第三章 二次函数（单元测试·提升卷）数学鲁教版五四制九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第三章 二次函数·提升卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象经过，两个点，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．给出下列函数，其中随的增大而减小的函数是（    ）． ①；②；③；④． A．①③④ B．②③④ C．②④ D．②③ 4．二次函数y=x2﹣x+1的图像与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 5．直线与抛物线在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象的对称轴是直线，且经过点．则下列结论正确的为（   ） A． B． C． D． 7．已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．对于二次函数的图象，下列结论错误的是（ ） A．顶点为原点 B．开口向下 C．除顶点外图象都在轴下方 D．当时，有最小值 9．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣2，3），抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，以下结论：①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＝0；③若（﹣4，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；④b2+3b＝4ac．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 10．抛物线与轴交于两点，是以为圆心，2为半径的上一动点，为中点，则线段长可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．将抛物线y=2x2向下平移b(b>0)个单位长度后，所得新抛物线经过点(1，−4)，则b的值为 ． 12．将二次函数化为顶点式为 ，对称轴是直线 ． 13．若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 14．已知和是抛物线上的两点，则和的大小关系是 ． 15．抛物线上部分点的横坐标， 纵坐标的对应值如下表： 0 1 2 0 4 6 6 4 从上表可知， 下列说法正确的序号是 ．（填序号）． ①抛物线与轴的一个交点为； ②拋物线与轴的交点为； ③抛物线的对称轴是： 直线；④在对称轴左侧随的增大而增大． 16．抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是 ． 三、解答题 17．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ． 18．如图，已知二次函数的图象经过点A（-1，0），B（1，-2），与x轴的另一个交点为C．    (1)求该图象的解析式； (2)求AC长． 19.某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． (1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ (2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 20．如图，一块矩形绿地由篱笆围着，并且由一条与边平行的篱笆分开，已知 ，篱笆的总长为． （1）用含x的代数式表示矩形绿地的面积S； （2）求矩形绿地的最大面积． 21．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点、，交轴于另一点，顶点为． 求抛物线的函数表达式； 求点、两点的坐标； 求的面积． 22．数字农业正带领现代农业进入一个崭新的时代，而智能温室大棚将成为现代农业发展进程中重要的参与者之一.某种植大户对自己的温室大棚进行改造时，先将大门进行了装修，如图2所示，该大门门头示意图由矩形和抛物线形组成，测得，，，以水平线为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系． (1)求此门头抛物线部分的表达式； (2)改造时，为了加周，要在棚内梁的四等分点M，N处焊接两排镀锌管支撑大棚，已知定制的每根镀锌管成品长，问是否需要截取，截取多少？ 23．综合实践 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 示意图 已知 轴，，，点为水流抛物线的顶点，点在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为； 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 请根据活动过程完成任务一、任务二． 24．百惠超市从果农处购进柚子的成本价为3元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分． (1)求y与x的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第三章 二次函数·提升卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象经过，两个点，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．给出下列函数，其中随的增大而减小的函数是（    ）． ①；②；③；④． A．①③④ B．②③④ C．②④ D．②③ 4．二次函数y=x2﹣x+1的图像与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 5．直线与抛物线在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象的对称轴是直线，且经过点．则下列结论正确的为（   ） A． B． C． D． 7．已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．对于二次函数的图象，下列结论错误的是（ ） A．顶点为原点 B．开口向下 C．除顶点外图象都在轴下方 D．当时，有最小值 9．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣2，3），抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，以下结论：①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＝0；③若（﹣4，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；④b2+3b＝4ac．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 10．抛物线与轴交于两点，是以为圆心，2为半径的上一动点，为中点，则线段长可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．将抛物线y=2x2向下平移b(b>0)个单位长度后，所得新抛物线经过点(1，−4)，则b的值为 ． 12．将二次函数化为顶点式为 ，对称轴是直线 ． 13．若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 14．已知和是抛物线上的两点，则和的大小关系是 ． 15．抛物线上部分点的横坐标， 纵坐标的对应值如下表： 0 1 2 0 4 6 6 4 从上表可知， 下列说法正确的序号是 ．（填序号）． ①抛物线与轴的一个交点为； ②拋物线与轴的交点为； ③抛物线的对称轴是： 直线；④在对称轴左侧随的增大而增大． 16．抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是 ． 三、解答题 17．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ． 18．如图，已知二次函数的图象经过点A（-1，0），B（1，-2），与x轴的另一个交点为C．    (1)求该图象的解析式； (2)求AC长． 19.某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． (1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ (2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 20．如图，一块矩形绿地由篱笆围着，并且由一条与边平行的篱笆分开，已知 ，篱笆的总长为． （1）用含x的代数式表示矩形绿地的面积S； （2）求矩形绿地的最大面积． 21．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点、，交轴于另一点，顶点为． 求抛物线的函数表达式； 求点、两点的坐标； 求的面积． 22．数字农业正带领现代农业进入一个崭新的时代，而智能温室大棚将成为现代农业发展进程中重要的参与者之一.某种植大户对自己的温室大棚进行改造时，先将大门进行了装修，如图2所示，该大门门头示意图由矩形和抛物线形组成，测得，，，以水平线为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系． (1)求此门头抛物线部分的表达式； (2)改造时，为了加周，要在棚内梁的四等分点M，N处焊接两排镀锌管支撑大棚，已知定制的每根镀锌管成品长，问是否需要截取，截取多少？ 23．综合实践 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 示意图 已知 轴，，，点为水流抛物线的顶点，点在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为； 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 请根据活动过程完成任务一、任务二． 24．百惠超市从果农处购进柚子的成本价为3元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分． (1)求y与x的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第三章 二次函数·提升卷（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B D A B D C D A B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．6 12． 13．且 14． 15．①②④ 16．﹣12＜t≤4 三、解答题（共8小题，共72分） 17. (8分) 【详解】（1）解：由表格可知，二次函数经过点， 所以该抛物线的对称轴为， 所以该抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数表达式为    将代入得：； 即   将代入得： ……………………………………(5分) （2）解：将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位， 依据二次函数图像平移时“左加右减，上加下减”的规则，得 ， 即． ……………………………………(8分) 18． (8分) 【详解】（1）把点代入中，得 解之得 ∴二次函数的解析式为： ……………………………………(5分) （2）对于二次函数 令得 ……………………………………(8分) 19. (8分) 【详解】（1）解：设每千克水果应涨价x元，根据题意，得：， 解得：，， ∵要尽可能让利于顾客，只能取， ∴售价应为（元）， 答：每千克特产商品的售价应为18元； ……………………………………(4分) （2）解：设每天获得的利润为W，销售价格为x，则 ∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元．………………………(8分) 20． (8分) 【详解】解：（1）由题意可得： ， 即； ……………………………………(4分) （2） ， ∵， 当时，取得最大值，此时，， 答：矩形绿地的最大面积是． ……………………………………(8分) 21． (10分) 【详解】直线与坐标轴的两个交点坐标分别是 ，， 抛物线经过、两点， ， 得到，， ∴抛物线的解析式． ……………………………………(4分) 令， 解得，， 所以点的坐标为； ， 所以顶点的坐标为． ……………………………………(8分) 如图，的面积四边形的面积的面积 的面积+梯形的面积的面积 ． ……………………………………(10分) 22． (8分) 【详解】（1）解：由题意，知， ， 设抛物线的顶点式为， 将点代入，得 解得， 此门头抛物线部分的表达式为； ……………………………………(4分) （2）解：需要截取， 要在棚内梁的四等分点M， N处焊接镀锌管，，， 当或时，代入抛物线的表达式得， ， 需要镀锌管长度为， ， 需要截取，每根镀锌管截取． ……………………………………(8分) 23． (10分) 【详解】解：任务一： 轴，，点为水流抛物线的顶点， 抛物线的对称轴为：， ， ， 把点代入抛物线得：， 把代入得：， 解得：， ， 水流抛物线的函数表达式为：； ……………………………………(6分) 任务二： 圆柱形水杯最左端到点的距离是， 当时，， ， 水流不能流到圆柱形水杯内． ……………………………………(10分) 24． (12分) 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得：， ∴当时，y与x的函数关系式为， 当时，设y与x的函数关系式为， ， 解得， 即当时，y与x的函数关系式为， 综上所述，y与x的函数关系式为； ……………………………………(6分) （2）解：设利润为w元， 当时，， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，此时， 当时，， ∴当x=10时，w取得最大值，此时w=980， ∵980>480， ∴当销售单价为10时，该超市每天的销售利润最大，最大利润是980元， 答：当销售单价为10时，该超市每天的销售利润最大，最大利润是980元． ………………………(12分) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第三章 二次函数·提升卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数求解可得． 【详解】解：A、y=3x-1是一次函数，不符合题意； B、中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； C、y=3x2+x-1是二次函数，符合题意； D、中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 2．已知二次函数的图象经过，两个点，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据函数的对称性和增减性即可解答． 【详解】解：二次函数， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， 二次函数的图象经过两个点 若，两个点都在抛物线对称轴的右边，随的增大而增大，则，故A选项错误，不符合题意； 若，点比点更接近抛物线的对称轴，则，故B选项正确，符合题意； 若，不能确定两个点都在抛物线对称轴的右边或左边，不能判定抛物线的增减性，则不能确定的大小，故C选项错误，不符合题意； 若，两个点都在抛物线对称轴的左边，随的增大而减小，则，故D选项错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性和增减性，熟记二次函数的性质是解题的关键． 3．给出下列函数，其中随的增大而减小的函数是（    ）． ①；②；③；④． A．①③④ B．②③④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】分别根据一次函数、二次函数及反比例函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：①∵中，∴随的增大而增大，故本小题错误； ②∵中，∴随的增大而减小，故本小题正确； ③∵中，∴时，随的增大而减小，故本小题正确； ④∵中，∴当时，随的增大而减小，故本小题错误． 故选D． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知一次函数、二次函数及反比例函数的增减性是解答此题的关键． 4．二次函数y=x2﹣x+1的图像与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 【答案】A 【详解】解： 二次函数y=x2﹣x+1的图像与x轴没有交点. 故选：A. 5．直线与抛物线在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次函数图像的特点判断a，b的值，再根据系数判断直线的位置，可得答案． 【详解】∵二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， 所以A错误； ∵二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限， 所以B正确； ∵二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 所C错误； ∵二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 所以D错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像，一次函数图像与系数的关系，准确的观察图像得出系数的大小是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象的对称轴是直线，且经过点．则下列结论正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式之间的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．根据二次函数开口向下，与轴交于正半轴，得到，，再由二次函数对称轴为直线，得到，由此即可判断选项A、B；当时，，由此即可判断选项C；求出二次函数与轴的另一个交点坐标为，即可判断选项D． 【详解】解：二次函数开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数对称轴为直线， ， ， ，故A、B结论错误，不符合题意； 当时，， ，故C结论错误，不符合题意； 二次函数经过点，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点坐标为， 当时，， 故D结论正确，符合题意 故选D． 7．已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．由，函数有最小值；后分类解答即可． 【详解】解：由，得函数有最小值；且距离对称轴越远，函数值越大； 又当时，函数的最大值与最小值的和为2， 当时，根据对称轴左侧，y随x的增大而减小， 故时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据题意，得， 解得，与矛盾， 故时无解； 当时；根据对称轴右侧，y随x的增大而增大， 当时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 此时函数的最大值与最小值的和为2， ∴当时，符合题意； 当时；根据对称轴右侧，y随x的增大而增大， 当时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据函数的最大值与最小值的和为2，得， 解得或，这与矛盾， 故时无解； 综上分析可知：n的取值范围是． 故选：C． 8．对于二次函数的图象，下列结论错误的是（ ） A．顶点为原点 B．开口向下 C．除顶点外图象都在轴下方 D．当时，有最小值 【答案】D 【分析】二次函数y=−x2是最基本的二次函数，结合它的图象顶点，开口方向，图象位置等，逐一判断． 【详解】根据二次函数的性质，可得： 二次函数y=−x2的图象顶点为原点，开口向下，A、B正确； 故除顶点外图象都在x轴下方，C正确； 而当x=0时，y有最大值0，D错误． 故选D． 【点睛】考查二次函数的图象与性质． 9．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣2，3），抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，以下结论：①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＝0；③若（﹣4，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；④b2+3b＝4ac．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据对称轴是，得到，根据已知条件得到抛物线与x轴的另一个交点在和之间，可得到，根据已知条件可得（﹣4，y1）到对称轴的水平距离小于（1，y2）到对称轴的水平距离，且抛物线开口向下，即可得到，根据抛物线的顶点坐标可得，即可得到； 【详解】∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为，抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴当时，，故②不正确； ∵， ∴（﹣4，y1）到对称轴的水平距离小于（1，y2）到对称轴的水平距离，且抛物线开口向下， ∴，故③正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣2，3）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①③④； 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确判断式子的符号是解题的关键． 10．抛物线与轴交于两点，是以为圆心，2为半径的上一动点，为中点，则线段长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、,取的中点,连接、,如图，解方程得,,再利用勾股定理计算出,接着根据三角形中位线性质和斜边上的中线性质得到,则利用三角形三边的关系得(当且仅当、、共线时取等号),从而可对各选项进行判断即可. 【详解】解：如图，连接、,取的中点,连接、, 当时，, 解得, ,, , ， 点为的中点，为的中点， , (当且仅当共线时取等号), 即 故选：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，勾股定理，三角形的中位线，直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识点，熟练掌握其性质，正确添加辅助线是解决此题的关键． 二、填空题 11．将抛物线y=2x2向下平移b(b>0)个单位长度后，所得新抛物线经过点(1，−4)，则b的值为 ． 【答案】6 【分析】根据平移规律和待定系数法确定函数关系式，即可求解． 【详解】解：∵平移后，设新抛物线的表达式为y=2x2-b， ∴新抛物线经过点（1，-4）， ∴将x=1，y=-4代入得：-4=2×12-b， ∴b=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键． 12．将二次函数化为顶点式为 ，对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，运用配方法将所给函数解析式化为顶点式，然后确定对称轴即可． 【详解】解：， ∴二次函数化为顶点式为，对称轴是直线， 故答案为：；． 13．若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据题意，令，得方程，有两个不同的根得，从而解出的范围． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为且． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）：△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 14．已知和是抛物线上的两点，则和的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数性质．熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，增减性，是解决问题的关键． 根据抛物线的开口向上，对称轴为直线，得到当时，y随x的增大而增大，根据和，得到． 【详解】∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵和在抛物线上，且， ∴． 故答案为：． 15．抛物线上部分点的横坐标， 纵坐标的对应值如下表： 0 1 2 0 4 6 6 4 从上表可知， 下列说法正确的序号是 ．（填序号）． ①抛物线与轴的一个交点为； ②拋物线与轴的交点为； ③抛物线的对称轴是： 直线；④在对称轴左侧随的增大而增大． 【答案】①②④ 【分析】根据图表信息，先确定出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的对称性对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：根据表格中信息，得：当时， ，当时，， ∴抛物线与轴的一个交点为，拋物线与轴的交点为，故①②正确； 由表可知，抛物线的对称轴为直线，故③错误； 结合图表可得，在对称轴左侧，随的增大而增大，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，仔细分析图表数据，判断出抛物线的对称轴是解题的关键． 16．抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是 ． 【答案】﹣12＜t≤4 【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，将一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3与函数y＝t的图象的交点横坐标，再由﹣2＜x＜3的范围确定y的取值范围即可求解． 【详解】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1， ∴， 解得：b＝﹣2， ∴y＝﹣x2﹣2x+3， ∴一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3与函数y＝t的图象的交点横坐标， ∵函数y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，且a＝﹣1＜0， ∴当x＝﹣1时，y取得最大值为4， 又∵当x＝﹣2时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3； 当x＝3时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣12； ∴当﹣2＜x＜3时，y的取值范围为﹣12＜y≤4， ∵方程在﹣2＜x＜3的范围内有实数根， ∴t的取值范围是﹣12＜t≤4． 故答案为：﹣12＜t≤4． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质以及二次函数与一元二次方程的联系，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解决本题的关键． 三、解答题 17．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质，根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，正确记忆基本变换性质是解题关键． （1）根据表格中的数据可以求得二次函数的解析式； （2）写出关于x轴对称的顶点坐标，即可求二次函数的解析式． 【详解】（1）解：由表格可知，二次函数经过点， 所以该抛物线的对称轴为， 所以该抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数表达式为    将代入得：； 即   将代入得： （2）解：将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位， 依据二次函数图像平移时“左加右减，上加下减”的规则，得 ， 即． 18．如图，已知二次函数的图象经过点A（-1，0），B（1，-2），与x轴的另一个交点为C．    (1)求该图象的解析式； (2)求AC长． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）把点代入中，利用待定系数法把问题转化为解方程组即可求解． （2）令求出A，C两点坐标即可解决问题． 【详解】（1）把点代入中，得 解之得 ∴二次函数的解析式为： （2）对于二次函数 令得 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，掌握求函数与坐标轴的交点坐标的方法，属于中考常考题型． 19.某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． (1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ (2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)18元 (2)销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元 【分析】（1）设每千克水果应涨价x元，根据题意列出一元二次方程即可求出结果； （2）设销售价格为x，用含x的式子表示所获利润，然后配方，利用平方的非负性即可求出最值． 【详解】（1）解：设每千克水果应涨价x元，根据题意，得：， 解得：，， ∵要尽可能让利于顾客，只能取， ∴售价应为（元）， 答：每千克特产商品的售价应为18元； （2）解：设每天获得的利润为W，销售价格为x，则 ∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元． 【点睛】本题考查一元二次方程和配方法的应用，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解题的关键． 20．如图，一块矩形绿地由篱笆围着，并且由一条与边平行的篱笆分开，已知 ，篱笆的总长为． （1）用含x的代数式表示矩形绿地的面积S； （2）求矩形绿地的最大面积． 【答案】（1）；（2）最大面积为． 【分析】（1）根据题意可以用相应的代数式表示出矩形绿地的面积即可； （2）将（1）中的解析式化为顶点式，即可解答本题． 【详解】解：（1）由题意可得： ， 即； （2） ， ∵， 当时，取得最大值，此时，， 答：矩形绿地的最大面积是． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的顶点式求函数的最值． 21．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点、，交轴于另一点，顶点为． 求抛物线的函数表达式； 求点、两点的坐标； 求的面积． 【答案】（1）；（2）点的坐标为；的坐标为；（3）3. 【分析】（1）先根据直线y=x+3求出A、B两点的坐标，然后将它们代入抛物线中即可求出待定系数的值； （2）根据（1）中抛物线的解析式可求出C，D两点的坐标； （3）对称轴交x轴与点E，利用△ABD的面积=四边形AOBD的面积-△ABO的面积=△AED的面积+梯形OEDB的面积-△ABO的面积计算即可． 【详解】直线与坐标轴的两个交点坐标分别是 ，， 抛物线经过、两点， ， 得到，， ∴抛物线的解析式． 令， 解得，， 所以点的坐标为； ， 所以顶点的坐标为．如图， 的面积四边形的面积的面积 的面积+梯形的面积的面积 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、图形面积的求法等知识点．考查了学生数形结合的数学思想方法． 22．数字农业正带领现代农业进入一个崭新的时代，而智能温室大棚将成为现代农业发展进程中重要的参与者之一.某种植大户对自己的温室大棚进行改造时，先将大门进行了装修，如图2所示，该大门门头示意图由矩形和抛物线形组成，测得，，，以水平线为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系． (1)求此门头抛物线部分的表达式； (2)改造时，为了加周，要在棚内梁的四等分点M，N处焊接两排镀锌管支撑大棚，已知定制的每根镀锌管成品长，问是否需要截取，截取多少？ 【答案】(1) (2)需要截取，每根镀锌管截取 【分析】本题考查了二次函数的实际应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用函数表达式求出点M，N出所对应的函数值，比较即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，知， ， 设抛物线的顶点式为， 将点代入，得 解得， 此门头抛物线部分的表达式为； （2）解：需要截取， 要在棚内梁的四等分点M， N处焊接镀锌管，，， 当或时，代入抛物线的表达式得， ， 需要镀锌管长度为， ， 需要截取，每根镀锌管截取． 23．综合实践 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 示意图 已知 轴，，，点为水流抛物线的顶点，点在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为； 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 请根据活动过程完成任务一、任务二． 【答案】任务一：水流抛物线的函数表达式为：；任务二：水流不能流到圆柱形水杯内． 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，函数值的计算是关键． 任务一：根据题意抛物线的对称轴为：，则，，运用待定系数法即可求解：圆柱形水杯最左端到点的距离是，则当时，，由此比较即可求解． 任务二： 【详解】解：任务一： 轴，，点为水流抛物线的顶点， 抛物线的对称轴为：， ， ， 把点代入抛物线得：， 把代入得：， 解得：， ， 水流抛物线的函数表达式为：； 任务二： 圆柱形水杯最左端到点的距离是， 当时，， ， 水流不能流到圆柱形水杯内． 24．百惠超市从果农处购进柚子的成本价为3元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分． (1)求y与x的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为10元时，该超市每天的销售利润最大，最大利润为980元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用： （1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解； （2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得：， ∴当时，y与x的函数关系式为， 当时，设y与x的函数关系式为， ， 解得， 即当时，y与x的函数关系式为， 综上所述，y与x的函数关系式为； （2）解：设利润为w元， 当时，， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，此时， 当时，， ∴当x=10时，w取得最大值，此时w=980， ∵980>480， ∴当销售单价为10时，该超市每天的销售利润最大，最大利润是980元， 答：当销售单价为10时，该超市每天的销售利润最大，最大利润是980元． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $