九年级上册 第1章 第5课时矩形的性质与判定(2)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

数学·九年级·全册（北师大版） 第5课时 矩形的性质与判定(2) 新课拿 ● 矩形判定方法 几何语言 1.矩形的定义： 的平行四边形是 1.已知平行四边形ABCD,∠A= 矩形 90°，.四边形ABCD是矩形 2.矩形的判定定理1： 的平行四边形 2.已知平行四边形ABCD,AC= 是矩形 BD,.四边形ABCD是矩形. 3.矩形的判定定理2： 的四边 3.四边形ABCD中，.∠A=∠B=∠C=90°， 形是矩形 ∴.四边形ABCD是矩形. 知识点①利用矩形的定义证明矩形 例T(教材PI6随堂练习改编)如图，M是平行变式1在口ABCD中，BE⊥CD于点E,点F 四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC,求 在AB上，且AF=CE,连接DF,判断四边形 证：四边形ABCD是矩形. BEDF的形状，说明理由. 知识点2利用“矩形的判定定理1”证明矩形 例2如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点变式2如图，口ABCD的对角线AC,BD相交 O,△OAB是等边三角形.求证：四边形ABCD于点O,∠DOC=2∠2.求证：□ABCD是矩形. 是矩形 ●>100 第一章特殊平行四边形 课堂检 基础过关 2.工人师傅接到加工4个长为100cm、宽为 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相 60cm的矩形窗框的订单，按照要求制作完成 交于点O,OA=OC,OB=OD,添加下列条件， 后，工人师傅对窗框的尺寸进行了测量，根据 不能判定四边形ABCD是矩形的是( 测量结果，其中测量方式不能判定窗框为矩形 A.AB-AD D 的是 B.OA=OB 100cm 100cm 60 cm cm 60 C.AB⊥AD 100cm D.∠ABO=∠BAO A B 100cm 100cm 60 cm 60. 100cm C D 3如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC,CE∥BD.求证：四边形OBEC是 矩形 能力检测 4.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，点E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延 长线于点F,且AF=BD,连接BF (1)线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由； (3)△ABC满足 时，四边形AFBD是菱形. ●>110参考案 【例1】解：(1)：四边形ABCD是菱形， ,纸条的宽度相同，∴AE=AF +AE=BE, ACLBD,BD-2D0,AO-CO-AC .AE⊥BC,AF⊥CD, 即32+x2=(9一x)2,解得x=4, ∴.∠AEB=∠AFD=90° .AE=4,.DE=5. =12,,AD=13,AO=12, 在△ABE和△ADF中， (2)四边形EBFD是菱形.理由： ∴.D0=√132-12=5，.BD=10. ∠ABC=∠ADC, ,四边形ABCD是矩形，.AD∥BC, ∴菱形ABCD的面积为2×ACXBD= ∠AEB=∠AFD, .∠BFE=∠DEF, AE-AF, ,∠BEF=∠DEF, ×10X24=120(cm2). ∴.△ABE≌△ADF(AAS),.AB=AD. .∠BEF=∠BFE,∴.BF=BE, (2):四边形ABCD是菱形， 四边形ABCD是平行四边形，AB= ,ED=BE,∴BF=DE. ∴.AB=AD=13, AD,.□ABCD是菱形 又BF∥ED,.四边形EBFD是平行 ∴菱形ABCD的面积为ABXEF=120, 设BE=xcm,在Rt△ABE中， 四边形，BE=BF,.平行四边形 ·EF=120 13cm. ∠ABC=60°，则AB=BC=2xcm, EBFD为菱形， 【变式1】解：(1)，四边形ABCD是菱形， 由勾股定理，得4x2=x2十3，x=√3， (3)如答图，连接BD,在Rt△ADB中 ∴.S菱形Bcm=BC·AE=2V3X3=6√3 根据勾股定理得AB十AD=BD, ∴.AB=BC=CD=AD=6cm,AC⊥BD .BD=310 OB-OD,OA=OC, (cm). ∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形， ∴.BD=AB=6cm,∴.OB=3cm. 第4课时矩形的性质与判定(1) 在Rt△AOB中，OA=√AB-OB 【新课学习 答图 √62-32=3√3(cm), 1.一个直角 ∴AC=20A=2X3√3=6√3(cm). 2.①直角相等斜边的一半. :菱形EBFD的面积为2 BD·EF (2S=号BD·AC=号×6X6B= ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90° DE·AB. -×3√/10·EF=5×3, AC-BD CD-AB 18√3(cm2). ∴.EF-=/10. 【例2】(1)证明：：CE⊥AB, 【例1】解：(1)四边形ABCD是矩形， ∴∠CEA=90°，∴∠CAE+∠ACE=90, ∴.AC=2OC=10=BD,∠BAD=90°， 第5课时 矩形的性质与判定(2) :∠ABO=∠ACE,∴∠ABO+∠BAO= :AD=6,AB=√BD-AD=8, 汇新课学可 90°，∠AOB=90°，.AOLOB, .BD=10,AB=8. 1.有一个角是直角2.对角线相等 :AB∥CD,AB=CD,∴.四边形ABCD (2)AD=6,AB=8, 3.有三个角是直角 是平行四边形，又：ACLBD,∴平行四边 .矩形的面积为AD×AB=48. 【例1】证明：，四边形ABCD是平行四边 形ABCD是菱形， 【变式1】解：：四边形ABCD是矩形， 形，.AB=CD,AB∥CD (2号 .∠DAB=90°，AC=BD, .∠A+∠D=180, .点M是AD的中点，.AM=DM, 【变式2】解：如答 OA-OC-AC,OB-OD-BD. 图，设AE交BF .OB=OC..·∠BOC=120°， 又BM=CM, ∴.△ABM≌△DCM(SSS), 于点O,连接EF ∴∠0BC=∠0CB=号(180°-120)=30 .∠A=∠D=90°， 四边形ABCD .AC=2AB=2×4=8. ,平行四边形ABCD是矩形 是平行四边形， 【例2】13 【变式1】解：四边形BEDF是矩形， 由作图可知：AB=AF,∠FAE=∠BAE, 理由：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,∠EAF=∠AEB, 【变式2】解：∠ACB=90°，E是边AB .AB=CD,BC=AD,AB∥CD,AD∥ .∠BAE=∠AEB,.AB=BE=AF, 的中点，CE=AE=合AB, BC.AF=CE,AB=CD, :AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边 .∠A=∠ECA=25°， ∴.AB-AF=CD-CE,即BF=DE, 形，.AB=AF,∴.四边形ABEF是菱形， ∴.∠DEC=∠A+∠ECA=50° :BF∥DE, ∴OA=OE,OB=OF= BF=3, ,CD⊥AB,.∠CDE=90°， ∴四边形BEDF为平行四边形， 在Rt△AOB中，∠AOB=90°， ∴.∠DCE=90°- ∠DEC=40°. 又，BE⊥CD,.∠BED=90°， .平行四边形BEDF为矩形 .OA=√AB-OB=√52-3=4， 课堂检测 【例2】证明：口ABCD的对角线AC,BD ..AE=20A=8. 1.B2.157.5 153 3.5 相交于点O,.AC=2AO,BD=2BO. 【课堂检测 4.证明：在矩形ABCD中， :△OAB是等边三角形.∴.OA=OB 1.B2.824 4.8 AD∥BC,.AD∥CE. AC=BD,∴.□ABCD是矩形. 3.解：四边形ABCD是菱形.理由： .AC∥DE, 【变式2】证明：，∠DOC=∠1+∠2 如答图，过点A作 .四边形ACED是平行四边形. ∠DOC=2∠2，.∠1=∠2.∴.OB=OC. AE⊥BC于点E,AF ∴.AC=DE.在矩形ABCD中，AC= 又·四边形ABCD是平行四边形， ⊥CD于点F, BD,∴.BD=DE :AD∥BC,AB∥ OB=号BD,OC=合AC 5.解：(1)，四边形ABCD是矩形， DC.四边形ABCD ∠A=90°， .BD=AC,.□ABCD是矩形 是平行四边形， 设AE=x,则BE=DE=9-x, 【课堂检测】 .∠ABC=∠ADC. 在Rt△AEB中，根据勾股定理，得AB 1.A2.C 3 高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 3.证明：，菱形ABCD的对角线AC与 ∠CAD= BD相交于点O,AC⊥BD. ∠BAC,∠CAN= 2 ∠CAM. .'BF⊥CE,∴.∠BCE+∠CBG=90° ∴.∠BCE=∠ABF. ,BE∥AC,CE∥BD, .∠DAE=∠CAD+∠CAN= (∠BAC 在△BCE和△ABF中， .四边形OBEC是平行四边形， :∠BCE=∠ABF,BC=AB,∠CBE= 又AC⊥BD,∴.∠BOC=90°， +∠CAD= ×180°=90 ∠A,.△BCE≌△ABF(ASA)」 .四边形OBEC是矩形 在△ABC中，，AB=AC,AD为∠BAC ..CE=BF. 4.解：(1)BD=CD.理由如下： 的平分线，AD⊥BC,∠ADC=90°. 【变式2】解：BE=DF,且BE⊥DF. 依题意得AF∥BC, 又CE⊥AN,.∠CEA=90°， 理由如下：，四边形ABCD是正方形， .∠AFE=∠DCE, .四边形ADCE为矩形， ∴.BC=DC,∠BCE=90°. E是AD的中点，.AE=DE, 【变式2】证明：：四边形ABDE是平行四 .∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90° 又，∠AEF=∠DEC, 边形，.BD∥AE,BD=AE ∴.∠BCE=∠DCF .△AEF≌△DEC(AAS), 又BD=CD,AE=CD 又，∠CBE=∠CDF, '.AF=CD,.AF=BD,.'.BD=CD. .四边形ADCE是平行四边形 ,∴.△BCE≌△DCF.∴.BE=DF (2)当△ABC满足AB=AC时，四边形 AB=AC,BD=CD,.AD⊥BC 如答图所示，延长BE交DF于点M AFBD是矩形. .∠ADC=90°.∴.□ADCE是矩形 ,△BCE≌△DCF, 理由如下：AF∥BD,AF=BD, ∴.∠CBE=∠CDF .四边形AFBD是平行四边形， 【课堂检测 .∠DCF=90°， AB=AC,BD=CD,∴.∠ADB=90° 1.B2.D ,.∠CDF+∠F=90° (三线合一)，.口AFBD是矩形 3.解：如答图，连接AC, ∴.∠CBE+∠F=90° 答图 (3)∠BAC=90 .AB=CD ∠BMF=90°..BE⊥DF ∠B=∠D=90°， 【课堂检测 第6课时 矩形的性质与判定(3) AC=CA, 答图 1.B2.B3.22.5 〔新课学习 .Rt△ABC≌Rt△CDA(HL). ..AD-BC, 4.(1)证明：，四边形ABCD是正方形 性质：2.相等3.(1)两条 ,四边形ABCD是平行四边形 △EDC是等边三角形， 判定：1.平行四边2.相等 三 又：∠B=90°， .AD=BC=CD=DE=CE,/ADC= 【例1】(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.四边形ABCD是矩形 ∠BCD=90°，∠ECD=∠EDC=60°. AC-BD,0A=0C-号AC 4.解：如答图，连接EB .∠ADE=∠BCE=30° EF垂直平分BD 在△ADE和△BCE中，DA=CB, OB=OD-=2BD∴OC=OD ∴.ED=EB, ∠ADE=∠BCE,DE=EC, 设AE=xcm, .△ADE≌△BCE(SAS) .DE∥OC,EC∥OD, .四边形OCED为平行四边形. 则DE=EB=(8 x)cm (2)解：CE=CB,∠BCE=30°， OC=OD,.四边形OCED是菱形. 四边形ABCD是矩形，.∠A=90°， ∠BBC-∠CEB=7180-30=75, (2)解：四边形OCED是菱形， .在Rt△AEB中， 四边形ABCD是正方形， ..OC=OD=CE=DE=2, 根据勾股定理，AE+AB=BE, .AD∥BC,.∠AFE=∠EBC=75° ∠A0D=120°，∴∠C0D=60°， 即x+62=(8-),x= 4, 5.证明：(1)：四边形ABCD是正方形， ∴△OCD是等边三角形， .AB=AD,.AC平分∠BAD,∠BAF ..OD=OC=CD=2, 即AE=? 4 cm =∠DAF=45 :四边形ABCD是矩形， 5.B6.2√3 在△BAF和△DAF中， ∴.AC=BD=2OC=4, .AB=AD,.∠BAF=∠DAF ∴.AD=√AC-CD=√I6-4=2√5， 第7课时 正方形的性质与判定(1) AF=AF,∴.△BAF≌△DAF(SAS) ∴矩形ABCD的面积为2X25=4√5. 【新课学习] (2),四边形ABCD是正方形， 【变式1】解：：四边形ABCD是矩形， .∠DAB=90°，∠DAC=45°，AB=AD ∴.∠BAD=90°， 1.相等直角 :△ABE是等边三角形， AC-BD.AO-CO-AC, 2.菱形矩形(1)直角相等 .AE=AB=AD,∠BAE=60° (2)相等垂直平分 B0=D0=2BD, ∴.∠DAE=∠BAD+∠BAE=150, (4)①四②两条对角线 A0=B0=D0=号BD, 【例1】(1)√21(2)45°45 则∠ADE=∠AED=号×(180°-150) 【变式1】解：四边形ABCD是正方形， =15°，.∠AFE=∠DAC+∠ADE=45 BD=4BE,∴.BE=OE, +15°=60° 又AE⊥BD,∴.AB=AO. .AB=BC=AD=1,∠B=∠D=90°， ∴.AB=AO=BO, ∴AC=√2.AE平分∠DAC,∠D=90°， 第8课时正方形的性质与判定(2) 即△ABO是等边三角形， EF⊥AC,'.EF=DE.又AE=AE, ∴∠ABO=60°，.∠ADB=90°-∠ABO .Rt△AFE≌Rt△ADE, 〔新课学习】 =90°-60°=30° .'.AF=AD-1, 1.相等直角 AE=AD=合×6=8. ∴.FC=AC-AF=√2-1. 2.(1)对角线互相垂直(2)有一组邻边 【例2】证明：，四边形ABCD是正方形， 相等(3)对角线相等(4)有一个角 【例2】证明：：AD平分∠BAC,AN平分 ∴.AB=BC,∠A=∠CBE=90° 是直角 ∠CAM, ∴.∠ABF+∠CBG=90°. 【例1】D 4