九年级上册 第4章 第1课时成比例线段(1)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

第四章 图形的相似 第1课时 成比例线段(1) 1.两条线段的比：如果用 量得两条线段a,b的长度分别为m,n,则 就是线段a,b 的比，记作a:6=m:n或号- n .两条线段的比实际上是两个数的比 2.成比例线段：对于四条线段ab,c,d,如果a和b的比等于c和d的比（即号=台或a:b=c:D,那么，这 四条线段叫做 ,简称比例线段，也称这四条线段成比例.（注意，a,b,c,d必须按顺序 写出). 3.比的基本性质：1)如果号=台，那么 6 (b≠0，d≠0)； (2)如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0)，那么 知识点①两条线段的比（长度比）】 变式1已知线段AB,在BA的延长线上取一点 例1(1)已知线段a=4cm,b=6cm,a与b的比 C,使CA=3AB,则线段CA与线段CB的比为 为 (2)已知线段a=4cm,b=6m,则a与b的比为 A.3:4 B.2:3 C.3:5 D.1:2 知识点2成比例线段 例2下列各组的四条线段是成比例线段的是 变式2判断下列各组线段是不是比例线段？ (是的打“/”，不是的打“×”) A.4,6,5,10 B.1,2,3,4 (1)1,2,4,8( ）(2)1,2,3,4 ( C.√2,3,2，√3 D.2,√5,2√3，√15 (3)3,1,6,2( (4)1,√2，√2,2( 例3线段a,b,c,d是成比例线段，a=9cm,b= 变式3若四条线段a,b,c,d成比例，且a=3, 6cm,c=3cm,则d的长为 cm. b=4,c=6,则d= A.2 B.4 C.4.5 D.8 知识点③比的基本性质 刚已知号 b a≠0，b≠0)，下列变形错误的 变式4把mn=pg写成比例式，错误的是 是 ( A名- A=9 B.卫=n 3 B.2a=3b 力n m q C. b3 D.3a=2b C.9=2 D.m-卫 2 m p n g a ●>524● 第四章 图形的相似 课堂检测 圆基础过关 1.下列各组线段（单位：cm)中，是成比例线段的 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则 是 ( BC与AC的比为 A.1,2,3,4 B.1,2,2,4 A.1:2 B.2:1 C.3,5,9,13 D.1,2,2,3 C.1:√3 D.√3：1 3.在比例尺为1：900000的安徽黄山交通图中， 4.若非零实数x,y满足y=2x,则x：y等于 黄山风景区与市政府所在地之间的距离是 4厘米，这两地的实际距离是 ( A.1:2 B.2:1 A.2250厘米 B.3.6千米 C.-1:2 D.-2:1 C.2.25千米 D.36千米 5.等边三角形的一边与这条边上的高的比是 6.如图，在△ABC中，D,E分别 是AB,AC的中点，则A B A.√3：2 B.√3：1 C.2:3 D.1:√3 能力检测 7.《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的8.(1)如果x:(x十y)=3:5,那么x：y “粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带 壳的谷子，粝米指糙米)，其意为“50单位的粟， (2)若兰-号，则 可换得30单位的粝米”，问题：有4斗的粟(1 斗=10升)，若按照此“粟米之法”，则可以换得 粝米为 A.1.8升B.2.4升C.18升D.24升 9.(教材P79T3改编)如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折(EF为折痕)，得到两个全等的小矩 形.如果小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，若AD=4,求AB的长， ●>534高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 共出现12种等可能的结果，其中点在第四 【例2】解：(1)设口袋中的黄球个数为x个， 第5课时《概率的进一步认识》 象限的有2种：0.3，-2)，0.3，-2号)， 热门考点整合应用 7 根据题意，得2十十子，解得。1， 2 “P(点在第四象限)=2=6。 经检验，x=1是原方程的解 【知识体系】 口袋中黄球的个数为1. ①画树状图②列表 课堂检测 (2)画树状图如下： 江基础巩固 1.C2.B3.C4.号 开始 1.A2.C3.D4.D5.A6.5 7.解：列表如下： 5.解：(1)由题意画树状图，如图所示： 红 甲 乙 分 入 红，黄蓝红，黄蓝红，红，蓝红，红，黄 (甲，乙) (甲，丙)（甲，丁） 一共有12种等可能的结果，两次摸到球 的颜色是红色与黄色的结果有4种， (乙，甲) (乙，丙)（乙，丁） 3 ∴两次摸到球的颜色是红色与黄色结果 丙 《丙，甲)（丙，乙） (丙，丁) ∴.共有12种等可能的结果，其中乙摸 的概率为2=3 4 丁 丁，甲)丁，乙)（丁，丙） 到标有数字是3的乒乓球（记事件A) 由列表可知，共有12种等可能的结果， 有3种情况：(2,3)，(6,3)，(6,3)， 【变式2100 其中甲、乙两名同学同时被选中的情况 Pa=是= 课堂检测 有2种，∴甲、乙两名同学同时被选中 (2)甲摸到的球面数字不小于乙摸到 1.B2.A3.B 4B56号 的概率是品=合 1 的数字的情况有7种， 〔能力提升了 P(甲获胜)=P(乙获胜)= 5 7.解：(1)画树状图可知，共有6种等可能 的结果，它们是(1，-1)，(1,2)，(2， 8.解：(1)画树状图可知，共有12种等可 :P(甲获胜)>P(乙获胜)，这个规 1),(2,2),(-3,-1),(一3,2) 能的结果，其中甲获胜的结果有8种， 则不公平. 开始 甲胜的概率为-号 可将规则改为：甲、乙两人分别摸球，甲 开始 先摸，摸出后不放回，乙再摸，如果他们 摸出的球面数字之和为偶数，则甲赢， 否则乙赢.（修改规则答案不唯一，只要 (2)点“P在第一象限的结果数为2，所以 概率相等即可) 点P落在第一象限的概率为名=子 3 (2)不公平.由树状图可知，乙获胜的结 第3课时用树状图或表格求概率(3) 第4课时 用频率估计概率 果有4种，乙获胜的概率为是=子 〔新课学可】 【新课学习 【例1】解：列表如下， 2、1 3>3游戏不公平。 1.频率2.概率频率≈概率 9.解：(1)0.15 红 蓝 蓝 【例1】B 【变式1】B 【例2】B 【变式2】A (2)盒子里的白球有60×0.15=9（个）， 红 (红，红) (红，蓝) (红，蓝) 答：盒子里白色的球有9个 【课堂检测] (3)设需要往盒子里再放人9个白球， 红 (红，红) (红，蓝) (红，蓝) 1.D2.C3.B4.305.14 根据题意，得+=0.25.解得x=8。 蓝 (蓝，红) (蓝，蓝) (蓝，蓝) 6.(1)0.25 (2)解：60×0.25=15,60-15=45. 经检验，x=8是原分式方程的解. 黄 (黄，红) (黄，蓝) (黄，蓝) 答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有 答：如果要使摸到白球的概率为0.25， 需要往盒子里再放入8个白球. 上面等可能出现的12种结果中，有5种 15个、45个 情况可以得到紫色，所以可配成紫色的概 (3)设需要往盒子里再放人x个白球， 率是品 根据题意，得5+号，解得x=15, 第四章 图形的相似 答：需要往盒子里再放入15个白球. 第1课时 成比例线段(1) 【变式1】解：由树状图可知共有9种等可能 的结果，其中能配成紫色的有5种结果， 7.解：(1)相同(2)2 【新课学习】 开始 (3)画树状图为： 开始 1.同一个长度单位兴 红 绿 白 2.成比例线段3.ad=bc合=音 B蓝蓝红 蓝蓝红 红 绿白白红白白红绿白红绿白 【例1】(1)2：3(2)1：150 则小颖赢的概率是日，小明赢的概率是 共有12种等可能的结果，其中两次摸 【变式1】A 【例2】D 出的球颜色不同的结果共有10种，所 【变式2】/×√/ 台“哥>青游戏不公平。 4 以两次换出的球颜色不同的概率为}吕 【例3】2 【变式3】D 【例4】B 【变式4】D 可改为：若两次转出的全是红色，小颖赢； 课堂检测】 若两次转出的全是蓝色，小明赢，若能配 6 成紫色，两个转盘重新转。 1.B2.C3.D4.A5.C6 10 参考皆案 7.D8.①)3：2(2)号 【例2】解：，'AD=4cm,AB=7cm, 【变式2】解：梯形AEFDO∽梯形EBCF .DB=AB-AD=7-4=3(cm). 9.解：根据题意知，AB=2AE 架能器 一EB 小矩形长边与短边的比等于原来矩 DEBC品瓷即 又，AD=4,BC=9 形长边与短边的比， EC-15 ,.EF2=AD·BC=4X9=36 cm. 架铝即在 4 .EF>0,∴.EF=6. 4 .AE=2√2，AE=-2√2（舍去）. 【变武爆：/c怒部是 .AB=4√2. 又GF/c,瓷-5 【例3】解：不相似，理由如下： 设四周的小路的宽为x, 第2课时 成比例线段(2) 部-是FD=号AF-号x6=4 :30+2x=15+z,20+2x-10+x 30 1520 10 新课学可] .AD=AF+FD=6+4=10. 【例3】9 【变式3】1：3：2 :30+22≠20+2z 1.ad=be号-音2.号 3.±d 30 20 d 【课堂检测 .小路四周所围成的矩形A'BC'D'和矩 【例1】A 【变式1】B 1.C2.B3.2:5 形ABCD不相似. 【例2】C 【变式2】A 4.解：DE∥BC, 【变式3】解：当矩形A'B'CD'和矩形ABCD 【例3】解：令受=学-音-， ∴.AE:CE=AD:BD=1:2. 相似时，302型-202，解得二=名 EF∥AB, 30 20 y 3 则x=2k,y=3k,x=4k. ..BF:CF=AE:CE=1:2. 2y十32-2h36+12k=11k-1是 CF=8,.BF=4. 所以当小路的宽x与y的比值为号时， 3x+2y 6k+6k 12k-12 5.解：D是BC的中点，∴.BD=CD. 矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似. 【变式31解：设号=台-千=6(>0， :MN/DE8B-器 【课堂检测) 则a=2k,b=3k,c=4k. 1.D2.B3.C .EN=CE. .a+b+c=27,∴.9k=27,∴.k=3. MN∥DE,M是AD的中点， 4.解：设AD=BC=,则AF=之x. .a=6,b=9,c=12, .∴.AM=DM.,'.AN=EN, ∴.a-b+c=6-9+12=9. '矩形ABEFO矩形ABCD, ..AN=EN=CE. 【变式4】解：设a-c=-2k,a十b=7k,c ∴.AN:NC=1:2. b=k,.a-c+(a+b)+(c-b)=-2k+ 7k+k,即2a=6, 6解：AE/DP0器 x 4 EF x>0,.x=42,即AD=4√2， .a=3k,.b=4k,c=5k. ".a+b+c=24,.∴.3k+4k+5k=24, 即36 5.解：不相似.理由如下： .k=2,.a=6,b=8,c=10. ,∴.BE=BF+EF=36+24=60. 根据题意可知，AB=CD=3m, AD=BC=5 m. 【课堂检测】 DE/AC8器，脚是是 ,小路宽1m, 1.D2.①②③④ ∴.CE=40,∴.CF=CE+EF=64. ∴.A'B'=5m,A'D'=7m 3.解：(D3a=26号=号 即EF的长为24，CF的长为64. 号=号∴设a=2k6=80, (2): 第4课时 相似多边形 滑≠铝 3a+6 6k+3k9k 【新课学习] ∴两个矩形不相似 91 1.各角成比例 4解：能-器-部日 2.对应边的比相同A'B'C 第5课时探索三角形相似的条件(1)】 .BE=2AE,DE=2CE,BD-2AC, 【例1】A 【新课学习) ·△BDE的周长为BE+DE+BD= 【变式1】证明：在菱形ABCD中， 1.相等成比例 2AE+2CE+2AC-2(AE+CE+AC) ,∠B=50°，∴.∠D=50°，∠A=130°， =2×15=30(cm). ∠C=130°.在菱形A'B'CD'中， ∠A=∠A',∠B=∠B :∠B=50°，.∠D=50°，∠A'=130° 2.相等∠A=∠A',∠B=∠B 5解：1)设号=冬=台=4（≠0）. ∠C=130°..∠A=∠A', 【例1】证明：：DE∥BC, ∠B=∠B',∠C=∠C,∠D=∠D .∠ADE=∠B,∠AED=∠C .a=5t,b=4t,c=6t, .∴.△ADE∽△ABC. 代入2a+,得2a+b_10+_14=2 又菱形的四条边均相等， 【变式1】解：△AED和△ACB相似.证明 3c 3c 18t18t9 (2)由题意知，a+b十c=60,则5t+4t+6t 4 如下：∠A=∠A,∠B=∠ADE, ∴.△AED∽△ACB. =60,解得t=4...a=20,b=16,c=24. 菱形ABCD∽菱形A'B'C'D' 【例2】(1)证明：DC∥AB, 6.D7.A 【例2】解：（1)·四边形ABCD∽四边形 A'B'C'D',.∠A=∠A'=130 ∴.∠B=∠ECF,∠BAF=∠E. 第3课时 平行线分线段成比例 ∴∠D=360°-60°-80°-130°=90° .△ABF∽△ECF ,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D', (2)解：AD=BC, 【新课学习 AD=5 cm,AB=8 cm,CF=2 cm 1.平行线成比例 4x6 .'BF=3 cm. 2.成比例怎 AB .x=10,y=3. 由(1)知，△ABF∽△ECF, BEBE 【例1】6 【变式13 (2)2 器器品-cE-9