九年级上册 第1章 第7课时正方形的性质与判定(1)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

数学·九年级·全册（北师大版） 第7课时 正方形的性质与判定(1) 新课学 ● 1.定义：有一组邻边 ,并且有一个角是 的平行四边形叫做正方形， 2.性质：从定义上看，正方形既是 ,又是 ,因此它具有菱形和矩形的所有性质： (1)四个角都是 ,四条边 ;(2)对角线 且互相 (3)两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形； (4)正方形的对称性： ①轴对称图形，有 条对称轴，分别为两条对角线所在的直线和过每一组对边中点的两条直线； ②中心对称图形，对称中心是 的交点。 知识点①利用正方形的性质计算 变式1如图，正方形ABCD的边长为1，点E 例1如图，正方形ABCD的对角线相交于点O. 在边DC上，AE平分∠DAC,EF⊥AC,垂足为 (1)若周长为4，则对角线长为 ,面积F,求FC的长 为 (2)∠BAC= ,∠DAC= 知识点②利用正方形的性质证明 例2如图，四边形ABCD是正方形，E,F分别是 变式2（教材P21例1改编）如图，在正方形ABCD AB,AD上的点，且BF⊥CE,垂足为G.求证： 中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点， CE=BF. 且∠CBE=∠CDF.BE与DF之间有怎样的关 系？请说明理由。 ●>14 第一章特殊平行四边形 课堂检 圆基础过关 2.若正方形的对角线长为2cm,则这个正方形的 1.正方形具有而菱形不一定有的性质是( 面积为 A.对角线互相垂直 B.对角线相等 A.4 cm2 B.2 cm2 C.对角相等 D.邻边相等 C.√2cm2 D.2√2cm 3.(教材P26T6改编)如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上 的一点，且BD=EC,则∠DAE= 4.如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB,EA,延长BE交边AD于 点F. (1)求证：△ADE≌△BCE;(2)求∠AFB的度数. 能力检测 5.如图，在正方形ABCD的右侧作等边三角形ABE,连接DE,AC交于点F,连接BF.求证： (1)△BAF≌△DAF;(2)∠AFE=60°. D ●>154高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 3.证明：，菱形ABCD的对角线AC与 ∠CAD= BD相交于点O,AC⊥BD. ∠BAC,∠CAN= 2 ∠CAM. .'BF⊥CE,∴.∠BCE+∠CBG=90° ∴.∠BCE=∠ABF. ,BE∥AC,CE∥BD, .∠DAE=∠CAD+∠CAN= (∠BAC 在△BCE和△ABF中， .四边形OBEC是平行四边形， :∠BCE=∠ABF,BC=AB,∠CBE= 又AC⊥BD,∴.∠BOC=90°， +∠CAD= ×180°=90 ∠A,.△BCE≌△ABF(ASA)」 .四边形OBEC是矩形 在△ABC中，，AB=AC,AD为∠BAC ..CE=BF. 4.解：(1)BD=CD.理由如下： 的平分线，AD⊥BC,∠ADC=90°. 【变式2】解：BE=DF,且BE⊥DF. 依题意得AF∥BC, 又CE⊥AN,.∠CEA=90°， 理由如下：，四边形ABCD是正方形， .∠AFE=∠DCE, .四边形ADCE为矩形， ∴.BC=DC,∠BCE=90°. E是AD的中点，.AE=DE, 【变式2】证明：：四边形ABDE是平行四 .∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90° 又，∠AEF=∠DEC, 边形，.BD∥AE,BD=AE ∴.∠BCE=∠DCF .△AEF≌△DEC(AAS), 又BD=CD,AE=CD 又，∠CBE=∠CDF, '.AF=CD,.AF=BD,.'.BD=CD. .四边形ADCE是平行四边形 ,∴.△BCE≌△DCF.∴.BE=DF (2)当△ABC满足AB=AC时，四边形 AB=AC,BD=CD,.AD⊥BC 如答图所示，延长BE交DF于点M AFBD是矩形. .∠ADC=90°.∴.□ADCE是矩形 ,△BCE≌△DCF, 理由如下：AF∥BD,AF=BD, ∴.∠CBE=∠CDF .四边形AFBD是平行四边形， 【课堂检测 .∠DCF=90°， AB=AC,BD=CD,∴.∠ADB=90° 1.B2.D ,.∠CDF+∠F=90° (三线合一)，.口AFBD是矩形 3.解：如答图，连接AC, ∴.∠CBE+∠F=90° 答图 (3)∠BAC=90 .AB=CD ∠BMF=90°..BE⊥DF ∠B=∠D=90°， 【课堂检测 第6课时 矩形的性质与判定(3) AC=CA, 答图 1.B2.B3.22.5 〔新课学习 .Rt△ABC≌Rt△CDA(HL). ..AD-BC, 4.(1)证明：，四边形ABCD是正方形 性质：2.相等3.(1)两条 ,四边形ABCD是平行四边形 △EDC是等边三角形， 判定：1.平行四边2.相等 三 又：∠B=90°， .AD=BC=CD=DE=CE,/ADC= 【例1】(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.四边形ABCD是矩形 ∠BCD=90°，∠ECD=∠EDC=60°. AC-BD,0A=0C-号AC 4.解：如答图，连接EB .∠ADE=∠BCE=30° EF垂直平分BD 在△ADE和△BCE中，DA=CB, OB=OD-=2BD∴OC=OD ∴.ED=EB, ∠ADE=∠BCE,DE=EC, 设AE=xcm, .△ADE≌△BCE(SAS) .DE∥OC,EC∥OD, .四边形OCED为平行四边形. 则DE=EB=(8 x)cm (2)解：CE=CB,∠BCE=30°， OC=OD,.四边形OCED是菱形. 四边形ABCD是矩形，.∠A=90°， ∠BBC-∠CEB=7180-30=75, (2)解：四边形OCED是菱形， .在Rt△AEB中， 四边形ABCD是正方形， ..OC=OD=CE=DE=2, 根据勾股定理，AE+AB=BE, .AD∥BC,.∠AFE=∠EBC=75° ∠A0D=120°，∴∠C0D=60°， 即x+62=(8-),x= 4, 5.证明：(1)：四边形ABCD是正方形， ∴△OCD是等边三角形， .AB=AD,.AC平分∠BAD,∠BAF ..OD=OC=CD=2, 即AE=? 4 cm =∠DAF=45 :四边形ABCD是矩形， 5.B6.2√3 在△BAF和△DAF中， ∴.AC=BD=2OC=4, .AB=AD,.∠BAF=∠DAF ∴.AD=√AC-CD=√I6-4=2√5， 第7课时 正方形的性质与判定(1) AF=AF,∴.△BAF≌△DAF(SAS) ∴矩形ABCD的面积为2X25=4√5. 【新课学习] (2),四边形ABCD是正方形， 【变式1】解：：四边形ABCD是矩形， .∠DAB=90°，∠DAC=45°，AB=AD ∴.∠BAD=90°， 1.相等直角 :△ABE是等边三角形， AC-BD.AO-CO-AC, 2.菱形矩形(1)直角相等 .AE=AB=AD,∠BAE=60° (2)相等垂直平分 B0=D0=2BD, ∴.∠DAE=∠BAD+∠BAE=150, (4)①四②两条对角线 A0=B0=D0=号BD, 【例1】(1)√21(2)45°45 则∠ADE=∠AED=号×(180°-150) 【变式1】解：四边形ABCD是正方形， =15°，.∠AFE=∠DAC+∠ADE=45 BD=4BE,∴.BE=OE, +15°=60° 又AE⊥BD,∴.AB=AO. .AB=BC=AD=1,∠B=∠D=90°， ∴.AB=AO=BO, ∴AC=√2.AE平分∠DAC,∠D=90°， 第8课时正方形的性质与判定(2) 即△ABO是等边三角形， EF⊥AC,'.EF=DE.又AE=AE, ∴∠ABO=60°，.∠ADB=90°-∠ABO .Rt△AFE≌Rt△ADE, 〔新课学习】 =90°-60°=30° .'.AF=AD-1, 1.相等直角 AE=AD=合×6=8. ∴.FC=AC-AF=√2-1. 2.(1)对角线互相垂直(2)有一组邻边 【例2】证明：，四边形ABCD是正方形， 相等(3)对角线相等(4)有一个角 【例2】证明：：AD平分∠BAC,AN平分 ∴.AB=BC,∠A=∠CBE=90° 是直角 ∠CAM, ∴.∠ABF+∠CBG=90°. 【例1】D 4