九年级上册 第1章 第4课时矩形的性质与判定(1)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

数学·九年级·全册（北师大版） 第4课时 矩形的性质与判定(1) 新课 ● 矩形的性质 几何语言 1矩形的定义：有 角是 的平行四 如图1，，四边形ABCD是矩形 边形叫做矩形. 性质如下： 0 2.矩形的性质 (角) (1)矩形具有平行四边形所有的性质. B (2)矩形不同于一般平行四边形的性质： (对角线) ①矩形的四个角都是 如图2，：Rt△ABC中，∠C=90°， ②矩形的对角线 D为AB中点， 直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线 等于 图2 知识点①矩形的性质 例T如图，在矩形ABCD中，对角线相交于点 变式1如图，在矩形ABCD中，两条对角线相 O,AD=6,OC=5.求： 交于点O,∠BOC=120°，AB=4,求这个矩形对 (1)BD,AB的长； 角线的长 0 (2)矩形的面积. 知识点2直角三角形的性质 例2如图，公路AC,BC互相垂直，点M为公路 变式2如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥ AB的中点，为测量湖泊两侧C,M两点间的距AB于点D,E是边AB的中点，∠A=25°，求 离，若测得AC长10km,BC长24km,则MC= ∠DCE的度数. km. ●8 第一章特殊平行四边形 课堂检 圆基础过关 1.如图是一个活动的平行四边形框架ABCD, 2.如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O, ∠ABC=40°，拉动两个不相邻的顶点A和C,当 AC=15cm,∠AOB=60°，则BD= cm, 边BA绕点B逆时针旋转α(0°<a<90)时成了 AB= cm,BC= cm. 矩形框架ABCD,则旋转角α的度数为( A.40° B.50° C.60° D.90° 3.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，4.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点 ∠B=30°，AC=5,CD为△ABC的中线，则 O,过点D作AC的平行线交BC的延长线于 CD的长为 点E.求证：BD=DE 能力检测 5.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=9,AB=3,将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF. (1)求折叠后DE的长； (2)连接DF,四边形EBFD是菱形吗？说明理由； (3)求折痕EF的长. G ●9《●参考案 【例1】解：(1)：四边形ABCD是菱形， ,纸条的宽度相同，∴AE=AF +AE=BE, ACLBD,BD-2D0,AO-CO-AC .AE⊥BC,AF⊥CD, 即32+x2=(9一x)2,解得x=4, ∴.∠AEB=∠AFD=90° .AE=4,.DE=5. =12,,AD=13,AO=12, 在△ABE和△ADF中， (2)四边形EBFD是菱形.理由： ∴.D0=√132-12=5，.BD=10. ∠ABC=∠ADC, ,四边形ABCD是矩形，.AD∥BC, ∴菱形ABCD的面积为2×ACXBD= ∠AEB=∠AFD, .∠BFE=∠DEF, AE-AF, ,∠BEF=∠DEF, ×10X24=120(cm2). ∴.△ABE≌△ADF(AAS),.AB=AD. .∠BEF=∠BFE,∴.BF=BE, (2):四边形ABCD是菱形， 四边形ABCD是平行四边形，AB= ,ED=BE,∴BF=DE. ∴.AB=AD=13, AD,.□ABCD是菱形 又BF∥ED,.四边形EBFD是平行 ∴菱形ABCD的面积为ABXEF=120, 设BE=xcm,在Rt△ABE中， 四边形，BE=BF,.平行四边形 ·EF=120 13cm. ∠ABC=60°，则AB=BC=2xcm, EBFD为菱形， 【变式1】解：(1)，四边形ABCD是菱形， 由勾股定理，得4x2=x2十3，x=√3， (3)如答图，连接BD,在Rt△ADB中 ∴.S菱形Bcm=BC·AE=2V3X3=6√3 根据勾股定理得AB十AD=BD, ∴.AB=BC=CD=AD=6cm,AC⊥BD .BD=310 OB-OD,OA=OC, (cm). ∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形， ∴.BD=AB=6cm,∴.OB=3cm. 第4课时矩形的性质与判定(1) 在Rt△AOB中，OA=√AB-OB 【新课学习 答图 √62-32=3√3(cm), 1.一个直角 ∴AC=20A=2X3√3=6√3(cm). 2.①直角相等斜边的一半. :菱形EBFD的面积为2 BD·EF (2S=号BD·AC=号×6X6B= ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90° DE·AB. -×3√/10·EF=5×3, AC-BD CD-AB 18√3(cm2). ∴.EF-=/10. 【例2】(1)证明：：CE⊥AB, 【例1】解：(1)四边形ABCD是矩形， ∴∠CEA=90°，∴∠CAE+∠ACE=90, ∴.AC=2OC=10=BD,∠BAD=90°， 第5课时 矩形的性质与判定(2) :∠ABO=∠ACE,∴∠ABO+∠BAO= :AD=6,AB=√BD-AD=8, 汇新课学可 90°，∠AOB=90°，.AOLOB, .BD=10,AB=8. 1.有一个角是直角2.对角线相等 :AB∥CD,AB=CD,∴.四边形ABCD (2)AD=6,AB=8, 3.有三个角是直角 是平行四边形，又：ACLBD,∴平行四边 .矩形的面积为AD×AB=48. 【例1】证明：，四边形ABCD是平行四边 形ABCD是菱形， 【变式1】解：：四边形ABCD是矩形， 形，.AB=CD,AB∥CD (2号 .∠DAB=90°，AC=BD, .∠A+∠D=180, .点M是AD的中点，.AM=DM, 【变式2】解：如答 OA-OC-AC,OB-OD-BD. 图，设AE交BF .OB=OC..·∠BOC=120°， 又BM=CM, ∴.△ABM≌△DCM(SSS), 于点O,连接EF ∴∠0BC=∠0CB=号(180°-120)=30 .∠A=∠D=90°， 四边形ABCD .AC=2AB=2×4=8. ,平行四边形ABCD是矩形 是平行四边形， 【例2】13 【变式1】解：四边形BEDF是矩形， 由作图可知：AB=AF,∠FAE=∠BAE, 理由：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,∠EAF=∠AEB, 【变式2】解：∠ACB=90°，E是边AB .AB=CD,BC=AD,AB∥CD,AD∥ .∠BAE=∠AEB,.AB=BE=AF, 的中点，CE=AE=合AB, BC.AF=CE,AB=CD, :AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边 .∠A=∠ECA=25°， ∴.AB-AF=CD-CE,即BF=DE, 形，.AB=AF,∴.四边形ABEF是菱形， ∴.∠DEC=∠A+∠ECA=50° :BF∥DE, ∴OA=OE,OB=OF= BF=3, ,CD⊥AB,.∠CDE=90°， ∴四边形BEDF为平行四边形， 在Rt△AOB中，∠AOB=90°， ∴.∠DCE=90°- ∠DEC=40°. 又，BE⊥CD,.∠BED=90°， .平行四边形BEDF为矩形 .OA=√AB-OB=√52-3=4， 课堂检测 【例2】证明：口ABCD的对角线AC,BD ..AE=20A=8. 1.B2.157.5 153 3.5 相交于点O,.AC=2AO,BD=2BO. 【课堂检测 4.证明：在矩形ABCD中， :△OAB是等边三角形.∴.OA=OB 1.B2.824 4.8 AD∥BC,.AD∥CE. AC=BD,∴.□ABCD是矩形. 3.解：四边形ABCD是菱形.理由： .AC∥DE, 【变式2】证明：，∠DOC=∠1+∠2 如答图，过点A作 .四边形ACED是平行四边形. ∠DOC=2∠2，.∠1=∠2.∴.OB=OC. AE⊥BC于点E,AF ∴.AC=DE.在矩形ABCD中，AC= 又·四边形ABCD是平行四边形， ⊥CD于点F, BD,∴.BD=DE :AD∥BC,AB∥ OB=号BD,OC=合AC 5.解：(1)，四边形ABCD是矩形， DC.四边形ABCD ∠A=90°， .BD=AC,.□ABCD是矩形 是平行四边形， 设AE=x,则BE=DE=9-x, 【课堂检测】 .∠ABC=∠ADC. 在Rt△AEB中，根据勾股定理，得AB 1.A2.C 3