱形ABCD∽菱形A'B'C'D' 【例2】(1)证明：DC∥AB, 6.D7.A 【例2】解：（1)·四边形ABCD∽四边形 A'B'C'D',.∠A=∠A'=130 ∴.∠B=∠ECF,∠BAF=∠E. 第3课时 平行线分线段成比例 ∴∠D=360°-60°-80°-130°=90° .△ABF∽△ECF ,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D', (2)解：AD=BC, 【新课学习 AD=5 cm,AB=8 cm,CF=2 cm 1.平行线成比例 4x6 .'BF=3 cm. 2.成比例怎 AB .x=10,y=3. 由(1)知，△ABF∽△ECF, BEBE 【例1】6 【变式13 (2)2 器器品-cE-9 高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 【变式2】解：，四边形ABCD是正方形 20 .△ABCc∽△DEF .BC=AB=4,∠B=∠C=90° AC 3 【变式1】解：相似. ∴∠BAE+∠AEB=9O. CD 4 3'BD 3 证明：AB=2,AC=2√5， ,EF⊥AE,.∠AEF=90° ..4c BC CD BD BC=2√2，DE=√2， ∴.∠AEB+∠CEF=90°. 又.∠ACB=∠D=90°，∴.△ABC∽△CBD. DF=√/10，EF=2, ∴.∠BAE=∠CEF 【例2】(1)解：相似.理由：：四边形 △AEBn△EFC,∴0- CF ABCD是正方形，.AD=CD=BC, 提易器-- 2 ,点E是边BC的中点， ∠C=∠D=90° BE=CE=2.∴号=品CF=1 2 又：Q是CD的中点，∴CQ=DQ=号AD, DE w/10 .△ABCC∽△DEF! 【课堂检测 BP-3PC.CP-BC-AD. 【例2】证明：如答图， 1.B2.∠C3.6 过点C作CH⊥OB, 4.证明：，∠1=∠2，∴∠1+∠CAD= 器贤 交OB于点H. ∠2+∠CAD,.∠BAC=∠DAE. 又，∠C=∠D=90°，.△ADQ△QCP. 由A,B,C三点的坐标 又，∠B=∠D,∴.△ABCn△ADE. (2)证明：由(1)知，△ADQO△QCP, 可以得到OA=3,OB 5.证明：四边形ABCD为矩形， .∠AQD=∠QPC,∠DAQ=∠PQC. =4,AD=1,CD=2, ∴.∠C=90°，AD∥BC .∠PQC+∠DQA=∠DAQ+∠AQD= OH-=CD-2, ∴∠ADF=∠DEC. 90°.∠AQP=90°.AQ⊥QP. BH=OB-OH=2,CH=4, :AF⊥DE,∴.∠AFD=∠C=90, 【变式2】(1)证明：设正方形的边长为a, .AB=OA2+OB2=√/32+4=5， ∴.△DECC∽△ADF 则AC=Ea瓷-号 AC=√AD+CD=√1+2=5， 6.证明：(1)，∠A+∠ACD=90°， ∠BCD+∠ACD=90°， 又∠ACF=∠GCA, BC=√BH+CH=√2+4=2√5 ∴.∠A=∠BCD. .△ACF∽△GCA. 又CD是Rt△ABC的高， (2)解：由(1)得，△ACF∽△GCA, 在△ABC和△ACD中，S-=5, -1 ∴.∠ADC=∠CDB=90° .∠1=∠CAF.∴.∠1+∠2=∠CAF+ .△ACDc∽△CBD ∠2=∠ACB=45°， 器-5晨后6 CD 2 (2)△ACD∽△CBD,∴.SC=AC 〔课堂检测 CD ÷品-器是ABCAACD. ..CD=AD·BD. 7.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边 1.c2.B3445或写 【度式】E明：裙智 AD 形，.AD∥BC,AB∥CD 5.证明：，△ABC是等边三角形 .∠ADF=∠DEC,∠B+∠C=180° ,.AB=AC=BC,∠A=∠C=60°. 指又品-怨0。 .·∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE= AD 1 :点E为AB的中点，AC=3 CD AC AD ∠B,∴.∠B+∠AFD=180°. ∴C7=A℃=AD, ∴.∠C=∠AFD..△ADFO△DEC .△ADCc∽△A'D'C..∠A=∠A' (2),四边形ABCD是平行四边形， 又，∠A=∠C,∴.△AED△CBD, 又：S-铝△ABC△ABC ..AD=BC=6,.BE=2, ∴.∠AED=∠CBD ∴.CE=BC-BE=6-2=4, 6.解：设经过间ts后，则QC=(8-2t)cm, 【课堂检测】 DF=2EF,.'DE=EF+DF=3EF CP=t cm, 1.C2.C3.B4.135 △ADP∽△DEC,:AP=DF ①-%即-84 5.证明：：点D,E,F分别为OA,OB,OC DE一ECI t 的中点，∴由三角形的中位线定理，得 6 2EF 3EF 解得-号（⊙： DE EF FD 1 4 AB BC CA 2' ∴.EF=2.∴.DF=2EF=4. wt ∴.△DEF△ABC. .DF的长为4. ®-脚号-8a 6.解：由图知，AB=2,AD=1,BD=√5， 第6课时探索三角形相似的条件(2) 解得t= 0. Bc=5,Dc=m品店提 【新课学习 所以经过号s或器：后，△CPQ与 对应成比例夹角相等∠A=∠A' E=1,-5-1 △CBA相似. √105'BC55 【例】证明能-品合 1 第7课时探索三角形相似的条件(3) 部8-肥△ABDn△DCB, 【新课学习 ∴.∠BDC=∠BAD=135°. 又，∠A=∠D=70°，∴.△ABC△DEF AB AC BC 成比例AB=A℃=BC 7.吕和3或号和号或号和号 【变式1】证明：.∠ACB=90°， 8.△DFJ 且AB=25 【例1】解：△ABCP△DEF. BC=5, 理由如下：由题意知，AC=3, 第8课时 黄金分割 Ac=√()--9. BC=3.5,AB=4, DF=1.8,EF=2.1,DE=2.4, 【新课学习】 ∠D=90°，且BC=5,BD=3, .CD=√52-32=4. ∴品器提号 1福熙 黄金分割点黄金比 12数学·九年级·全册（北师大版） 第5课时 探索三角形相似的条件(1) 新课学 -● 1.相似三角形的定义：三角分别 三边 的两个三角形叫做相似三角形 ,∠C=∠C,AA℃=B, AB AC BC 几何语言： .△ABCp△A'BC. 2.相似三角形的判定定理1：两角分别 的两个三角形相似. 几何语言： ,∴.△ABC∽△A'B'C'. 知识点有两个角相等的两个三角形相似 例1如图，在△ABC中，DE∥BC.求证：△ADE 变式1如图，∠B=∠ADE,指出图中一对相似 p△ABC. 三角形并证明. 例2如图，在梯形ABCD中，DC∥AB,AD= 变式2如图，在正方形ABCD中，点E是边BC BC,E是DC延长线上的点，连接AE,交BC于 的中点，连接AE,EF⊥AE交CD边于点F,已 点F 知AB=4,求CF的长， (1)求证：△ABFp△ECF; (2)如果AD=5cm,AB=8cm,CF=2cm,求 CE的长 ●>604 第四章 图形的相似 课堂检 基础过关 1.在△ABC和△A'B'C'中，若∠A=68°，∠B=2.如图，点D在边AC上，若∠ABD= 40°，∠A'=68°，∠C=72°，则这两个三角形 则△ADB△ABC. ( A.全等或相似 B.相似 C.全等 D.无法确定 3.如图，∠A=∠C,AB=4,CD=8,AO=3,则4.如图，∠B=∠D,∠1=∠2.求证：△ABC OC= p△ADE. 5.如图，在矩形ABCD中，点E为BC上一点，连6.（教材P90T3改编）如图，CD是Rt△ABC的高， 接DE,过点A作AF⊥DE于点F,求证： ∠ACB=90° △DECU∽△ADF. 求证：(1)△ACDp△CBD; (2)CD2=AD·BD. 能力检测 7.如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连接DE,点F为线段DE上一点，且 ∠AFE=∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC; (2)若BE=2,AD=6,且DF=2EF,求DF的长度. ●>610