1.3.1正方形的性质与判定 教学设计 2023--2024学年北师大版九年级数学上册

1.3.1正方形的性质与判定 一、教学目标 1．了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理； 2．会利用正方形的性质进行相关的计算和证明． 二、教学重难点 重点：理解正方形的定义和性质． 难点：灵活地运用正方形的性质定理解决问题． 三、教学设计 （一）情境导入 如图(1)所示，把可以活动的矩形框架ABCD的BC边平行移动，使矩形的邻边AD，DC相等，观察这时矩形ABCD的形状． 如图(2)所示，把可以活动的菱形框架ABCD的∠A变为直角，观察这时菱形ABCD的形状． 图(1)中图形的变化可判断矩形ABCD→特殊的四边形是什么四边形？图(2)中图形变化可判断菱形ABCD→特殊的四边形是什么四边形？经过观察，你发现既是矩形又是菱形的图形是什么四边形？ 引入正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形． 注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即：有一组邻边相等的矩形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形． （二）探究新知 教师：正方形都具有哪些性质呢？ 学生：由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以它应该具备菱形和矩形的所有性质． 教师：你能详细说一说正方形的性质吗？ 学生：正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分． 由学生的回答归纳出： 正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等． 正方形的性质定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分． 教师：同学们能尝试完成这两个定理的证明吗？ 学生独立完成，并相互交流，教师点评． 教师：正方形有几条对称轴？ 学生思考或者画图验证． 思考　平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流． 学生尝试画图，教师点评，并进一步讲解，课件出示如下图： （三）典例解析 例1　如图，在正方形ABCD中，E为CD 边上一点，F为BC延长线上一点，且 CE ＝ CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由． 解：BE＝DF，且 BE⊥DF.理由如下： (1)∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC＝DC，∠ BCE＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)． ∴ ∠ DCF ＝ 180°－ ∠ BCE ＝ 180°－ 90°＝ 90°. ∴ ∠BCE ＝∠ DCF. 又∵ CE＝CF， ∴ △BCE≌△DCF. ∴ BE＝DF. (2)延长 BE交DF于点M(如图)． ∵ △BCE ≌△DCF， ∴ ∠CBE＝∠CDF. ∵ ∠DCF＝90°， ∴ ∠CDF＋∠F＝90°. ∴ ∠CBE＋∠F＝90°. ∴ ∠BMF＝90°. ∴ BE⊥DF. 例2 如图，在正方形ABCD中， △BEC是等边三角形， 求证：∠EAD＝∠EDA＝15° . 证明：∵△BEC是等边三角形， ∴BE=CE=BC，∠EBC=∠ECB=60°， ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD，∠ABC=∠DCB=90°， ∴AB=BE=CE=CD， ∠ABE= ∠DCE=30°， ∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°， ∴∠EAD= ∠EDA=90°－75°=15°. 例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF. 证明：连接PC，AC. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠FCE=90°， AC垂直平分BD， ∴AP=PC. 又∵PE⊥BC ， PF⊥DC， ∴四边形PECF是矩形， ∴PC=EF. ∴AP=EF. （四）巩固提升 1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？ 第1题图　　 第2题图 2． 如图，在正方形ABCD中，点F为对角线BD上一点，连接AF，CF. 你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明． 3． 补充练习见课件 （五）课堂小结 通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？ （六）课外作业 教材第22页习题1.7第1～4题． 四、板书设计 正方形 五、教学反思 本节课教学的主要内容是探究并证明正方形的性质定理．教材只是提供了最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．让学生通过搜集材料亲自去感受数学在实际生活中的应用，体会数学的实际价值．培养学生善于观察生活、搜集数学信息、对信息进行整理的能力． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$