九年级上册 第1章 第9课时《特殊平行四边形》热门考点整合应用-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

数学·九年级·全册（北师大版） 第9课时 《特殊平行四边形》热门考点整合应用 知识体系 判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形； 两组对边分别平行的四边形 2.对角线③ 的平行四边形是矩形； 叫做平行四边形. 3有三个角是国 的四边形是矩形. 性质： 矩形 1.对边相等； 2.对角相等； 性质：1.四个角都是① 3.对角线互相平分 2.对角线② 正方形 有一组邻边① 的矩形或有一个 行 角是① 的菱形是正方形. 性质：1.四条边都⑤ 判定： 2.两条对角线⑥」 1.两组对边分别相等的 并且每一条对角线⑦ 四边形是平行四边形； 菱形 判定： 2.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 1.一组邻边⑧ 的平行四边形是菱形； 3对角线互相平分的四边形是平行四边形； 2.对角线⑨ 的平行四边形是菱形； 4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3.四条边相等的四边形是菱形. 0G000-000%00-00G-00 基础巩 固 1.（2024·中考)如图，在矩形 2.（2024·中考)如图，在矩形 ABCD中，对角线AC与BD ABCD中，对角线AC,BD相 相交于点O,则下列结论 交于点O,∠ABD=60°，AB 定正确的是 ) =2,则AC的长为( ) A.AB=AD B.AC⊥BD A.6 B.5 C.AC-BD D.∠ACB=∠ACD C.4 D.3 3.(2024·中考)如图，菱形 4.(2023·深圳)如图，在平行 ABCD的对角线AC,BD 四边形ABCD中，AB=4, 相交于点O,E是AB的 BC=6,将线段AB水平向 中点，连接OE.若OE= 右平移a个单位长度得到线段EF,若四边形 3,则菱形的边长为 ECDF为菱形时，则a的值为 A.6 B.8 C.10 D.12 A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2024·中考)如图，在平 6.(2024·中考)如图，正方形 面直角坐标系xOy中，菱 ABCD的面积为4，点E,F, 形AOBC的顶点A在 G,H分别为边AB,BC,CD, 3 x轴负半轴上，顶点B在直线y=号x上，若点 AD的中点，则四边形 EFGH的面积为 B的横坐标是8，则点C的坐标为 A.(-1,6) B.(-2,6) C.(-3,6) D.(-4,6) ●>180 第一章特殊平行四边形 7.(2024·中考)如图，菱形ABCD中，点E,F分别是AB,BC边上的点，BE=BF,求证：∠DEF =∠DFE. 能分提升 8.(2024·中考)如图，在四边形ABCD中，点E,9.(2024·中考)如图，在边长为 F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点， 4的正方形ABCD中，点E是 EG,FH交于点O.若四边形ABCD的对角线 BC上一点，点F是CD延长 相等，则线段EG与FH一定满足 线上一点，连接AE,AF,AM A.互相垂直平分 平分∠EAF交CD于点M.若BE=DF=1, B.互相平分且相等 则DM的长度为 ( C.互相垂直且相等 A.2 B.√5 C.6 2 D. D.互相垂直平分且相等 10.(2024·中考)如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB=AF,连接BF,点O为BF 的中点，AO的延长线交边BC于点E,连接EF. (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)若平行四边形ABCD的周长为22，CE=1,∠BAD=120°，求AE的长. ●>190参考案 【变式1】证明：四边形ABCD是矩形， 第9课时《特殊平行四边形》 解得m=2. ∴∠BAD=∠CDA=90°， 热门考点整合应用 【例3】B ,AE,DE平分∠BAD与∠CDA, 〔知识体系了 【变式3】解：x(x十1)=3(x一2)变形，得 ·∠EAD=1 x2-2x+6=0,.a=1,b=-2,c=6. 2 ∠BAD=45°， ①直角②相等③相等④直角 ⑤相等 ⑥互相垂直⑦平分一组对角 【课堂检测) ∠EDA=2∠CDA=45, ⑧相等⑨互相垂直 ⑩相等①直角 1.B2.B ∠EAD=∠EDA,AE=DE, 【基础巩固 3.(1)解：一般形式为2x2-6x-9=0, :∠EAD+∠EDA+∠AED=180°， 二次项系数为2，一次项系数为一6， 1.C2.C3.A4.B5.B6.2 ∴∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=90°， 7.证明：四边形ABCD是菱形， 常数项为一9. 又：四边形AEDF为平行四边形， ∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠C, (2)解：一般形式为4x-x-7=0, .四边形AEDF是正方形 二次项系数为4，一次项系数为一1， .BE=BF,..AE=CF, 【例2】C 常数项为一7. (DA=DC, 【变式2】证明：四边形ABCD是正方 在△DAE和△DCF中，∠A=∠C, (3)解：一般形式为x2+1=0, 形，.AB=AD,∠A=∠B=90°， AE-CF, 二次项系数为1，一次项系数为0， DF=AP,∴.AB-AP=AD-DF ∴.△DAE≌△DCF(SAS), 常数项为1. ∴.BP=AF (4)解：一般形式为x2-5x-4=0, .DE=DF,∴.∠DEF=∠DCF 又BQ=AP,∴.△APF≌△BQP, 二次项系数为1，一次项系数为一5， 【能力提升】 常数项为一4. .FP=PQ. 8.A9.D 同理PF=PQ=QE=EF 4.D5.x2-2x-48=0 10.解：(1)证明：四边形ABCD是平行 6.(8-2x)(5-2x)=28 .四边形EFPQ是菱形 四边形，AD∥BC 2x2-13x+6=0 ,△APF≌△BQP,∠AFP=∠BPQ. .∠AFO=∠EBO. :∠AFP+∠APF=90°， 7.解：(1)由原方程得(m一2)x2一4x+1=0, O是BF的中点，.OB=OF ,该方程是一元二次方程， ∴.∠BPQ+∠APF=90°. 在△AOF和△EOB中， .m-2≠0，解得m≠2 ∴.∠FPQ=90°，∴.菱形EFPQ是正方形 ∠AFO=∠EBO, (2).(m-2)x2-4x十1=0为一元 【课堂检测 ∠AOF=∠BOE, 次方程，∴.m-2=0,解得m=2. 1.D2.AB=BC(或AC⊥BD等) OF=OB, 3.证明：四边形ABCD是菱形， ,∴.△AOF≌△EOB(AAS),∴.OA=OE 第2课时 一元二次方程(2)】 .AC⊥BD,OA=OC,OB=OD OB=OF,.四边形ABEF是平行 汇新课学可】 ,BE=DF,∴OE=OF, 四边形.，AB=AF,.四边形ABEF 相等 .四边形AECF是菱形..OE=OA, 是菱形 ∴.OE=OF=OA=OC,即EF=AC, (2).AD∥BC, 【例1】A 【变式1】B .∠BAD+∠ABC=180°， 【例20 【变式2】1 .菱形AECF是正方形 ∠BAD=120°，∴.∠ABE=60° 【例3】23 【变式3】G 4.证明：AE∥BC,∠ABC=90°， ∴.∠BAE=90°， ,'在菱形ABEF中，AB=BE=AF= 【例4】232.32.4 【变式4】-13340.363.33.4 ,EF⊥BC于点F,∠F=90°， EF,.△ABE是等边三角形， ..AE=AB. 33 .∠F=∠ABC=∠BAE=90°， .四边形ABFE是矩形， :在平行四边形ABCD中，AD=BC, 课堂检测】 BD平分∠ABC, AB=CD,..EC=DF=1. 1.(1)-1(2)D2.C3.D .∠ABD=∠DBC=45°， .AB=CD,AB=EF,.'.CD=EF 4.解：当x=2时，5x-24x十28=0，所以方 :AE∥BC,∴∠AEB=∠EBF=45, .AB+BC+CD+AD-22, 程5.x2一24x+28=0的一个根是x=2; .∠ABE=∠AEB=45°，.AB=AE, .AB+BE+1+CD+AF+1=22, 当x=2.5时，5.x2-24x十28=-0.75， .四边形ABFE是正方形 .4AB=20,.AB=AE=5. 当x=3时，5x2-24x十28=1，所以方程 5.(1)证明：，DE⊥BC,.∠DFB=90°， 即AE的长为5. 5x2一24x十28=0的另一个根的范围是 ∠ACB=90°，∠ACB=∠DFB, 2.5<x<3. .AC∥DE, 第二章 元二次方程 5.(1)D(2)56.D 又m∥AB,即CE∥AD,∴.四边形 7.(x+3)(x+1) (x+3)(x+1)=65. ADEC是平行四边形，.CE=AD. 第1课时 一元二次方程(1) x2+4x-62=0 6 (2)①解：四边形BECD是菱形，理由： 【新课学习 ,D为AB中点， 1.ax2+bx+c=0 第3课时用配方法求解 .AD=BD,由(1)得CE=AD 2.一次项常数项ab 一元二次方程(1) BD=CE,又BD∥CE, 【例1】B【变式1】C 江新课学习】 四边形BECD是平行四边形， 【例2】解：，(a-1)2十x一9=0是关于x 完全平方式配方 ,∠ACB=90°，D为AB中点， 的一元二次方程， 【例1】(1)解：x=±√9，x=-3,x2=3. :.CD-BD-7AB, .二次项系数a一1≠0，.a≠1. 【变式2】解：(m十2)xm-1=0是关于 (2)解：x=士√/25，x1=一5，x2=5. .四边形BECD是菱形 x的一元二次方程，：(m=2, (3)解：x+1=士√2， ②45 m+2≠0， x1=-1+√2，x2=-1-√2. 5