九年级上册 第2章 第5课时用公式法求解一元二次方程-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

数学·九年级·全册（北师大版） 第5课时 用公式法求解一元二次方程 新课学 1.一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程ax+bx十c=0(a≠0)，求根公式为 (b-4ac≥0) 2.根的判别式：一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)的根的判别式△= (1)当△ 0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当△ 0时，方程有两个相等的实数根； (3)当△ 0时，方程没有实数根. 3.公式法解一元二次方程的步骤：(1)化成一般式，确定 的值；(2)计算 (3)当 ,代入求根公式求解；当 ,无实数解. 知识点①△>0→x1≠x2 例1用公式法解一元二次方程：x2一3x=4. 变式1解方程：3x2-2=4x. 0识点24=0→x=x=一0 变式2用公式法解方程：x2=6x一9. 例2用公式法解方程：x2十1=-2x. 知识点3么<0→方程无实根 变式3解方程：x(x十3)+5=0. 例3用公式法解方程：2x(x-1)十1=0. ●>28● 第二章 一元二次方程 课堂检列 圆基础过关 1.关于x的一元二次方程x2一(k十1)x=0有两2.不解方程，判断下列方程根的情况 个不相等的实数根，则的取值范围为( 方程 △的值 根的情况 A.k>-1 B.k<-1 3x2-2x+ 30 C.≠-1 D.k为任意实数 3x2+x-1=0 x2-1=0 3.解方程： (1)x(x-2)+6=0; (2)x2=10x-25; (3)5.x2+2x-1=0; (4)3x2+5(2x+1)=0. 能力检测 4.(教材P45T4改编)如图，一次函数y=一x十a(0<a<10)的图象与x轴、y轴交于点A,B,若由 点P(10,4)和点A,B确定的△PAB的面积为12，求a的值. ●>29●高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 【变式1】 两边开平方，得x+=士号， 1 5 x+ (1)解：x=士√7，石=-√7，=√7. 2 2 (2)解：x2=25,x1=5,x2=-5. 所以=1=-5-1 ，x2= 所以x=二15-3 x=15-3 2 (3)解：移项，得12(3-2x)2=3, 2 2 2 两边都除以12，得(3-2)=子 5.(1)0(2)5或6 (2)解：整理，得2x2十4x=3, 方程变形为x+2x=2, :3-2x是的平方根3-21=士2， 第4课时用配方法求解 一元二次方程(2) 配方，得(x十1)2= 2, 1 5 即3—2x=2.或32x一2·x1=4 【新课学习】 开平方，得x十1=士@ 2 等式的性质 7 所以6=二2+10 =210 【例1】解：原方程变形为x十4.x= 2 2 【例2】(1)解：移项，得x2+6x=一5， 6.解：(1)-1 配方，得x2+6x十3=-5+3， 配方，得(+2=号+4， (2)设AC,BD相交于点O,:AC⊥BD, (x+3)=4,x十3=士2， “四边形ABCD的面积为2AC·OD十 所以x1=一5，x2=-1. 两边开平方，得x+2=士30」 2 (2)解：移项，得x2一5.x=一4， 52 所以=-2+30 x=-2-30 AC·OB=AC·BD, 配方，得-5x+(受)=一4+（ 2 2 AC+BD=10,.BD=10-AC, 【变式1】解：原方程变形为2-2x= 3 ·四边形ABCD的面积为？AC·I0 1 配方，得x2一2x十1= 3+1, -AC)=- 号AC+5AC=-2(AC 两边开平方，得x一号=士多， 即(x-1)=2 所以x=1土6 5+ 3 所以x1=4,x2=1. 【变式2】(1)解：移项，得x2-4.r=一3， 0-1- 3=1+6 :-号(AC-5P<0当AC=5时， 31 配方，得x2一4x+22=一3+22， 四边形ABCD的面积最大，最大值 2 (x-2)2=1, 【例2】解：原方程变形为x+3x=1, 为要 两边开平方，得x一2=士1 2 配方，得+3x+( 1)=1+(3 .01=1,x2=3. 第5课时用公式法求解一元二次方程 (2)解：移项，得x2-3.x=1, 9 【新课学习】 配方，得-3x+(号)=-1十（号）， 开平方，得+号=士， 3 1.=-b±VB-4a -= 2a 所以0=一1+￥10 3 =-1-10 3 2.b-4ac(1)>(2)=(3)< 两边开平方得。一多=士汽 【变式2】解原方程变形为广-号= 3.(1)a,b,c(2)△(3)△≥0△<0 3 【例1】解：方程化为x2一3x一4=0. =3+5,=3,5. .a=1,b=-3,c=-4, 2 21 配方，得-号（=+（ △=2-4ac=(-3)2-4×1×(-4)=25>0. 【课堂检测】 即(x一 -品 ∴r=-6±不-4ac--(-3)±2四 1.C2.A3.D 开平方，得x一号=士 2a 2×1 4.(1)解：两边同除以5，得(x一2)=7， 6, 两边开平方，得x一2=士√7， 所以=5+3 =35,即x1=4=-1. 2 6 3=513 6 【变式1】解：原方程可变形为3x2-4.x一2 即x-2=7,或x-2=-√7， 【课堂检测】 =0..a=3,b=-4,c=-2, 所以=√7+2，x=-√7+2. 1.A2.A3.1=4,2=-5 △=16-4×3×(-2)=40>0， (2)解：两边开平方，得 4.解：(1)二 2(2.c-5)=±3(3x-1), (2)移项，得2x-8x=一3，二次项系数 x=4生4⑩_-4士20=2生0 2×3 6 3 整理，得4x一10=士(9x一3)， 化为1，得x2一4.x=一 3 2 即n=2+0 w=210 即4x-10=9.x-3,或4x-10=-9x十3， 3 3 7 配方，得x2-4x十4=一 +4，因此红 【例2】解：方程化为x2十2x+1=0, 所以x=一行=1. (3)解：移项，得x2-4x=96, 一2=号由此得一2=9或一2 .a=1,b=2,c=1, △=b-4ac=22-4×1×1=0, 配方，得x2-4x十22=96+2， 0解得=2+y10 b 2 即(.x-2)2=100, 2 4==2品2X1-1. 两边开平方，得x一2=士10，x=2士 10 【变式2】解：方程化为x2一6x+9=0. x2=2- 10,所以x1=12,x2=-8. 21 .a=1,b=-6,c=9, (4)解：移项，得x2十x=1, 5.(1D解：方程变形为+3=号， △=b-4ac=(-6)2-4×1×9=0, 配方，得+2+=1+子 配方，得2+3x+9=15」 4=4 4==名=2-3 即(+是一只，两边开平方，得 【例3】解：方程化为2x2-2x+1=0. .a=2,b=-2,c=1, 6 参考苔案 △=b-4ac=(-2)2-4×2X1=-4<0, 【例2】解：原方程可变形为4.x一5x=0 第7课时一元二次方程的根 ∴方程无实数根。 x(4x-5)=0, 与系数的关系 【变式3】解：方程化为x2十3x+5=0. x=0,或4x-5=0, 【新课学习】 a=1,b=3,c=5, .x1=0,x2=1.25 △=6-4ac=32-4×1×5=-11<0, 【变式2】解：原方程可变形为(x+2)(x一 4=-4ac≥0-合 方程无实数根。 1)=0,x+2=0,或x-1=0. 【例1】解：在方程x2+3x+2=0中， 【课堂检测】 ∴.x1=-2,x2=1. a=1,b=3,c=2, 1.C 【例3】解：原方程可变形为(x+1)2-3(x △=b-4ac=9-8=1>0, - +1)=0,(x+1)(x+1-3)=0, 2.一12无实数根 方程有实数根， x十1=0，或x一2=0， 无实数根4不等实根 .x1=-1,x2=2. a =-3,x1x=a =2. 3.(1)解：方程化为x2-2.x十6=0. 【变式3】解：原方程可变形为(x一3) 【变式1】解：方程x2一x-1=0中， ,a=1,b=-2,c=6 3(x-3)=0, a=1,b=-1,c=-1, △=b一4ac=(-2)2-4×1×6=-200, (.x-3-3)(℃-3)=0， △=b-4ac=1+4=5>0, 方程无实数根。 x一6=0，或x一3=0， .方程有实数根， (2)解：方程化为x2-10x十25=0. .x1=6,x2=3. 十=--1,2==-1. .a=1,b=-10,c=25, 【例4】解：原方程可变形为(x十1十5)(x △=b2-4ac=(-10)2-4×1×25=0. 十1-5)=0， 十2-x1x2=1-(-1)=2. 1== -b=--10 (x+6)(x-4)=0, 【例2】解：a=2,b=6,c=-8, 2a2X=5. x十6=0，或x-4=0, 十x=-3,x1x2=-4. (3)解：，a=5,b=2,c=-1, ∴.1=-6，x2=4. (1)2+x2=(+x2)2-2m1 4=22-4×5×(-1)=24>0. 【变式4】解：原方程可变形为2(x十3)= =(-3)2-2×(-4)=17. ∴x -2士26_-1士6 (x+3)(x3), 10 5 2(.x+3)2-(x+3)(x-3)=0, 即.=一1+6 (x+3)[2(.x+3)-(.x-3)]=0, 【变式2】解：.a=2,b=-4,c=-6, 5 2=1-6 5 (x+3)(x+9)=0, ∴.x1+x2=2,x1x2=-3. (4)解：原方程可变形为3.z十10x十5=0. x+3=0,或x+9=0, (1)(x1-3)(x2-3)=x1x2-3(x1+x2) .a=3,b=10,c=5, .0=-3,x2=-9. +9=-3-3×2+9=0. △=2-4ac=102-4×3×5=40>0, (2)(x1一x2)2=(x1+x2)2-4.x1x2=22 x=-b±yB-4ac=-10±40 【课堂检测】 4×(-3)=16. 2a 2×3 1.B2.(1)x1=-2,x2=1(2)-3 【变式3】(1)解：原式=(0+z)2-2.x2 =-10±2/0_-5±10 3.解：x(3-x)=0.x=0,或3-x=0. (2)解：原式=x(十). 6 3 ∴.x1=0,x2=3. (3)解：原式=（十x)2-4x2 即x=-5+110 =-5-10 4.解：(x十2)(x一1)=0. (4)解：原式=/(1十x2)一4x1x2 3 x2 3 x十2=0，或x一1=0. 4.解：由题意知A(a, x1=-2,2=1. (5)解：原式=西十 ity 0),B(0,a),如答图， 5.解：x(x-2)+(x-2)=0, (6)解：原式=十a(x十x2)+d2 过点P作PD⊥x轴 (x-2)(x+1)=0. 【课堂检测】 于点D,则D(10,0), x一2=0，或x十1=0. .PD=4,OD=10, ∴x1=2,x2=-1. 1.D2.-3 OA=a,OB=a,AD 6.解：原方程可变形为(5x一4十x)(5.x一4 3.解：(1)依题意，得1+x2=3, =10-a -x)=0,(6x-4)(4x-4)=0. 即1十2=3，解得x2=2. 6.x-4=0,或4.x-4=0. 方程的另一个根=2。 .S△AB=S形PD一S△HB一S△An= 2 函=号w=1 (2)依题意，得C12=m, 1 即1×2=m,.m的值为2 X0(a+4)522X4x(I0- 7.解：原方程可变形为3.x(2x十1)=2(2x十1)， 4.解：(1)方程x2十3x十m一1=0有两 =12,解得a1=2,a2=12(不符合题意， 3x(2x+1)-2(2x+1)=0, 个实数根， 舍去).∴.a的值为2 (3x-2)(2x十1)=0. .△=32-4(m-1)=13一4m≥0， 3x-2=0,或2x+1=0. 第6课时用因式分解法求解 解得m<是 2 一元二次方程 (2)方程x2+3x+m-1=0的两个实 【新课学习】 8.解：原方程可变形为(x一3)一(5一2x)=0, 数根分别为02，十=一3， (x-3+5-2x)(x-3-5+2x)=0, =n-1.2(r1+x2)十x1x2+10=0, 00 (-x+2)(3.x-8)=0. 即-6+(m-1)+10=0,∴.m=-3. 【例1】解：x+2=0,或x-1=0. -x+2=0,或3x-8=0. 5.解：：m,n是方程x2-2025.r+1=0的 .x1=-2,x2=1. 两个根，.m十n=2025,mn=1. 【变式1】解：x十3=0，或x-4=0. 524-8 又m是方程x2一2025.x+1=0的 .x1=-3,x2=4. 9.A10.12 个根，∴.m-2025m+1=0, ∴.m2=2025m-1.①