九年级上册 第1章 第1课时菱形的性质与判定(1)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

(上)第一章 特殊平行四边形 第1课时 菱形的性质与判定(1) 新课学句 定义： 的平行四边形叫做菱形；菱形是 的平行四边形，它具有 的一切性质 菱形的性质 几何语言 1.菱形具有平行四边形的所有性质. 如图，四边形ABCD是菱形， 2.菱形不同于一般平行四边形的性质： ∴.性质如下： (1)四边都 (边) (2)两条对角线 ,并且每条对角 (对角线) 线 (3)是 图形 知识点①菱形的性质及相关计算 例1如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于 变式1 如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD= 点O: 30°，BD=6,求： (1)若∠BAD=80°，则∠BAC=°，∠ABD (1)∠ABC的度数； (2)四边形ABCD的周长. (2)若菱形的边长为13cm,BD长10cm,求对角 线AC的长度. 知识点2利用菱形的性质证明 例2如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上的任意一点，连接AE,CE.求证：AE=CE. 第一章特殊平行四边形 变式2如图，已知四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于点E,连接BE. 求证：∠AFD=∠CBE. 课堂检列 基础过关 1.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是 2.菱形的边长是2cm,一条对角线的长是 ( 2√3cm,则另一条对角线的长是 A.对角相等 B.对边相等 C.邻边相等 D.对边平行 3.如图，在△ABC中，AB=AC,四边形ADEF是菱形 (1)求证：BE=CE; (2)连接DF,说明DF与BC是否平行. 能力检测 4.如图，以菱形ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B 点的坐标为(3,4)，那么C点的坐标是 5.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E,F分别在AB,AD上，且BE=AF. O(A) D 求证：△ECF是等边三角形. ●3《●高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 在△DBE和△FCE中， 【变式2】证明：.AD∥BC 高效课堂 ∠BED=∠CEF, ∴.∠EAO=∠FCO. ∠B=∠C, 又EF为AC的垂直平分线， DE-EF, ∴AC⊥EF,AO=OC, （上)第一章特殊平行四边形 .△DBE≌△FCE,.BE=CE. 即∠AOE=∠COF=90°」 第1课时菱形的性质与判定(1) (2)解：DF∥BC.理由如下： .△FOC≌△EOA,∴.AE=FC 【新课学习】 如答图，连接AE, .四边形AFCE为平行四边形. 1.有一组邻边相等 :四边形ADEF 又AC⊥EF,.四边形AFCE是菱形 特殊 平行四边形 是菱形， 【例3】菱四条边都相等的四边形是菱形 2.(1)相等 ∴.AE⊥FD (2)互相垂直平分一组对角 课堂检测] .AB=AC,BE=CE (3)轴对称 1.D2.AC⊥BD ∴.AE⊥BC,.DF∥BC AB-BC-CD-AD 3.解：四边形ABCD是平行四边形 4.(8,4) AC⊥BD,∠BAO=∠DAO, ∴.AD∥BC,∴.∠DAC=∠BCA. 5.证明：如答图，连接AC ∠ABO=∠CBO, ,'AC平分∠DAB, 四边形ABCD是 ∠ADO=∠CDO,∠BCO=∠DCO ∴.∠DAC=∠BAC 菱形，∴.AB=BC 【例1】(1)4050 .∠BCA=∠BAC,∴.AB=BC AD=CD, (2)解：：四边形ABCD是菱形， ,□ABCD中AB=BC, ,∠B=∠D=60°， :∴D0=B0=号BD=5(cm), .四边形ABCD是菱形， ∠BCD=120°， .四边形ABCD的周长为4AB=12cm. AC=2OC,AC⊥BD, ,∴.△ABC,△ACD是等边三角形， 4.证明：(1)：DE∥AB,EF∥AC, 在Rt△COD中，由勾股定理，得OD+ ∴.∠BAC=∠ACD=60°，AC=AB= 四边形ADEF是平行四边形， CD,.BE-AF,.'.AE-DF, OC=CD, ∠ABD=∠BDE,∴.AF=DE, 在△ACE与△DCF中， .0C=√CD2-0D=√132-5=12， .'BD是△ABC的角平分线， AE-DF. .OC=12cm,∴AC=24cm. ∴∠ABD=∠DBE, ∠BAC=∠D,.△ACE≌△DCF, 【变式1】 .∠DBE=∠BDE, AC-CD, 解：(1)四边形ABCD是菱形， .BE=DE,∴.BE=AF ∴.EC=FC,∠ACE=∠DCF, ∴∠ADC=2∠CDO, (2):△ABC是等边三角形，BD是 ,∠DCF+∠ACF=60°， ∠ABC=∠ADC,DB⊥AC, △ABC的角平分线， ∴.∠ACE+∠ACF=60°， ∴.∠DOC=90°， .∠C=60°，AD=CD,BD⊥AC 即∠ECF=60°，△ECF是等边三角形. .∠ACD=30°，∴.∠CDO=60°， .∠BDC=90°， ∴.∠ABC=∠ADC=2∠CDO=120°. 由(1)知∠DBE=∠BDE=90-∠C= (2)四边形ABCD是菱形，BD=6, 第2课时 菱形的性质与判定(2) 30°，∴∠CED=60°， .DO=BO=3. 【新课学习： ∴△DCE是等边三角形， ∠DOC=90°，∠OCD=30°， 有一组邻边相等互相垂直平行四边 .'DE=CD-AD. .DC=2DO=6. 形四边相等的 四边形ABCD是平行 :由(1)知四边形ADEF是平行四边 ∴.四边形ABCD的周长为4×6=24. 四边形，AC⊥BDAB=BC=CD=AD 形，.四边形ADEF是菱形 【例2】证明：，四边形ABCD是菱形， 【例1】证明：：AB∥CD,AB=CD, 5.证明：∠ACB=90°， .AD=CD,∠ADB=∠CDB, .四边形ABCD是平行四边形 AE平分∠BAC,EH⊥AB, 又DE=DE, 又：∠1=∠2，.AB=AD. .CE-EH. ∴.△ADE≌△CDE,.AE=CE .□ABCD是菱形 在Rt△ACE和Rt△AHE中， 【变式2】 【变式1】证明：四边形ABCD是平行四 AE-AE,CE-EH, 证明：：四边形ABCD是菱形，.AB∥ 边形，∠B=∠D. .Rt△ACE≌Rt△AHE,∴.AC=AH, CD,CB=CD,∠ACB=∠ACD, AE⊥BC,AF⊥CD, :AE平分∠CAB, ,在△BCE和△DCE中， ∴∠AEB=∠AFD=90° ∴∠CAF=∠HAF, CB-CD, 在△ABE和△ADF中， .△CAF≌△HAF(SAS), ∠ACB=∠ACD, ∠B=∠D, .∠ACD=∠AHF CE-CE, ∠AEB=∠AFD, ,∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°， ∴.△BCE≌△DCE,.∠CBE=∠CDF AE=AF, ∴.∠ACD=∠B,.∠B=∠AHF, AB∥CD,∠AFD=∠CDF, ,.△ABE≌△ADF(AAS),'.AB=AD, .FH∥CE,易证CF∥EH, .∠AFD=∠CBE. .□ABCD是菱形 .四边形CFHE是平行四边形， 【例2】证明：四边形ABCD是平行四边 又，CE=HE 【课堂检测】 ∴.平行四边形CFHE是菱形. 1.C2.2cm 形，0C=AC=2,0D=BD=1, 3.(1)证明：四边形ADEF是菱形， DC8=(5)2=5. 第3课时 菱形的性质与判定(3) ∴.DE=EF,AB∥EF,DE∥AC, 又OD=1,OC=22=4, ∴.∠C=∠BED,∠B=∠CEF, 【新课学习】 ∴.OD2+OC=DC2, AB=AC,∠B=∠C, .∠DOC=90°，即AC⊥BD, BCD- BD·C0A0C0AC .∠BED=∠CEF. ∴.口ABCD是菱形. 对角线乘积的一半 2