九年级上册 第1章 第2课时菱形的性质与判定(2)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 在△DBE和△FCE中， 【变式2】证明：.AD∥BC 高效课堂 ∠BED=∠CEF, ∴.∠EAO=∠FCO. ∠B=∠C, 又EF为AC的垂直平分线， DE-EF, ∴AC⊥EF,AO=OC, （上)第一章特殊平行四边形 .△DBE≌△FCE,.BE=CE. 即∠AOE=∠COF=90°」 第1课时菱形的性质与判定(1) (2)解：DF∥BC.理由如下： .△FOC≌△EOA,∴.AE=FC 【新课学习】 如答图，连接AE, .四边形AFCE为平行四边形. 1.有一组邻边相等 :四边形ADEF 又AC⊥EF,.四边形AFCE是菱形 特殊 平行四边形 是菱形， 【例3】菱四条边都相等的四边形是菱形 2.(1)相等 ∴.AE⊥FD (2)互相垂直平分一组对角 课堂检测] .AB=AC,BE=CE (3)轴对称 1.D2.AC⊥BD ∴.AE⊥BC,.DF∥BC AB-BC-CD-AD 3.解：四边形ABCD是平行四边形 4.(8,4) AC⊥BD,∠BAO=∠DAO, ∴.AD∥BC,∴.∠DAC=∠BCA. 5.证明：如答图，连接AC ∠ABO=∠CBO, ,'AC平分∠DAB, 四边形ABCD是 ∠ADO=∠CDO,∠BCO=∠DCO ∴.∠DAC=∠BAC 菱形，∴.AB=BC 【例1】(1)4050 .∠BCA=∠BAC,∴.AB=BC AD=CD, (2)解：：四边形ABCD是菱形， ,□ABCD中AB=BC, ,∠B=∠D=60°， :∴D0=B0=号BD=5(cm), .四边形ABCD是菱形， ∠BCD=120°， .四边形ABCD的周长为4AB=12cm. AC=2OC,AC⊥BD, ,∴.△ABC,△ACD是等边三角形， 4.证明：(1)：DE∥AB,EF∥AC, 在Rt△COD中，由勾股定理，得OD+ ∴.∠BAC=∠ACD=60°，AC=AB= 四边形ADEF是平行四边形， CD,.BE-AF,.'.AE-DF, OC=CD, ∠ABD=∠BDE,∴.AF=DE, 在△ACE与△DCF中， .0C=√CD2-0D=√132-5=12， .'BD是△ABC的角平分线， AE-DF. .OC=12cm,∴AC=24cm. ∴∠ABD=∠DBE, ∠BAC=∠D,.△ACE≌△DCF, 【变式1】 .∠DBE=∠BDE, AC-CD, 解：(1)四边形ABCD是菱形， .BE=DE,∴.BE=AF ∴.EC=FC,∠ACE=∠DCF, ∴∠ADC=2∠CDO, (2):△ABC是等边三角形，BD是 ,∠DCF+∠ACF=60°， ∠ABC=∠ADC,DB⊥AC, △ABC的角平分线， ∴.∠ACE+∠ACF=60°， ∴.∠DOC=90°， .∠C=60°，AD=CD,BD⊥AC 即∠ECF=60°，△ECF是等边三角形. .∠ACD=30°，∴.∠CDO=60°， .∠BDC=90°， ∴.∠ABC=∠ADC=2∠CDO=120°. 由(1)知∠DBE=∠BDE=90-∠C= (2)四边形ABCD是菱形，BD=6, 第2课时 菱形的性质与判定(2) 30°，∴∠CED=60°， .DO=BO=3. 【新课学习： ∴△DCE是等边三角形， ∠DOC=90°，∠OCD=30°， 有一组邻边相等互相垂直平行四边 .'DE=CD-AD. .DC=2DO=6. 形四边相等的 四边形ABCD是平行 :由(1)知四边形ADEF是平行四边 ∴.四边形ABCD的周长为4×6=24. 四边形，AC⊥BDAB=BC=CD=AD 形，.四边形ADEF是菱形 【例2】证明：，四边形ABCD是菱形， 【例1】证明：：AB∥CD,AB=CD, 5.证明：∠ACB=90°， .AD=CD,∠ADB=∠CDB, .四边形ABCD是平行四边形 AE平分∠BAC,EH⊥AB, 又DE=DE, 又：∠1=∠2，.AB=AD. .CE-EH. ∴.△ADE≌△CDE,.AE=CE .□ABCD是菱形 在Rt△ACE和Rt△AHE中， 【变式2】 【变式1】证明：四边形ABCD是平行四 AE-AE,CE-EH, 证明：：四边形ABCD是菱形，.AB∥ 边形，∠B=∠D. .Rt△ACE≌Rt△AHE,∴.AC=AH, CD,CB=CD,∠ACB=∠ACD, AE⊥BC,AF⊥CD, :AE平分∠CAB, ,在△BCE和△DCE中， ∴∠AEB=∠AFD=90° ∴∠CAF=∠HAF, CB-CD, 在△ABE和△ADF中， .△CAF≌△HAF(SAS), ∠ACB=∠ACD, ∠B=∠D, .∠ACD=∠AHF CE-CE, ∠AEB=∠AFD, ,∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°， ∴.△BCE≌△DCE,.∠CBE=∠CDF AE=AF, ∴.∠ACD=∠B,.∠B=∠AHF, AB∥CD,∠AFD=∠CDF, ,.△ABE≌△ADF(AAS),'.AB=AD, .FH∥CE,易证CF∥EH, .∠AFD=∠CBE. .□ABCD是菱形 .四边形CFHE是平行四边形， 【例2】证明：四边形ABCD是平行四边 又，CE=HE 【课堂检测】 ∴.平行四边形CFHE是菱形. 1.C2.2cm 形，0C=AC=2,0D=BD=1, 3.(1)证明：四边形ADEF是菱形， DC8=(5)2=5. 第3课时 菱形的性质与判定(3) ∴.DE=EF,AB∥EF,DE∥AC, 又OD=1,OC=22=4, ∴.∠C=∠BED,∠B=∠CEF, 【新课学习】 ∴.OD2+OC=DC2, AB=AC,∠B=∠C, .∠DOC=90°，即AC⊥BD, BCD- BD·C0A0C0AC .∠BED=∠CEF. ∴.口ABCD是菱形. 对角线乘积的一半 2数学·九年级·全册（北师大版） 第2课时 菱形的性质与判定(2) 课学 菱形的判定 几何语言 由菱形的定义判定： 如图，已知四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O. 的平行四边形叫做菱形. 判定定理1： 菱形的判定定理1：对角线 的 .四边形ABCD是菱形. 是菱形. 判定定理2： 菱形的判定定理2： 四边形 ∴.四边形ABCD是菱形. 是菱形. 知识点①利用菱形的定义证明菱形 例1如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB= 变式1如图，在□ABCD中，AE⊥BC,垂足为E; CD,且∠1=∠2.求证：四边形ABCD是菱形. AF⊥CD,垂足为F,AE=AF.求证：□ABCD是 菱形 知识点②利用菱形的判定定理证明菱形 例2（教材P6例2改编）如图，在□ABCD中，变式2（教材P7T1改编）如图，四边形ABCD 对角线AC,BD交于点O,且AB=√5，AC=4, 中，AD∥BC,对角线AC的垂直平分线分别与 BD=2.求证：□ABCD是菱形 AD,AC,BC相交于点E,O,F.求证：四边形 AFCE是菱形. 第一章特殊平行四边形 3如图，分别以A,C为圆心，以大于2AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 B,D,依次连接AB,BC,CD,AD,四边形ABCD是 形，判断依据是 课堂检 基础过关 3.如图，在□ABCD中，AC平分∠DAB,AB= 1.从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判 3cm.求四边形ABCD的周长， 定平行四边形ABCD是菱形，则这个条件是 ( A.AC⊥BD B.AD-CD C.AB=BC D.AB=BD 2.四边形ABCD中，AC,BD交于点O,OA= OC,OB=OD,添加一个条件使四边形ABCD 成为菱形，可以添的条件是 圆能力检测 4.如图，BD是△ABC的角平分线，点E,F分别5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂 在BC,AB上，且DE∥AB,EF∥AC. 足为D,AE平分∠BAC,分别交BC,CD交于 (1)求证：BE=AF; 点E,F,EH⊥AB,垂足为H,连接FH.求证： (2)当△ABC是等边三角形时，求证：四边形 四边形CFHE是菱形. ADEF是菱形. ●>5 ●