第2章 有理数的运算 期中考专题复习讲义（期中考情分析+15大常考题型+同步检测）2025-2026学年人教版七年级数学上册

第2章 有理数的运算 第1部分 期中考情分析 《有理数的运算》是七年级上册数学的核心运算模块，承接第1章《有理数》的概念基础，是期中考试的高频高分章节——覆盖选择、填空、解答全题型，其中“有理数混合运算”是解答题核心考点，“科学记数法”“乘方符号判断”是基础题易错点，部分创新题（如定义新运算、实际情境运算）还会结合生活场景区分难度。 期中考点 复习目标 考察形式 1.有理数的加法 1.掌握加法法则（同号取同号算绝对值和；异号取大绝对值符号算差值；与0相加得本身）； 2.会用加法交换律（）、结合律（）简化计算（如凑整、凑0）；3.能结合实际情境（温度升降、路程增减）列加法算式求解 1.基础必考题，多为选择（1题）、填空（1题）或解答题步骤； 2.中档题：多个有理数相加（含分数、小数）的简算； 3.创新题偶见：折线图（如气温变化）的加法应用 2.有理数的减法 1.掌握减法法则（，即“减一个数=加它的相反数”）； 2.能将减法转化为加法，统一运算形式； 3.会解决实际差值问题（如高度差、利润差） 1.高频基础题，常与加法结合出现在选择、填空或解答题（1-2题）； 2.核心易错点：符号转化错误（如误算为）； 3.无单独难题，侧重法则应用准确性 3.有理数的乘法 1.掌握乘法法则（同号得正、异号得负，绝对值相乘；与0相乘得0）； 2.会用乘法交换律、结合律、分配律（）简化计算； 3.能判断多个有理数相乘的符号（负因数个数偶正奇负） 1.基础必考题，覆盖选择（1题）、填空（1题）、解答步骤； 2.中档题：运用分配律简算（如）； 3.创新题偶见：商品利润（销量×单价差）的乘法应用 4.有理数的除法 1.掌握除法法则（，；同号得正、异号得负，绝对值相除）； 2.能将除法转化为乘法（小数化分数、带分数化假分数）； 3.牢记“0不能作除数”的规则 1.基础题，多与乘法结合出现在选择、填空或解答步骤； 2.高频易错点：0作除数的判断（选择题常考）、倒数符号错误（负数倒数仍为负）；3.侧重“转化思想”应用 5.有理数的乘方 1.掌握乘方定义（表示n个a相乘，a是底数、n是指数）；2.能区分底数符号（如与：前者底数为 2，结果-16；后者底数为-2，结果16）； 3.熟记特殊乘方（，，的周期性） 1.高频基础题，多为选择（1题）、填空（1题）； 2.核心易错点：底数符号混淆、误将乘方当乘法（如误算为）； 3.创新题偶见：的规律探究 6.有理数的混合运算 1.掌握运算顺序（先乘方→再乘除→最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内，先小后中再大）； 2.能规范书写步骤，避免跳步； 3.会用运算律简化复杂运算 1.期中必考题，多为解答题（1-2题，分值5-8分）； 2.中档题：含3-4种运算（如乘方+乘除+加减）； 3.压轴题偶见：结合代数式求值（先算混合运算再代入）； 4.创新题偶见：定义新运算（如规定，计算） 7.科学记数法与近似数 1.掌握科学记数法（，，n为正整数，n=原数整数位数-1）； 2.能将科学记数法还原原数（如）； 3.会根据要求取近似数（精确到某一位、保留有效数字） 1.基础必考题，多为选择（1题）、填空（1题）； 2.高频考法：用科学记数法表示大数（人口、面积）、判断近似数精确位（如精确到十位）； 3.创新题偶见：结合GDP、疫情数据的综合应用 第2部分 期中考必备知识点 知识点1：有理数运算的核心基础概念 倒数：乘积是1的两个数互为倒数，记为的倒数是（）。求倒数的方法：分数需交换分子分母位置；整数可写成分母为1的分数后再求倒数；带分数先化为假分数；小数先化成分数。 乘方的定义：求个相同乘数的积的运算叫作乘方，结果称为幂。在中，是底数，是指数，读作“的次幂”或“的次方”。 关键性质：0没有倒数；与均为非负数，即、，若，则且。 知识点2：有理数的加法运算 加法法则：①同号两数相加，取相同符号，和的绝对值等于加数绝对值的和；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，和的绝对值等于较大绝对值与较小绝对值的差，互为相反数的两数相加得0；③一个数同0相加，仍得这个数。 运算律：①加法交换律：；②加法结合律：，可用于多个有理数相加的简便运算，如分组结合互为相反数或同分母的数。 运算步骤：一看符号判断法则适用类型，二定和的符号，三算绝对值的和或差。 知识点3：有理数的减法运算 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即，减法可转化为加法进行计算。 转化关键：“两变一不变”——改变运算符号(减变加)、改变减数的性质符号(变为相反数)，被减数位置和性质符号不变。 结果规律：被减数大于减数时差为正，被减数小于减数时差为负。 知识点4：有理数的加减混合运算 统一转化：利用减法法则将混合运算转化为加法运算，形成“几个正数或负数的和”的形式。 简化书写：可省略和式中的加号及括号，如可读作“负9、负12、正3的和”或“负9减12加3”。 简便技巧：运用加法交换律和结合律，将正数、负数分别分组相加，或结合易凑整的数计算。 知识点5：有理数的乘法运算 基本法则：两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值等于乘数绝对值的积；任何数与0相乘都得0。 运算律(新版教材先呈现)：①乘法交换律：；②乘法结合律：；③分配律：，是简便运算的核心工具。 多因数乘法推广：几个非0数相乘，积的符号由负因数个数决定，奇数个负因数积为负，偶数个负因数积为正；有一个因数为0则积为0。 知识点6：有理数的除法运算 除法法则：①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即()；②两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以任何非0数得0。 运算注意：除法无独立运算律，需先转化为乘法后，再利用乘法运算律简化计算。 知识点7：有理数的乘除混合运算 运算顺序：同级运算从左到右依次进行，不可随意改变顺序。 符号规则：结果符号由负因数个数决定，偶数个负因数为正，奇数个负因数为负。 运算步骤：先将除法化为乘法，再确定积的符号，最后约分计算绝对值的积。 知识点8：有理数的乘方运算 运算法则：①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；③0的任何正整数次幂都是0。 易错提醒：与不同，当为奇数时，当为偶数时，如，。 计算器操作：平方按键，立方按键，其他次方按对应的次方键和数字键。 知识点9：有理数的混合运算 运算顺序(核心考点)：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算从左到右进行；③有括号时先算括号内，按小括号、中括号、大括号依次计算。 运算要求：以三步以内运算为主，需按步骤进行，不跳步，合理运用运算律简化计算，如分配律在含括号运算中的应用。 知识点10：科学记数法 定义：把大于10或小于-10的数表示成的形式(其中，是正整数)。 示例：，，的值等于原数整数位数减1。 知识点11：近似数与精确度 基本概念：准确数是精确表示量的数，近似数是与实际接近但有偏差的数；精确度指近似数与准确数的接近程度。 精确度表示：①按数位：如精确到个位、百分位；②按小数点：如精确到、，由近似数的最后一位数字所在数位决定。 有效数字：从左边第一个非零数字起，到精确位数止的所有数字，如的有效数字为2、0、3。 第3部分 期中考常考题型 【题型1】有理数的加法运算 1.期中考考点总结 -核心考查有理数加法法则：同号两数相加（取相同符号，绝对值相加，即）、异号两数相加（取绝对值较大数的符号，绝对值作差，即，）、一个数与0相加（仍得原数，即）。 -简单应用加法交换律（）和加法结合律（）简化计算（如相反数结合、凑整结合）。 2.解题攻略 -步骤：一定符号（根据加数正负判断和的符号）→二求绝对值（计算各加数的绝对值、)→三算加减(同号相加求和，异号相减求差)。 -简便技巧：遇到互为相反数(和为0，如)、和为整数的数(如)，优先结合计算，减少运算量。 【例题1】．（2024-2025埇桥区月考）计算（﹣2）+（﹣5）的结果等于（　　） A．﹣7 B．﹣10 C．7 D．10 【变式题1-1】．（2024-2025萧县月考）两数相加，如果和小于任何一个加数，那么这两个数（　　） A．同为正数 B．同为负数 C．一正数一负数 D．一个为0，一个为负数 【变式题1-2】．（2024-2025平房区二模）若x的相反数是2，|y|＝3，则x+y的值为（　　） A．﹣5 B．1 C．1或﹣5 D．﹣1或5 【变式题1-3】．（2024-2025济南校级月考）计算： （1）（+7）+（﹣21）+（﹣7）+（+21）； （2）； （3）（﹣1）+（+22）+（+101）+（﹣2）； （4）． 【题型2】有理数的减法运算 1.期中考考点总结 -重点考查减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数()，将减法转化为加法计算。 -结合数轴考查两点间距离：数轴上两点A(表示)、B(表示)的距离为(结果非负)。 2.解题攻略 -关键步骤：变号转化(将减号变为加号，同时把减数变为其相反数，如)，再按加法法则计算。 -数轴距离问题：先确定两点表示的数(如A表示、B表示)，再代入计算(即)。 【例题1】．（2024-2025瓯海区校级月考）已知|a|＝5，|b|＝3，且a+b＜0，则a﹣b的值为（　　） A．﹣8或﹣2 B．8或2 C．﹣8或2 D．8或﹣2 【变式题2-1】．（2024-2025埇桥区月考）若|x|＝9，|y|＝4，且x＞0，y＜0，那么x﹣y的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．13 D．﹣13 【变式题2-2】．（2024-2025河东区校级月考）已知|x|＝5，|y|＝2，且x＜y，则x﹣y的值为　 　 ． 【变式题2-3】．（2024-2025西安校级月考）计算： （1）50+（﹣15）； （2）； （3）1.6+（﹣3.5）+（﹣6.6）+3.5； （4）； （5）． 【题型3】有理数的乘法运算 1.期中考考点总结 -核心考查乘法法则：两数相乘(同号得正，异号得负，绝对值相乘，即)、任何数与0相乘得0()；多个有理数相乘(负因数个数定符号，奇负偶正)。 -简单应用乘法交换律()、结合律()和分配律()。 2.解题攻略 -步骤：先定符号(两数看正负，多数看负因数个数)→再算绝对值乘积(小数化分数、带分数化假分数，如，，方便约分)。 -分配律应用：遇到形式，优先展开(如)，避免复杂通分。 【例题3】．（2024-2025埇桥区校级月考）若2025×24＝m，则2025×25的结果可表示为（　　） A．m+1 B．m+2024 C．m+2025 D．m+25 【变式题3-1】．（2024-2025阳泉模拟）计算（﹣3）×4的结果为（　　） A．﹣12 B．﹣7 C．7 D．12 【变式题3-2】．（2024-2025西湖区校级月考）已知|a|＝6，|b|＝10． （1）若a＞b，求ab的值； （2）若|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值． 【变式题3-3】．（2024-2025天元区校级月考）计算： （1）； （2）1（﹣0.8）； （3）； （4）． 【题型4】有理数的除法运算 1.期中考考点总结 -重点考查除法法则：除以一个非0数等于乘它的倒数(，)；两数相除(同号得正，异号得负，绝对值相除，即)。 -结合倒数概念：乘积为1的两个数互为倒数(0无倒数，负数的倒数仍为负数，如的倒数是)。 2.解题攻略 -优先转化：除法变乘法(将除数变为倒数，除号变乘号，如)，再按乘法法则计算。 -特殊情况：若商为1，则被除数=除数()；若商为，则被除数与除数互为相反数()。 【例题4】．（2024-2025天津）计算（﹣21）÷（﹣7）的结果等于（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 【变式题4-1】．（2024-2025平顶山月考）计算的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 【变式题4-2】．（2024-2025台山市一模）计算：（﹣18）÷（﹣6）＝ 　 　 ． 【变式题4-3】．（2024-2025肇源县期末）计算下面各题． ； ； ． 【题型5】科学记数法的表示与还原 1.期中考考点总结 -核心考查科学记数法定义：将大于10或小于的数表示为(，为正整数)，为小数点移动的位数(向左移为正，向右移为负)。 -常结合实际数据(如人口、路程)考查表示，或还原科学记数法(如还原为32000)。 2.解题攻略 -表示步骤：定(移动小数点至只有一位整数，满足)→定(小数点移动几位，就为几；带单位时，万=、亿=，需叠加计算，如5.2万=)。 -还原步骤：为正，小数点向右移位(不足补0，如)；为负，小数点向左移位(如)。 【例题5】．（2024-2025滨海新区校级模拟）我国运算速度最快的超级计算机是神威太湖之光，其运算速度每秒约1017次运算，那么它工作一分钟可达到的运算次数用科学记数法表示为（　　） A．1017 B．60×1017 C．6×1018 D．3.6×1020 【变式题5-1】．（2024-2025白河县期末）计算2.6×107﹣2.4×107，结果用科学记数法表示为 　 　 ． 【变式题5-2】．（2024-2025岱岳区二模）2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为整数262310…0用科学记数法表示为2.6231×109，则原数中0的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式题5-3】．（2024-2025佛山期末）光在真空中的传播速度约为3×108米/秒，太阳光照射到某星球需要2×103秒，求该星球与太阳的距离（结果用科学记数法表示）． 【题型6】有理数的加减混合运算(提升) 1.期中考考点总结 -考查减法转加法的核心方法，将混合运算式化为“省略加号的和式”(如)。 -综合应用加法运算律进行简便计算，是期中考中档题高频考点(占4-6分)。 2.解题攻略 -第一步：统一加法(将所有减号转化为加号，减数变相反数，如)，写出省略加号的和式。 -第二步：分类结合(同号数结合、互为相反数结合、凑整数结合，如)，减少运算步骤。 【例题6】．（2024-2025望城区校级月考）计算： （1）（﹣8）+10+2+（﹣1）； （2）． 【变式题6-1】．（2024-2025长寿区校级月考）计算： （1）7+（﹣2）﹣3.4； （2）． 【变式题6-2】．（2024-2025宝安区校级月考）计算： （1）5+（﹣4）+（﹣3）+6； （2）（﹣2.4）+（﹣3.7）+（﹣4.6）+5.7． 【变式题6-3】．（2024-2025南昌校级月考）计算： （1）（﹣18）﹣（﹣5）+（﹣2）﹣（+15）； （2）． 【题型7】有理数的乘除混合运算(提升) 1.期中考考点总结 -考查乘除同级运算顺序(从左到右)，以及“除法转乘法”的转化思想。 -结合多个有理数相乘的符号法则(奇负偶正)，常含小数、带分数，需注意格式转化。 2.解题攻略 -关键转化：全化为乘法(除号变乘号，除数变倒数，如)，将式子变为连乘形式。 -符号优先：先根据负因数个数定整体符号(奇负偶正，如3个负因数则结果为负)，再计算绝对值的乘积(如)。 【例题7】．（2024-2025天水校级期中）计算： （1）； （2）． 【变式题7-1】．（2024-2025广州期中）计算． （1）（﹣8.46）×2.5×（﹣4）； （2）（﹣0.75）． 【变式题7-2】．（2024-2025龙马潭区校级期中）计算下列各题： （1）（﹣1）×（）÷（﹣2）； （2）﹣1÷（）（﹣5）． 【变式题7-3】．（2024-2025上城区校级月考）计算： （1）|﹣1.25|×（﹣8）×4 （2） 【题型8】有理数的乘方运算(提升) 1.期中考考点总结 -核心考查乘方的意义：表示个相乘(为底数，为指数)，重点区分、、的意义(如，；，)。 -考查乘方符号规律：正数的任何次幂为正，负数的奇次幂为负、偶次幂为正，的正整数次幂为。 2.解题攻略 -先辨底数：确认底数是否带括号(的底数是，的底数是)，避免符号错误(如，)。 -计算步骤：先定符号(根据底数正负和指数奇偶性)→再算绝对值的乘方(如)。 【例题8】．（2024-2025天津模拟）计算（﹣2）3÷4的结果是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8 【变式题8-1】．（2024-2025旌阳区校级月考）下列计算中，正确的个数是（　　） ①﹣（﹣2）2＝4；②；③；④﹣33＝﹣9；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题8-2】．（2024-2025鲤城区校级月考）计算：的结果是（　　） A．3m+4n B．m3+4n C．3m+4n D．3+n4 【变式题8-3】．（2024-2025雁塔区校级月考）计算． （1）﹣12﹣3×7÷3×7； （2）． 【题型9】有理数的混合运算(提升) 1.期中考考点总结 -考查混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内(小→中→大)。 -综合应用运算律(尤其是乘法分配律)简化计算，是期中考解答题核心考点(占6-8分)。 2.解题攻略 -步骤口诀：“先乘方，后乘除，最后加减；有括号，先算内；同级算，从左起”(如，注意先算而非)。 -简便技巧：遇括号内为多个数相加，优先用乘法分配律(如)，避免通分麻烦。 【例题9】．（2024-2025长寿区校级月考）计算： （1）； （2）． 【变式题9-1】．（2024-2025重庆校级月考）计算 （1）（﹣8）+10+3+（﹣1）； （2）； （3）； （4）． 【变式题9-2】．（2024-2025镇海区校级月考）计算： （1）（﹣3）2﹣6+2； （2）； （3）（﹣6）×|﹣2|﹣[﹣9+（﹣2）4+23]； （4）． 【变式题9-3】．（2024-2025南昌校级月考）计算： （1）； （2）． 【题型10】有理数运算的实际应用(提升) 1.期中考考点总结 -结合实际场景(收支记录、路程行驶、温度变化、产量增减)，考查有理数加减、乘除运算的应用。 -常需根据题意确定“正负数表示”(如收入为正、支出为负)，再列式计算。 2.解题攻略 -第一步：定正负意义(根据题干规定，如“以50km为标准，多于为正”，则42km记为km)。 -第二步：列运算式(求“总和”用加法，求“差值”用减法，求“平均值”先求和再除以个数，如“七天总路程=50×7+(各天增减量之和)”)→计算验证(结果需符合实际意义，如金额不能为负)。 【例题10】．（2024-2025丛台区校级四模）如图，容器中装有5个小球，小球上分别标有数字：﹣6，0，5，2，﹣3．现从容器中随机摸出四个小球，对小球上的数字进行运算． （1）①若摸出的四个小球上分别标有2，﹣6，0，﹣3，计算：2×（﹣6）﹣0﹣（﹣3）； ②若摸出的四个数字的积不为0，求这四个数字的和； （2）将摸出的四个小球上的数字按一定顺序填入“□﹣□﹣□﹣□”中的“□”内，计算所得算式的结果，直接写出计算结果的最小值． 【变式题10-1】．（2024-2025埇桥区校级月考）近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展．为积极响应国家节能减排的政策，王老师购置了一辆续航为350km（能行驶的最大路程）的新能源汽车，他将汽车充满电后连续7天每天使用，行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：km，以40km为标准，超过部分记为“+”，不足部分记为“﹣”）： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 行驶记录 ﹣6 +2 ■ ﹣3 +8 ● +7 （1）已知该汽车第三天行驶了45km，第六天行驶了34km，则“■”处的数为　 　 ，“●”处的为　 　 ． （2）若该新能源汽车每行驶1km耗电0.2千瓦•时，每千瓦•时电费约为0.5元，求王老师这一星期开新能源汽车的电费． （3）已知王老师这款新能源汽车在剩余行驶路程不足续航的20%时，行车电脑会发出充电提示．请通过计算说明该新能源汽车第七天行驶结束时，行车电脑是否会发出充电提示． 【变式题10-2】．（2024-2025鼓楼区校级月考）小明爸爸上个星期五买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）．[注：正负数表示与前一交易日比较的涨跌情况，如周一收盘时每股27+2＝29（元），如周二收盘时每股29﹣3.5＝25.5（元），另股票周六、周日休盘不交易] 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 +2 ﹣3.5 +2.5 ﹣2 +4 （1）通过上表你认为周三收盘时，每股是　 　 元． （2）本周内每股最多是　 　 元，最低是　 　 元． （3）若买进股票需付成交额0.15%的手续费，卖出时需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税，如果在星期五收盘前将股票全部卖出，小明爸爸盈亏多少元？请通过计算说明． （4）以每股27元为标准，高于27元部分为正，低于27元部分为负，请补全以下表格． 星期 一 二 三 四 五 每股单价 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 【变式题10-3】．（2024-2025南岗区校级月考）某服装厂计划平均每天生产200套运动服，超过计划产量的套数记为“+”，不足计划产量的套数记为“﹣”，下表记录的是该厂某一周的生产情况： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 +15 ﹣5 +21 +16 ﹣7 ▄ ﹣8 +60 表中星期六的记录情况被墨水涂污了． （1）根据记录，请计算星期六服装厂生产多少套运动服？ （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少套运动服？ （3）该服装厂工资结算方式如下： ①每人每天基本工资150元． ②以每天完成200套为标准，若当天超额完成任务，当天超额部分每套奖励18元；若当天未完成生产任务，则当天不足部分每套扣掉15元，该服装厂采用流水作业方式生产，当天所得奖金总额按人均分配，若该工厂这一周每天都有20名工人参与生产，则这一周服装厂实际需要付给每名工人多少元？ 【题型11】绝对值与乘方的非负性应用(提升) 1.期中考考点总结 -考查非负性性质：，(任何数的绝对值、偶次幂为非负数)；若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0(如，则，)。 -常结合代数式求值(如求、)，是教育强省(江苏、浙江)期中真题高频培优考点。 2.解题攻略 -核心依据：“非负和为0，各非负项均为0”，先列出方程(如，，解得，)。 -步骤：先求字母值→再代入代数式计算(如求，代入得)，注意乘方符号。 【例题11】．（2024-2025渝中区校级月考）若有理数x，y满足|x+2|+（y﹣3）2＝0，则xy的值是（　　） A．﹣8 B．8 C．9 D．﹣9 【变式题11-1】．（2024-2025新华区校级月考）若（a+1）2+|2﹣b|＝0，则ab的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2 【变式题11-2】．（2024-2025偃师区期末）已知a，b都是有理数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2025的值是（　　） A．﹣2025 B．﹣1 C．1 D．2025 【变式题11-3】．（2024-2025桥西区校级月考）已知|a+3|+（b﹣1）2＝0，则3a+b的值为（　　） A．﹣10 B．﹣8 C．8 D．10 【题型12】数轴上的动点问题(培优) 1.期中考考点总结 -结合数轴考查动点位置表示(如点P从表示的点出发，向右移动3个单位，位置为)、两点间距离()。 -常涉及“追及问题”“距离和差问题”，需用含(时间)的代数式表示动点位置，再列方程。 2.解题攻略 -第一步：定动点表达式(根据方向和速度，如点P从A(表示)出发，速度单位/秒，秒后位置为(向右)或(向左))。 -第二步：列距离关系(根据题意列绝对值方程，如“P、Q两点距离为4”，则)→化简求解，注意(时间非负)。 【例题12】．（2024-2025新城区校级月考）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． （1）将A，B，C三点所表示的数在如图中的数轴上表示出来； （2）根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度所到达的点？ （3）如果移动点A，B，C中的两个点，使得三个点重合，你有几种移动方法？请分别求出移动的长度之和． 【变式题12-1】．（2024-2025新会区校级期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）． （1）当t＝0.5时，点Q表示的数为 　 　 ；当t＝2.5时，点Q表示的数为 　 　 ； （2）当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 【变式题12-2】．（2024-2025呈贡区期末）数轴是初中数学的一个重要工具．它建立了“数”与“形”之间的对应，是“数形结合”的重要基础． 【阅读】|5﹣2|表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探究】 （1）数轴上表示3和﹣1的两点之间的距离是 　 　 （写出最后的结果），表示a与b的两点之间的距离为 　 　 ． （2）|x+3|可理解为x与 　 　 两数在数轴上所对应两点之间的距离；|x﹣4|可理解为x与 　 　 两数在数轴上所对应两点之间的距离；所以|x+3|+|x﹣4|的最小值为 　 　 ． （3）在数轴上，点A表示﹣1，点B表示9，点C与点D始终保持距离为2在射线BA上移动．已知点D在点C右侧，设点C对应的数为y，那么当点B到点D的距离恰好等于点A分别到C，D两点的距离之和时，y的值是多少？ 【变式题12-3】．（2024-2025莱西市期末）如图，把一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端点与数轴上的点A重合，右端点与数轴上的点B重合． 【问题探究】 （1）若将木棒沿数轴水平向右移动，则当它的左端点移动到点B处时，它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴水平向左移动，则当它的右端点移动到点A处时，它的左端点在数轴上对应的数为5，由此可得到木棒的长为　 　 cm； （2）图中点A表示的数为　 　 ，点B表示的数为　 　 ； 【问题解决】 （3）根据（1）（2），请你借助“数轴”这个工具帮助文文解决如下问题：一天，文文问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈!”请求出爷爷现在的年龄． 【题型13】有理数运算的规律探究(培优) 1.期中考考点总结 -考查数列规律(如)、运算规律(如)、图形规律(如“细胞分裂”“折绳计数”)。 -需归纳通项公式或循环周期，再计算指定项或总和，常见于北京、福建期中真题。 2.解题攻略 -第一步：找规律(观察符号、数值变化，如符号“负正交替”用表示，数值“依次加2”用表示)。 -第二步：验规律(用前3-4项验证通项公式，如数列，通项为，验证第3项：，正确)→用规律计算(如求第100项：)。 【例题13】．（2024-2025五华区校级模拟）观察下列算式：21＝2 22＝4 23＝8 24＝16 25＝32 26＝64 27＝128 28＝256…，根据上述算式中的规律，你认为22011的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式题13-1】．（2024-2025泰兴市月考）观察下列各式： 31﹣30＝2×30…………①； 32﹣31＝2×31…………②； 33﹣32＝2×32…………③； …… 探索以上式子的规律： （1）写出第5个等式：　 　 ； （2）试写出第n个等式，并说明第n个等式成立； （3）计算30+31+32+…+32020． 【变式题13-2】．（2024-2025建邺区校级月考）探究规律，完成相关题目：小明说：“我定义了一种新的运算，*（叫加乘）运算．”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： （+5）*（+2）＝+7；（﹣3）*（﹣5）＝+8；（﹣3）*（+4）＝﹣7；（+5）*（﹣6）＝﹣11；0*（+8）＝+8；（﹣6）*0＝+6． 小红看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ （1）归纳*（加乘）运算的运算法则：两数进行*（加乘）运算时，　 　 ．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，　 　 ． （2）计算：（﹣2）*[0*（﹣1）]＝ 　 　 ．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） （3）我们知道加法有结合律，这种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你判断它在*（加乘）运算中是否适用，并说明理由． 【变式题13-3】．（2024-2025通州区校级月考）阅读材料，回答下列问题： 平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化： （1）平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是　 　 ． A．（+3）+（+2）＝+5 B．（+3）+（﹣2）＝+1 C．（﹣3）﹣（+2）＝﹣5 D．（﹣3）+（+2）＝﹣1 ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律，当它跳2025次时，落在数轴上的点表示的数是　 　 ． （2）翻折变换 ①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2025的点与表示　 　 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2026（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示　 　 B点表示　 　 ． 【题型14】有理数运算的新定义(培优) 1.期中考考点总结 -定义新运算符号(如“”“”)，规定运算规则(如)，考查理解新规则并转化为有理数运算的能力。 -常结合加减、乘除、乘方，需严格按规则代入，是区分学生能力的培优题型。 2.解题攻略 -核心：“照猫画虎，严格代入”，先明确新运算的参数对应(如中，、分别对应已知数)。 -步骤：先代入新规则(如)→再按有理数运算顺序计算(先乘除后加减，得)，避免自创规则。 【例题14】．（2024-2025章丘区月考）定义新运算：，例如：﹣2⊗4＝（﹣2）2﹣4＝0，2⊗3＝﹣2+3＝1．若，则x的值为（　　） A． B．或 C． D．或 【变式题14-1】．（2024-2025江北区校级月考）材料一： 对于任意有理数a，b，定义新运算“⊕”：a⊕b＝4a﹣b+33．例如： 2⊕3＝4×2﹣3+33＝38，2⊕3⊕4＝（2⊕3）⊕4＝38⊕4＝4×38﹣4+33＝181． 材料二： 规定⟨m⟩表示不大于m的最大整数，如：⟨2.2⟩＝2，⟨﹣2.5⟩＝﹣3，2⟨﹣5⟩＝2×⟨﹣5⟩＝﹣10． 根据上述材料解答下列问题： （1）4⊕5＝　 　 ；⟨﹣4.5⟩⟨π⟩＝　 　 ； （2）计算1⊕（﹣1）+2⊕（﹣2）+3⊕（﹣3）+⋯+15⊕（﹣15）的值； （3）若有理数m，n满足2n＝3⟨m⟩＝4⟨m﹣1⟩，求⟨n⟩⊕⟨m+n⟩⊕⟨m⟩． 【变式题14-2】．（2024-2025陕西校级月考）定义新运算：，，（右边为常见的加、减、乘、除运算）． 若a*b＝a⊗b，则称有理数a，b为一组“魅力数对”． 例如：，，2*3＝2⊗3，所以2，3是一组“魅力数对”． 若a*b≠a⊗b，则称有理数a，b不是一组“魅力数对”． （1）下列各组数中的a，b是一组“魅力数对”的是　 　 （请填序号）． ①a＝1，b＝2； ②a＝﹣1，b＝1； ③，； （2）若，则有理数a，b　 　 （填“是”或“不是”）一组“魅力数对”； （3）计算：2025*2026﹣2025⊗2026． 【变式题14-3】．（2024-2025南京校级月考）综合与实践： 【阅读材料】定义“*”运算： （+2）*（+4）＝+（22+42）； （﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]； （﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]； （+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]； 0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2； （+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2． 0*0＝02+02＝0 （1）【发现】归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，　 　 ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，　 　 ． （2）【实践】计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝　 　 ． （3）【提升】是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【题型15】绝对值的分类讨论问题(培优) 1.期中考考点总结 -考查绝对值的定义：，，需根据的正负分类讨论。 -常涉及“已知()求”“化简”(如化简），需确定分界点。 2.解题攻略 -第一步：找分界点（令绝对值内式子为0，求出值，如的分界点为、）。 -第二步：分区间讨论（按分界点将数轴分为三段：、、）→分别化简绝对值（如时，）→合并同类项，得到不同区间的结果。 【例题15】．（2024-2025武进区校级月考）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB|＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． （1）利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 　 　 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 　 　 ． ②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 　 　 ，如果|AB|＝2，那么x＝ 　 　 ． （2）探索规律 ①求|x﹣1|+|x﹣2|的最小值是 　 　 ； ②|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是 　 　 ； （3）知识迁移：|x+3|﹣|x﹣4|的最大值是 　 　 ． 【变式题15-1】．（2024-2025南通校级月考）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）应用一：已知如图，点A在数轴上表示为﹣2，数轴上任意一点B表示的数为x，则AB两点的距离可以表示为　 　 ． （2）应用二：若点B表示的整数为x，则当x为　 　 时，|x+4|与|x﹣2|的值相等； （3）应用三：|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣5和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出|x+5|+|x﹣2|的最小值为　 　 ，此时所有符合条件的整数x的和为　 　 ． （4）应用四：令M＝|x﹣1|+|x+5|+|x﹣3|+|x+2|，则M的最小值为　 　 ，当M取得最小值时，整数x的值是　 　 ． 【变式题15-2】．（2024-2025昆山市月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离． 如图，|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|＝|5﹣0|，即|5﹣0|也可理解为5与0两数在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示3的点与表示x的点之间的距离． 一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|． 【学以致用】 （1）计算：|1﹣（﹣3）|＝ 　 　 ，若|x﹣（﹣1）|＝3，则x＝ 　 　 ； （2）若|x﹣2|+|x+4|＝10，则x＝ 　 　 ； （3）当整数x取 　 　 时，|x﹣2|+|x+4|的值最小，且其最小值为 　 　 ； 【拓展延伸】 如果数轴上有三个点且其中一个点与另外两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“三倍点”．例如，数轴上点M，N，P所表示的数分别为1，4，5，此时|4﹣1|＝3×|5﹣4|，因此点N是M，P的“三倍点”． （4）若点A表示的数是1，点B表示的数是﹣3，问题（3）中整数x所对应的点有哪几个是A，B的“三倍点”？请说明理由． （5）若点C表示的数是﹣10，点D表示的数是6，请直接写出点C，D的“三倍点”所对应的数值． 【变式题15-3】．（2024-2025皇姑区校级月考）华罗庚是中国著名数学家、教育家和社会活动家，被誉为“中国现代数学之父”，他曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离可以表示为AB＝|a﹣b|，例如，|5﹣2|表示5与2差的绝对值，可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，、B两点之间的距离可以表示为AB＝|a﹣b|． 【初步运用】 （1）数轴上表示5与﹣2的两点之间的距离为 　 　 ； （2）已知数轴上某个点表示的数为x． ①若|x﹣4|＝2，则x＝ 　 　 ； ②若|x+3|＝|x﹣5|，则x＝ 　 　 ； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A，B，C表示的数分别为a，b，c． ①|a﹣b|+|b﹣c|＝ 　 　 ； ②若|b﹣2a|＝5，则点C表示的数为 　 　 ； ③已知a＜b＜c，且某个点表示的数x在a，c之间，那么|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为c﹣a，且数x的点与数b的点重合．若该数轴上另有两个点P，Q，它们分别表示有理数p，q，其中点Q在线段AC上，当|p﹣a|+|p﹣c|＝10且|q﹣a|+|q﹣b|+|q﹣c|最小时，则P，Q两点之间的距离为 　 　 ． 同步检测 一．选择题（共5小题） 1．代数式（上面“5”的个数是x个，下面“3”的个数是y个）计算结果是（　　） A． B． C． D． 2．下列各对数中，数值相等的数是（　　） A．﹣|23|与|﹣23| B．﹣32与（﹣3）2 C．与 D．﹣23与（﹣2）3 3．把3+（﹣4）+（﹣5）写成省略括号的代数和的形式，正确的是（　　） A．3﹣4﹣5 B．﹣3﹣4﹣5 C．3﹣4+5 D．﹣3﹣4+5 4．2025年投入乡村振兴资金为1250亿元，将“1250亿”用科学记数法表示为（　　） A．12.5×1010 B．1.25×1011 C．1.25×1012 D．0.125×1012 5．一个数的是12，这个数的是（　　） A． B．3 C．5 D． 二．填空题（共5小题） 6．若|3x﹣1|与|y+1|互为相反数，则x+y＝　 　 ． 7．如图1，第十四届国际数学教育大会的标识蕴含多种数学元素．如图2，“ICME﹣14”下方的“卦”依次表示四个二进制数：（011）2、（111）2、（100）2、（101）2，可将它们依次转换为八进制数（3745）8．其中，二进制数转换成八进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘2的相应次方（从右往左依次为20，21，22），然后相加，例如（100）2＝1×22+0×21+0×20＝4，请仿照二进制数转换为八进制数的方法，将八进制数（3745）8转换为十进制数为　 　 ．（注：20＝1，80＝1） 8．计算：202.2×89.8﹣20.22×186+2.022×3570﹣0.2022×16900＝　 　 ． 9．规定图形表示运算a﹣b+c，图形表示运算x+z﹣y﹣w，则+＝ 　 　 ． 10．对于任意有理数a、b，定义新运算：a⊗b＝a2+2b，则（﹣1）⊗2＝ 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 11．计算： （1）（+7）+（﹣21）+（﹣7）+（+21）； （2）； （3）（﹣1）+（+22）+（+101）+（﹣2）； （4）． 12．简便运算： （1）； （2）． 13．如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，y+1没有倒数，那么代数式﹣2|a+b|+cd+（y﹣1）（a+b﹣1）的值是多少？ 14．已知|a|＝4，|b|＝5，根据下列条件，求式子的值． （1）当a＜0，b＜0时，求a+b的值； （2）当ab＜0时，求a﹣2b的值． 15．登山队员王叔叔以某营地为基准，向距该营地500米的顶峰冲击，由于天气骤变，攀岩过程中不得不几次下撤躲避强高空风记王叔叔向上爬升的海拔高度为正数，向下撤退时下降的海拔高度为负数，这次登山的行进过程记录如下：（单位：米） +260，﹣50，+90，﹣20，+80，﹣25，+105． （1）这次登山王叔叔有没有登上顶峰？若没有，最终距顶峰还有多少米？ （2）这次登山过程中，每上升或下降1米，平均消耗8千卡的能量，求王叔叔这次登山过程中共消耗了多少能量？ 16．近年来，直播带货火爆网络．某学习小组调查了某网络直播一周的带货情况，如表是该网络直播某产品一周的销售量（规定每天销量超过100件的部分，记为“+”，低于100件的部分，记为“﹣”）． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 销售量/件 +15 +18 ﹣13 ﹣5 +24 ﹣15 +11 根据以上内容，解答下列问题． （1）该网络直播这周周末两天共销售 　 　 件． （2）这周销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 　 　 件． （3）若该产品的售价为4元/件，不考虑其他因素，求这周直播销售的总收入． 17．阅读下列材料，完成后面的任务． 点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|． 如图，从数轴上看，若点A，B表示的数分别是1，4 则|AB|＝|4﹣1|＝3或|AB|＝|1﹣4|＝3． 【归纳】若点A，B表示的数分别是x1，x2， 则|AB|＝|x1，x2|或|AB|＝|x2﹣x1|． 任务： （1）若点A表示的数﹣1，点B表示的数为2，|AB|＝　 　 ． （2）若点A表示的数1，|AB|＝3，则点B表示的数为　 　 ． （3）试用数轴探究，当|m﹣4|＝3时，m的值为　 　 ． 18．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：|3﹣1|可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；|3+1|可以理解为数轴上表示3与﹣1的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和﹣3的两点之间的距离可用|4﹣（﹣3）|表示． 根据以上阅读材料探索下列问题： （1）数轴上表示4和8的两点之间的距离是　 　 ；数轴上表示3和﹣6的两点之间的距离是　 　 ．（直接写出最终结果） （2）若数轴上表示的数x和﹣2的两点之间的距离是12，则x的值为　 　 ． （3）若x表示一个有理数，则|x+1|+|x﹣3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数的运算 第1部分 期中考情分析 《有理数的运算》是七年级上册数学的核心运算模块，承接第1章《有理数》的概念基础，是期中考试的高频高分章节——覆盖选择、填空、解答全题型，其中“有理数混合运算”是解答题核心考点，“科学记数法”“乘方符号判断”是基础题易错点，部分创新题（如定义新运算、实际情境运算）还会结合生活场景区分难度。 期中考点 复习目标 考察形式 1.有理数的加法 1.掌握加法法则（同号取同号算绝对值和；异号取大绝对值符号算差值；与0相加得本身）； 2.会用加法交换律（）、结合律（）简化计算（如凑整、凑0）；3.能结合实际情境（温度升降、路程增减）列加法算式求解 1.基础必考题，多为选择（1题）、填空（1题）或解答题步骤； 2.中档题：多个有理数相加（含分数、小数）的简算； 3.创新题偶见：折线图（如气温变化）的加法应用 2.有理数的减法 1.掌握减法法则（，即“减一个数=加它的相反数”）； 2.能将减法转化为加法，统一运算形式； 3.会解决实际差值问题（如高度差、利润差） 1.高频基础题，常与加法结合出现在选择、填空或解答题（1-2题）； 2.核心易错点：符号转化错误（如误算为）； 3.无单独难题，侧重法则应用准确性 3.有理数的乘法 1.掌握乘法法则（同号得正、异号得负，绝对值相乘；与0相乘得0）； 2.会用乘法交换律、结合律、分配律（）简化计算； 3.能判断多个有理数相乘的符号（负因数个数偶正奇负） 1.基础必考题，覆盖选择（1题）、填空（1题）、解答步骤； 2.中档题：运用分配律简算（如）； 3.创新题偶见：商品利润（销量×单价差）的乘法应用 4.有理数的除法 1.掌握除法法则（，；同号得正、异号得负，绝对值相除）； 2.能将除法转化为乘法（小数化分数、带分数化假分数）； 3.牢记“0不能作除数”的规则 1.基础题，多与乘法结合出现在选择、填空或解答步骤； 2.高频易错点：0作除数的判断（选择题常考）、倒数符号错误（负数倒数仍为负）；3.侧重“转化思想”应用 5.有理数的乘方 1.掌握乘方定义（表示n个a相乘，a是底数、n是指数）；2.能区分底数符号（如与：前者底数为 2，结果-16；后者底数为-2，结果16）； 3.熟记特殊乘方（，，的周期性） 1.高频基础题，多为选择（1题）、填空（1题）； 2.核心易错点：底数符号混淆、误将乘方当乘法（如误算为）； 3.创新题偶见：的规律探究 6.有理数的混合运算 1.掌握运算顺序（先乘方→再乘除→最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内，先小后中再大）； 2.能规范书写步骤，避免跳步； 3.会用运算律简化复杂运算 1.期中必考题，多为解答题（1-2题，分值5-8分）； 2.中档题：含3-4种运算（如乘方+乘除+加减）； 3.压轴题偶见：结合代数式求值（先算混合运算再代入）； 4.创新题偶见：定义新运算（如规定，计算） 7.科学记数法与近似数 1.掌握科学记数法（，，n为正整数，n=原数整数位数-1）； 2.能将科学记数法还原原数（如）； 3.会根据要求取近似数（精确到某一位、保留有效数字） 1.基础必考题，多为选择（1题）、填空（1题）； 2.高频考法：用科学记数法表示大数（人口、面积）、判断近似数精确位（如精确到十位）； 3.创新题偶见：结合GDP、疫情数据的综合应用 第2部分 期中考必备知识点 知识点1：有理数运算的核心基础概念 倒数：乘积是1的两个数互为倒数，记为的倒数是（）。求倒数的方法：分数需交换分子分母位置；整数可写成分母为1的分数后再求倒数；带分数先化为假分数；小数先化成分数。 乘方的定义：求个相同乘数的积的运算叫作乘方，结果称为幂。在中，是底数，是指数，读作“的次幂”或“的次方”。 关键性质：0没有倒数；与均为非负数，即、，若，则且。 知识点2：有理数的加法运算 加法法则：①同号两数相加，取相同符号，和的绝对值等于加数绝对值的和；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，和的绝对值等于较大绝对值与较小绝对值的差，互为相反数的两数相加得0；③一个数同0相加，仍得这个数。 运算律：①加法交换律：；②加法结合律：，可用于多个有理数相加的简便运算，如分组结合互为相反数或同分母的数。 运算步骤：一看符号判断法则适用类型，二定和的符号，三算绝对值的和或差。 知识点3：有理数的减法运算 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即，减法可转化为加法进行计算。 转化关键：“两变一不变”——改变运算符号(减变加)、改变减数的性质符号(变为相反数)，被减数位置和性质符号不变。 结果规律：被减数大于减数时差为正，被减数小于减数时差为负。 知识点4：有理数的加减混合运算 统一转化：利用减法法则将混合运算转化为加法运算，形成“几个正数或负数的和”的形式。 简化书写：可省略和式中的加号及括号，如可读作“负9、负12、正3的和”或“负9减12加3”。 简便技巧：运用加法交换律和结合律，将正数、负数分别分组相加，或结合易凑整的数计算。 知识点5：有理数的乘法运算 基本法则：两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值等于乘数绝对值的积；任何数与0相乘都得0。 运算律(新版教材先呈现)：①乘法交换律：；②乘法结合律：；③分配律：，是简便运算的核心工具。 多因数乘法推广：几个非0数相乘，积的符号由负因数个数决定，奇数个负因数积为负，偶数个负因数积为正；有一个因数为0则积为0。 知识点6：有理数的除法运算 除法法则：①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即()；②两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以任何非0数得0。 运算注意：除法无独立运算律，需先转化为乘法后，再利用乘法运算律简化计算。 知识点7：有理数的乘除混合运算 运算顺序：同级运算从左到右依次进行，不可随意改变顺序。 符号规则：结果符号由负因数个数决定，偶数个负因数为正，奇数个负因数为负。 运算步骤：先将除法化为乘法，再确定积的符号，最后约分计算绝对值的积。 知识点8：有理数的乘方运算 运算法则：①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；③0的任何正整数次幂都是0。 易错提醒：与不同，当为奇数时，当为偶数时，如，。 计算器操作：平方按键，立方按键，其他次方按对应的次方键和数字键。 知识点9：有理数的混合运算 运算顺序(核心考点)：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算从左到右进行；③有括号时先算括号内，按小括号、中括号、大括号依次计算。 运算要求：以三步以内运算为主，需按步骤进行，不跳步，合理运用运算律简化计算，如分配律在含括号运算中的应用。 知识点10：科学记数法 定义：把大于10或小于-10的数表示成的形式(其中，是正整数)。 示例：，，的值等于原数整数位数减1。 知识点11：近似数与精确度 基本概念：准确数是精确表示量的数，近似数是与实际接近但有偏差的数；精确度指近似数与准确数的接近程度。 精确度表示：①按数位：如精确到个位、百分位；②按小数点：如精确到、，由近似数的最后一位数字所在数位决定。 有效数字：从左边第一个非零数字起，到精确位数止的所有数字，如的有效数字为2、0、3。 第3部分 期中考常考题型 【题型1】有理数的加法运算 1.期中考考点总结 -核心考查有理数加法法则：同号两数相加（取相同符号，绝对值相加，即）、异号两数相加（取绝对值较大数的符号，绝对值作差，即，）、一个数与0相加（仍得原数，即）。 -简单应用加法交换律（）和加法结合律（）简化计算（如相反数结合、凑整结合）。 2.解题攻略 -步骤：一定符号（根据加数正负判断和的符号）→二求绝对值（计算各加数的绝对值、)→三算加减(同号相加求和，异号相减求差)。 -简便技巧：遇到互为相反数(和为0，如)、和为整数的数(如)，优先结合计算，减少运算量。 【例题1】．（2024-2025埇桥区月考）计算（﹣2）+（﹣5）的结果等于（　　） A．﹣7 B．﹣10 C．7 D．10 【答案】A 【分析】同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，由此计算即可． 【解答】解：（﹣2）+（﹣5）＝﹣（2+5）＝﹣7， 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题1-1】．（2024-2025萧县月考）两数相加，如果和小于任何一个加数，那么这两个数（　　） A．同为正数 B．同为负数 C．一正数一负数 D．一个为0，一个为负数 【答案】B 【分析】根据有理数的加法法则进行解题即可． 【解答】解：由题可知，两数相加，如果和小于任何一个加数， 则这两个数都是负数． 故选：B． 【点评】本题考查有理数的加法，注意掌握有理数加法的特点，加上一个负数等于减去一个正数． 【变式题1-2】．（2024-2025平房区二模）若x的相反数是2，|y|＝3，则x+y的值为（　　） A．﹣5 B．1 C．1或﹣5 D．﹣1或5 【答案】C 【分析】先根据相反数及绝对值的知识求出x和y，然后代入求解即可． 【解答】解：∵x的相反数是2，|y|＝3， ∴x＝﹣2，y＝±3， 故x+y＝1或﹣5． 故选：C． 【点评】此题考查了代数式求值的知识，涉及了相反数及绝对值的知识，属于基础题，注意本题有两个解，不要遗漏． 【变式题1-3】．（2024-2025济南校级月考）计算： （1）（+7）+（﹣21）+（﹣7）+（+21）； （2）； （3）（﹣1）+（+22）+（+101）+（﹣2）； （4）． 【答案】（1）0；（2）；（3）120；（4）3． 【分析】（1）根据加法结合律计算； （2）根据加法结合律计算即可； （3）根据有理数加法法则计算； （4）根据加法结合律运算． 【解答】（1）解：（+7）+（﹣21）+（﹣7）+（+21） ＝[7+（﹣7）]+[（﹣21）+21] ＝0+0 ＝0； （2） ； （3）（﹣1）+（+22）+（+101）+（﹣2） ＝22+101+（﹣2﹣1） ＝123﹣3 ＝120； （4）原式 ＝3+0 ＝3． 【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算的法则是解题的关键． 【题型2】有理数的减法运算 1.期中考考点总结 -重点考查减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数()，将减法转化为加法计算。 -结合数轴考查两点间距离：数轴上两点A(表示)、B(表示)的距离为(结果非负)。 2.解题攻略 -关键步骤：变号转化(将减号变为加号，同时把减数变为其相反数，如)，再按加法法则计算。 -数轴距离问题：先确定两点表示的数(如A表示、B表示)，再代入计算(即)。 【例题2】．（2024-2025瓯海区校级月考）已知|a|＝5，|b|＝3，且a+b＜0，则a﹣b的值为（　　） A．﹣8或﹣2 B．8或2 C．﹣8或2 D．8或﹣2 【答案】A 【分析】根据绝对值的意义及a+b＜0，可得a，b的值，再根据有理数的减法，可得答案． 【解答】解：∵|a|＝5， ∴a＝±5， ∵|b|＝3， ∴b＝±3， ∵a+b＜0， ∴a＝﹣5，b＝3或a＝﹣5，b＝﹣3， 当a＝﹣5，b＝3时，a﹣b＝﹣5﹣3＝﹣8； 当a＝﹣5，b＝﹣3时，a﹣b＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的加减法，绝对值，求出a、b的值是解答本题的关键． 【变式题2-1】．（2024-2025埇桥区月考）若|x|＝9，|y|＝4，且x＞0，y＜0，那么x﹣y的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．13 D．﹣13 【答案】C 【分析】先利用绝对值的代数意义求出x与y的值，进而求x﹣y的值． 【解答】解：根据题意可知，x＝±9，y＝±4， ∵x＞0，y＜0， ∴x＝9，y＝﹣4， ∴x﹣y＝9﹣（﹣4）＝9+4＝13． 故选：C． 【点评】本题考查了绝对值，有理数的减法，掌握相应的运算法则是关键． 【变式题2-2】．（2024-2025河东区校级月考）已知|x|＝5，|y|＝2，且x＜y，则x﹣y的值为　﹣7或﹣3　 ． 【答案】﹣7或﹣3． 【分析】根据绝对值的意义可得x＝±5，y＝±2，进而由x＜y得到x＝﹣5，y＝±2，再分别代入代数式计算即可求解． 【解答】解：∵|x|＝5， ∴x＝±5， ∵|y|＝2， ∴y＝±2， ∵x＜y， ∴x＝﹣5，y＝2或x＝﹣5，y＝﹣2， 当x＝﹣5，y＝2时，x﹣y＝﹣5﹣2＝﹣5+（﹣2）＝﹣7； 当x＝﹣5，y＝﹣2时，x﹣y＝﹣5﹣（﹣2）＝﹣5+2＝﹣3； 综上，x﹣y的值为﹣7或﹣3， 故答案为：﹣7或﹣3． 【点评】本题考查了有理数的减法，绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【变式题2-3】．（2024-2025西安校级月考）计算： （1）50+（﹣15）； （2）； （3）1.6+（﹣3.5）+（﹣6.6）+3.5； （4）； （5）． 【答案】（1）35； （2）； （3）﹣5； （4）； （5）． 【分析】（1）根据有理数的加减法运算法则求解即可； （2）将减法转换为加法，计算即可； （3）利用加法的交换律和结合律运算即可； （4）将减法转换为加法，利用加法的交换律和结合律运算即可； （5）将减法转换为加法，利用加法的交换律和结合律运算即可． 【解答】解：（1）50+（﹣15） ＝50﹣15 ＝35； （2）原式 ； （3）原式＝[1.6+（﹣6.6）]+[（﹣3.5）+3.5] ＝﹣5+0 ＝﹣5； （4）原式 ； （5）原式 ． 【点评】本题考查了有理数的加减法运算，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． 【题型3】有理数的乘法运算 1.期中考考点总结 -核心考查乘法法则：两数相乘(同号得正，异号得负，绝对值相乘，即)、任何数与0相乘得0()；多个有理数相乘(负因数个数定符号，奇负偶正)。 -简单应用乘法交换律()、结合律()和分配律()。 2.解题攻略 -步骤：先定符号(两数看正负，多数看负因数个数)→再算绝对值乘积(小数化分数、带分数化假分数，如，，方便约分)。 -分配律应用：遇到形式，优先展开(如)，避免复杂通分。 【例题3】．（2024-2025埇桥区校级月考）若2025×24＝m，则2025×25的结果可表示为（　　） A．m+1 B．m+2024 C．m+2025 D．m+25 【答案】C 【分析】先将原式进行变形再代入即可． 【解答】解：2025×25 ＝2025×（24+1） ＝2025×24+2025 ＝m+2025． 故选：C． 【点评】本题主要考查有理数的乘法，对原式进行正确的变形是解题的关键． 【变式题3-1】．（2024-2025阳泉模拟）计算（﹣3）×4的结果为（　　） A．﹣12 B．﹣7 C．7 D．12 【答案】A 【分析】根据有理数的乘法运算法则计算即可求解． 【解答】解：（﹣3）×4 ＝﹣（3×4） ＝﹣12． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的乘法运算，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 【变式题3-2】．（2024-2025西湖区校级月考）已知|a|＝6，|b|＝10． （1）若a＞b，求ab的值； （2）若|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值． 【答案】（1）±60；（2）4或16． 【分析】（1）根据绝对值的定义和a＞b可得a＝±6，b＝﹣10，据此代值计算即可； （2）根据绝对值的定义和绝对值的非负性可得a＝±6，b＝10，据此代值计算即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，a＝±6，b＝±10， ∵a＞b， ∴a＝±6，b＝﹣10， ∴ab＝﹣6×（﹣10）＝60或ab＝6×（﹣10）＝﹣60； （2）根据题意可知，a＝±6，b＝±10， ∵|a﹣b|＝b﹣a， ∴b﹣a≥0， ∴b≥a， ∴a＝±6，b＝10， ∴a+b＝6+10＝16或a+b＝﹣6+10＝4． 【点评】本题主要考查了绝对值，有理数的加法，有理数的减法，有理数的乘法，有理数比较大小，掌握相应的运算法则是关键． 【变式题3-3】．（2024-2025天元区校级月考）计算： （1）； （2）1（﹣0.8）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）﹣10； （4）﹣14． 【分析】（1）根据两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘计算即可； （2）先把带分数化为假分数、小数化为分数，再根据有理数乘法法则计算即可； （3）先判断积的符号，再把绝对值相乘即可； （4）先判断积的符号，再把绝对值相乘即可． 【解答】解：（1）； （2）1（﹣0.8）； （3） ＝﹣10； （4） ＝﹣14． 【点评】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【题型4】有理数的除法运算 1.期中考考点总结 -重点考查除法法则：除以一个非0数等于乘它的倒数(，)；两数相除(同号得正，异号得负，绝对值相除，即)。 -结合倒数概念：乘积为1的两个数互为倒数(0无倒数，负数的倒数仍为负数，如的倒数是)。 2.解题攻略 -优先转化：除法变乘法(将除数变为倒数，除号变乘号，如)，再按乘法法则计算。 -特殊情况：若商为1，则被除数=除数()；若商为，则被除数与除数互为相反数()。 【题型4】．（2024-2025天津）计算（﹣21）÷（﹣7）的结果等于（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】两数相除，同号得正，并把绝对值相除，由此计算即可． 【解答】解：（﹣21）÷（﹣7）＝21÷7＝3， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题4-1】．（2024-2025平顶山月考）计算的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先算有理数的除法，再算有理数的乘法即可． 【解答】解： ． 故选：D． 【点评】本题主要考查有理数的乘法与有理数的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【变式题4-2】．（2024-2025台山市一模）计算：（﹣18）÷（﹣6）＝ 　3　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据两数相除，同号得正，并把绝对值相除计算即可． 【解答】解：（﹣18）÷（﹣6）＝18÷6＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题4-3】．（2024-2025肇源县期末）计算下面各题． ； ； ． 【答案】；；． 【分析】根据有理数的乘除法则计算即可． 【解答】解：； ； ． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【题型5】科学记数法的表示与还原 1.期中考考点总结 -核心考查科学记数法定义：将大于10或小于的数表示为(，为正整数)，为小数点移动的位数(向左移为正，向右移为负)。 -常结合实际数据(如人口、路程)考查表示，或还原科学记数法(如还原为32000)。 2.解题攻略 -表示步骤：定(移动小数点至只有一位整数，满足)→定(小数点移动几位，就为几；带单位时，万=、亿=，需叠加计算，如5.2万=)。 -还原步骤：为正，小数点向右移位(不足补0，如)；为负，小数点向左移位(如)。 【例题5】．（2024-2025滨海新区校级模拟）我国运算速度最快的超级计算机是神威太湖之光，其运算速度每秒约1017次运算，那么它工作一分钟可达到的运算次数用科学记数法表示为（　　） A．1017 B．60×1017 C．6×1018 D．3.6×1020 【答案】C 【分析】一分钟＝60秒，根据题意得到60×1017次，由科学记数法得到答案即可． 【解答】解：根据题意，得60×1017＝6×1018． 故选：C． 【点评】本题主要考查了科学记数法—表示较大的数，科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． 【变式题5-1】．（2024-2025白河县期末）计算2.6×107﹣2.4×107，结果用科学记数法表示为 　2×106 ． 【答案】2×106． 【分析】用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．逆用乘法分配律求出2.6×107﹣2.4×107，再根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【解答】解：原式＝（2.6﹣2.4）×107 ＝0.2×107 ＝2×106． 故答案为：2×106． 【点评】本题考查了含乘方的有理数混合运算，用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n可以用整数位数减去1来确定． 【变式题5-2】．（2024-2025岱岳区二模）2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为整数262310…0用科学记数法表示为2.6231×109，则原数中0的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：2.6231×109＝2623100000， 即原数中0的个数为5． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【变式题5-3】．（2024-2025佛山期末）光在真空中的传播速度约为3×108米/秒，太阳光照射到某星球需要2×103秒，求该星球与太阳的距离（结果用科学记数法表示）． 【答案】6×1011米． 【分析】根据题意列式计算后将结果利用科学记数法表示出来即可． 【解答】解：3×108×2×103＝6×1011（米）， 即该星球与太阳的距离为6×1011米． 【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【题型6】有理数的加减混合运算(提升) 1.期中考考点总结 -考查减法转加法的核心方法，将混合运算式化为“省略加号的和式”(如)。 -综合应用加法运算律进行简便计算，是期中考中档题高频考点(占4-6分)。 2.解题攻略 -第一步：统一加法(将所有减号转化为加号，减数变相反数，如)，写出省略加号的和式。 -第二步：分类结合(同号数结合、互为相反数结合、凑整数结合，如)，减少运算步骤。 【例题6】．（2024-2025望城区校级月考）计算： （1）（﹣8）+10+2+（﹣1）； （2）． 【答案】（1）3； （2）． 【分析】根据有理数的加减运算法则，逐一进行计算即可． 【解答】解：（1）（﹣8）+10+2+（﹣1） ＝﹣8+10+2﹣1 ＝3； （2） ＝﹣4543 ＝（﹣43）+（54） ＝﹣6． 【点评】本题考查有理数的加减运算，解题的关键是有理数的加减运算法则计算． 【变式题6-1】．（2024-2025长寿区校级月考）计算： （1）7+（﹣2）﹣3.4； （2）． 【答案】（1）1.6； （2）﹣13． 【分析】（1）根据加减运算法则，逐一进行计算即可； （2）利用加法的交换律与结合律计算即可． 【解答】解：（1）7+（﹣2）﹣3.4 ＝7﹣2﹣3.4 ＝1.6； （2） ＝（）﹣（15﹣3） ＝﹣1﹣12 ＝﹣13． 【点评】本题考查的是有理数的加减运算，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算顺序和运算法则． 【变式题6-2】．（2024-2025宝安区校级月考）计算： （1）5+（﹣4）+（﹣3）+6； （2）（﹣2.4）+（﹣3.7）+（﹣4.6）+5.7． 【答案】（1）4； （2）﹣5． 【分析】（1）先把算式写成省略加号和的形式，再加减； （2）先把算式写成省略加号和的形式，再加减． 【解答】解：（1）原式＝5﹣4﹣3+6 ＝（5+6）﹣（4+3） ＝11﹣7 ＝4； （2）原式＝﹣2.4﹣3.7﹣4.6+5.7 ＝（5.7﹣3.7）﹣（2.4+4.6） ＝2﹣7 ＝﹣5． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握加法法则是解决本题的关键． 【变式题6-3】．（2024-2025南昌校级月考）计算： （1）（﹣18）﹣（﹣5）+（﹣2）﹣（+15）； （2）． 【答案】（1）﹣30； （2）． 【分析】（1）把减法转化为加法再利用加法运算律进行计算即可； （2）利用加法交换律和结合律进行计算即可． 【解答】解：（1）（﹣18）﹣（﹣5）+（﹣2）﹣（+15） ＝（﹣18）+5+（﹣2）+（﹣15） ＝（﹣18﹣2﹣15）+5 ＝（﹣35）+5 ＝﹣30； （2） ． 【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减法法则是关键． 【题型7】有理数的乘除混合运算(提升) 1.期中考考点总结 -考查乘除同级运算顺序(从左到右)，以及“除法转乘法”的转化思想。 -结合多个有理数相乘的符号法则(奇负偶正)，常含小数、带分数，需注意格式转化。 2.解题攻略 -关键转化：全化为乘法(除号变乘号，除数变倒数，如)，将式子变为连乘形式。 -符号优先：先根据负因数个数定整体符号(奇负偶正，如3个负因数则结果为负)，再计算绝对值的乘积(如)。 【例题7】．（2024-2025天水校级期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）18；（2）﹣5． 【分析】（1）按照从左至右的顺序计算即可； （2）按照从左至右的顺序计算即可． 【解答】解：（1）原式18； （2）原式5． 【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的除法，掌握相应的运算法则是关键． 【变式题7-1】．（2024-2025广州期中）计算． （1）（﹣8.46）×2.5×（﹣4）； （2）（﹣0.75）． 【答案】（1）84.6； （2）． 【分析】（1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的除法法则计算即可． 【解答】解：（1）（﹣8.46）×2.5×（﹣4） ＝8.46×2.5×4 ＝8.46×（2.5×4） ＝8.46×10 ＝84.6； （2）（﹣0.75） ＝0.75 ． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． 【变式题7-2】．（2024-2025龙马潭区校级期中）计算下列各题： （1）（﹣1）×（）÷（﹣2）； （2）﹣1÷（）（﹣5）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据有理数的乘除混合运算法则，从左向右依次计算，即可得出答案； （2）解法同（1）． 【解答】解：（1）（﹣1）×（）÷（﹣2） ； （2））﹣1÷（）（﹣5） ． 【点评】本题主要考查了有理数的乘除，熟练掌握有理数的乘除法则进行计算是解决本题的关键． 【变式题7-3】．（2024-2025上城区校级月考）计算： （1）|﹣1.25|×（﹣8）×4 （2） 【答案】（1）﹣40；（2）3． 【分析】（1）去绝对值，根据乘法法则进行计算即可； （2）除法变乘法，再根据乘法法则进行计算即可． 【解答】解：（1）|﹣1.25|×（﹣8）×4 ＝﹣1.25×8×4 ＝﹣40； （2）原式． 【点评】本题考查有理数的乘除法，绝对值，熟练掌握乘除运算法则是解题的关键： 【题型8】有理数的乘方运算(提升) 1.期中考考点总结 -核心考查乘方的意义：表示个相乘(为底数，为指数)，重点区分、、的意义(如，；，)。 -考查乘方符号规律：正数的任何次幂为正，负数的奇次幂为负、偶次幂为正，的正整数次幂为。 2.解题攻略 -先辨底数：确认底数是否带括号(的底数是，的底数是)，避免符号错误(如，)。 -计算步骤：先定符号(根据底数正负和指数奇偶性)→再算绝对值的乘方(如)。 【例题8】．（2024-2025天津模拟）计算（﹣2）3÷4的结果是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8 【答案】A 【分析】先算乘方，再算除法即可． 【解答】解：原式＝﹣8÷4＝﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算顺序是解题关键． 【变式题8-1】．（2024-2025旌阳区校级月考）下列计算中，正确的个数是（　　） ①﹣（﹣2）2＝4；②；③；④﹣33＝﹣9；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据有理数乘方、乘法、除法运算法则计算即可． 【解答】解：﹣（﹣2）2＝﹣4，故①错误，不符合题意； ，故②错误，不符合题意； ，故③错误，不符合题意； ﹣33＝﹣27，故④错误，不符合题意； ，故⑤正确，符合题意； 正确的个数是1个， 故选：A． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握有理数的混合运算法则． 【变式题8-2】．（2024-2025鲤城区校级月考）计算：的结果是（　　） A．3m+4n B．m3+4n C．3m+4n D．3+n4 【答案】A 【分析】根据有理数的乘法、乘方法则计算即可． 【解答】解：3m+4n． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键． 【变式题8-3】．（2024-2025雁塔区校级月考）计算． （1）﹣12﹣3×7÷3×7； （2）． 【答案】（1）﹣50； （2）﹣8． 【分析】（1）先算乘方，按从左到右的顺序逐步计算乘除混合运算，再算加减； （2）逆用积的乘方计算（0.25）4×（﹣8）3，对于按照混合运算的顺序计算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣21÷3×7 ＝﹣1﹣7×7 ＝﹣1﹣49 ＝﹣50； （2）原式 ＝﹣2﹣（﹣18+24） ＝﹣2﹣6 ＝﹣8． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【题型9】有理数的混合运算(提升) 1.期中考考点总结 -考查混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内(小→中→大)。 -综合应用运算律(尤其是乘法分配律)简化计算，是期中考解答题核心考点(占6-8分)。 2.解题攻略 -步骤口诀：“先乘方，后乘除，最后加减；有括号，先算内；同级算，从左起”(如，注意先算而非)。 -简便技巧：遇括号内为多个数相加，优先用乘法分配律(如)，避免通分麻烦。 【例题9】．（2024-2025长寿区校级月考）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）﹣8； （2）5． 【分析】（1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）先算乘方，再算除法，然后算加减法即可． 【解答】解：（1） ＝20﹣36+8 ＝﹣8； （2） ＝﹣1+（）×6﹣（﹣8） ＝﹣1+（﹣2）+8 ＝5． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题9-1】．（2024-2025重庆校级月考）计算 （1）（﹣8）+10+3+（﹣1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）4； （2）10； （3）﹣1； （4）﹣11． 【分析】（1）将两个负数合并计算，两个正数合并计算即可得到本题答案； （2）从左到右依次计算即可； （3）先计算括号内的，将其通分，后计算除法即可； （4）先将每项整理好，再计算括号内，后再计算乘法，再计算减法即可． 【解答】解：（1）原式＝[（﹣8）+（﹣1）]+（10+3） ＝﹣9+13 ＝4； （2）原式 ＝10； （3）原式 ＝﹣1； （4）原式＝﹣1﹣0.5×4×（1+4） ＝﹣1﹣2×5 ＝﹣1﹣10 ＝﹣11． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式题9-2】．（2024-2025镇海区校级月考）计算： （1）（﹣3）2﹣6+2； （2）； （3）（﹣6）×|﹣2|﹣[﹣9+（﹣2）4+23]； （4）． 【答案】（1）5； （2）﹣4； （3）﹣27； （4）﹣24． 【分析】（1）先计算乘方，再计算加减即可； （2）先计算乘方、除法、绝对值，再计算加减即可； （3）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可； （4）先计算乘方、利用乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减即可． 【解答】解：（1）原式＝9﹣6+2 ＝5； （2）原式＝﹣1+6﹣9 ＝﹣4； （3）原式＝（﹣6）×2﹣（﹣9+16+8） ＝﹣12﹣15 ＝﹣27； （4）原式＝﹣9242424 ＝﹣1﹣18+4﹣9 ＝﹣24． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 【变式题9-3】．（2024-2025南昌校级月考）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4； （2）． 【分析】（1）利用乘法分配律展开进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算的顺序进行计算即可． 【解答】解：（1） ＝﹣3+2+5 ＝4； （2） ． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的顺序与计算方法是解题的关键． 【题型10】有理数运算的实际应用(提升) 1.期中考考点总结 -结合实际场景(收支记录、路程行驶、温度变化、产量增减)，考查有理数加减、乘除运算的应用。 -常需根据题意确定“正负数表示”(如收入为正、支出为负)，再列式计算。 2.解题攻略 -第一步：定正负意义(根据题干规定，如“以50km为标准，多于为正”，则42km记为km)。 -第二步：列运算式(求“总和”用加法，求“差值”用减法，求“平均值”先求和再除以个数，如“七天总路程=50×7+(各天增减量之和)”)→计算验证(结果需符合实际意义，如金额不能为负)。 【例题10】．（2024-2025丛台区校级四模）如图，容器中装有5个小球，小球上分别标有数字：﹣6，0，5，2，﹣3．现从容器中随机摸出四个小球，对小球上的数字进行运算． （1）①若摸出的四个小球上分别标有2，﹣6，0，﹣3，计算：2×（﹣6）﹣0﹣（﹣3）； ②若摸出的四个数字的积不为0，求这四个数字的和； （2）将摸出的四个小球上的数字按一定顺序填入“□﹣□﹣□﹣□”中的“□”内，计算所得算式的结果，直接写出计算结果的最小值． 【答案】（1）①﹣9，②﹣2； （2）﹣13． 【分析】（1）①利用有理数的四则混合运算法则计算即可；②根据题意得到摸出的四个数字为﹣6，5，2，﹣3．再求和即可； （3）根据题意列式计算即可． 【解答】解：（1）①2×（﹣6）﹣0﹣（﹣3） ＝﹣12﹣0+3 ＝﹣9； ②∵摸出的四个数字的积不为0， ∴摸出的四个数字为﹣6，5，2，﹣3． ﹣6+5+2﹣3 ＝﹣6﹣3+5+2 ＝﹣9+7 ＝﹣2； （2）根据有理数的加法法则可知，当摸出的四个小球上的数字为﹣6，0，5，2时，计算结果最小， 即﹣6﹣0﹣5﹣2＝﹣13． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，根据题意正确列式是解题的关键． 【变式题10-1】．（2024-2025埇桥区校级月考）近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展．为积极响应国家节能减排的政策，王老师购置了一辆续航为350km（能行驶的最大路程）的新能源汽车，他将汽车充满电后连续7天每天使用，行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：km，以40km为标准，超过部分记为“+”，不足部分记为“﹣”）： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 行驶记录 ﹣6 +2 ■ ﹣3 +8 ● +7 （1）已知该汽车第三天行驶了45km，第六天行驶了34km，则“■”处的数为　+5　 ，“●”处的为　﹣6　 ． （2）若该新能源汽车每行驶1km耗电0.2千瓦•时，每千瓦•时电费约为0.5元，求王老师这一星期开新能源汽车的电费． （3）已知王老师这款新能源汽车在剩余行驶路程不足续航的20%时，行车电脑会发出充电提示．请通过计算说明该新能源汽车第七天行驶结束时，行车电脑是否会发出充电提示． 【答案】（1）+5，﹣6； （2）王老师这一星期开新能源汽车的电费为28.7元； （3）行车电脑会发出充电提示． 【分析】（1）观察表格可知：第三天行驶了45km，第六天行驶了34km，然后根据以40km为标准，超过部分记为“+”，不足部分记为“﹣”，进行解答即可； （2）先求出新能源纯电汽车7天行驶的总路程，再根据1km耗电量和每千瓦•时的电费，计算即可求解； （3）结合新能源纯电汽车7天行驶的总路程，再求出用电量剩余15%时汽车所行驶的路程，然后进行比较即可判断． 【解答】解：（1）由表格可知：第三天行驶了45km，第六天行驶了34km， 则第三天处记录的数为：45﹣40＝+5，第六天处记录的数为：34﹣40＝﹣6， 则“■”处的数为+5，“•”处的数为﹣6， 故答案为：+5；﹣6； （2）由题意得：﹣6+2+5﹣3+8﹣6+7＝2+5+8+7﹣6﹣3﹣6＝22﹣15＝7（km）， 40×7+7＝280+7＝287（km）， 287×0.2×0.5＝28.7（元）， 答：王老师这一星期开新能源汽车的电费为28.7元； （3）350﹣350×20%＝350﹣70＝280（km），280＜287， 答：行车电脑会发出充电提示． 【点评】本题考查有理数的混合运算，正负数，掌握有理数混合运算的应用是解题的关键． 【变式题10-2】．（2024-2025鼓楼区校级月考）小明爸爸上个星期五买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）．[注：正负数表示与前一交易日比较的涨跌情况，如周一收盘时每股27+2＝29（元），如周二收盘时每股29﹣3.5＝25.5（元），另股票周六、周日休盘不交易] 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 +2 ﹣3.5 +2.5 ﹣2 +4 （1）通过上表你认为周三收盘时，每股是　28　 元． （2）本周内每股最多是　30　 元，最低是　25.5　 元． （3）若买进股票需付成交额0.15%的手续费，卖出时需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税，如果在星期五收盘前将股票全部卖出，小明爸爸盈亏多少元？请通过计算说明． （4）以每股27元为标准，高于27元部分为正，低于27元部分为负，请补全以下表格． 星期 一 二 三 四 五 每股单价 　+2　 　﹣1.5　 　+1　 　﹣1　 　+3　 【答案】（1）28；（2）30；25.5； （3）∵买进股票需付成交额0.15%的手续费， ∴上个星期五买进某公司股票的费用为27×1000×（1+0.15%）＝27040.5（元）， ∵卖出时需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税， ∴星期五收盘前将股票全部卖出收入30×1000（1﹣0.15%﹣0.1%）＝29925（元）， ∵29925﹣27040.5＝2884.5（元）， ∴明爸爸盈利2884.5元． （4）+2；﹣1.5；+1；﹣1；+3． 【分析】（1）利用有理数的加法法则解答即可； （2）利用有理数的减法法则和加法法则解答即可； （3）依次算出买入的费用和卖出的收入即可； （4）利用正负数的意义和有理数的加法法则与减法法则解答即可． 【解答】解：（1）∵周一收盘时每股27+2＝29（元），如周二收盘时每股29﹣3.5＝25.5（元）， ∴周三收盘时，每股是25.5+2.5＝28（元）． 故答案为：28； （2）∵周四收盘时，每股是28﹣2＝26（元），周五收盘时，每股是26+4＝30（元）， ∴本周内每股最多是30元，最低是25.5元． 故答案为：30；25.5； （3）∵买进股票需付成交额0.15%的手续费， ∴上个星期五买进某公司股票的费用为27×1000×（1+0.15%）＝27040.5（元）， ∵卖出时需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税， ∴星期五收盘前将股票全部卖出收入30×1000（1﹣0.15%﹣0.1%）＝29925（元）， ∵29925﹣27040.5＝2884.5（元）， ∴明爸爸盈利2884.5元． （4）由题意得：周一的每股单价为27+2＝29（元），周二的每股单价为25.5元，周三的每股单价为28元，周四的每股单价为26元，周五的每股单价为30元， ∴以每股27元为标准，周一的每股单价记作+2，周，二的每股单价记作﹣1.5，周，三的每股单价记作+1，周，四的每股单价记作﹣1，周五的每股单价记作+3． 故答案为：+2；﹣1.5；+1；﹣1；+3． 【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 【变式题10-3】．（2024-2025南岗区校级月考）某服装厂计划平均每天生产200套运动服，超过计划产量的套数记为“+”，不足计划产量的套数记为“﹣”，下表记录的是该厂某一周的生产情况： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 +15 ﹣5 +21 +16 ﹣7 ▄ ﹣8 +60 表中星期六的记录情况被墨水涂污了． （1）根据记录，请计算星期六服装厂生产多少套运动服？ （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少套运动服？ （3）该服装厂工资结算方式如下： ①每人每天基本工资150元． ②以每天完成200套为标准，若当天超额完成任务，当天超额部分每套奖励18元；若当天未完成生产任务，则当天不足部分每套扣掉15元，该服装厂采用流水作业方式生产，当天所得奖金总额按人均分配，若该工厂这一周每天都有20名工人参与生产，则这一周服装厂实际需要付给每名工人多少元？ 【答案】（1）228套；（2）36套；（3）1107元． 【分析】（1）用合计减去其他6天的情况即可求出星期六的生产情况； （2）结合（1）的计算结果可知星期六产量最多，星期日产量最少，用减法计算即可解答； （3）结合题意求出20人7天超出计划产量的奖励，再减去不足产量的罚款可得奖金总额，奖金总额除以总人数再加上每人一周的基本工资即可完成解答． 【解答】解：（1）60﹣[（+15）+（﹣5）+（+21）+（+16）+（﹣7）+（﹣8）] ＝60﹣32 ＝28（套）， ∴200+28＝228（套）， 答：根据记录可知，星期六工厂生产228套运动服； （2）根据图表记录可知，28﹣（﹣8）＝36（套）． 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产36套运动服； （3）（15+21+16+28）×18﹣（5+7+8）×15 ＝80×18﹣20×15 ＝1440﹣300 ＝1140（元）， ∴每名工人获得150×7+1140÷20＝1107（元）， 答：这一周服装厂实际需要付给每名工人1107元． 【点评】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【题型11】绝对值与乘方的非负性应用(提升) 1.期中考考点总结 -考查非负性性质：，(任何数的绝对值、偶次幂为非负数)；若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0(如，则，)。 -常结合代数式求值(如求、)，是教育强省(江苏、浙江)期中真题高频培优考点。 2.解题攻略 -核心依据：“非负和为0，各非负项均为0”，先列出方程(如，，解得，)。 -步骤：先求字母值→再代入代数式计算(如求，代入得)，注意乘方符号。 【例题11】．（2024-2025渝中区校级月考）若有理数x，y满足|x+2|+（y﹣3）2＝0，则xy的值是（　　） A．﹣8 B．8 C．9 D．﹣9 【答案】A． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x+2|+（y﹣3）2＝0， ∴x+2＝0，y﹣3＝0， ∴x＝﹣2，y＝3， ∴xy＝（﹣2）3＝﹣8． 故选：A． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题11-1】．（2024-2025新华区校级月考）若（a+1）2+|2﹣b|＝0，则ab的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2 【答案】B． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵（a+1）2+|2﹣b|＝0， ∴a+1＝0，2﹣b＝0， ∴a＝﹣1，b＝2， ∴ab＝（﹣1）2＝1． 故选：B． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题11-2】．（2024-2025偃师区期末）已知a，b都是有理数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2025的值是（　　） A．﹣2025 B．﹣1 C．1 D．2025 【答案】B 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵（a+2）2+|b﹣1|＝0， ∴a+2＝0，b﹣1＝0， ∴a＝﹣2，b＝1， ∴（a+b）2025＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题11-3】．（2024-2025桥西区校级月考）已知|a+3|+（b﹣1）2＝0，则3a+b的值为（　　） A．﹣10 B．﹣8 C．8 D．10 【答案】B． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+3|+（b﹣1）2＝0， ∴a+3＝0，b﹣1＝0， ∴a＝﹣3，b＝1， ∴3a+b＝3×（﹣3）+1＝﹣8． 故选：B． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【题型12】数轴上的动点问题(培优) 1.期中考考点总结 -结合数轴考查动点位置表示(如点P从表示的点出发，向右移动3个单位，位置为)、两点间距离()。 -常涉及“追及问题”“距离和差问题”，需用含(时间)的代数式表示动点位置，再列方程。 2.解题攻略 -第一步：定动点表达式(根据方向和速度，如点P从A(表示)出发，速度单位/秒，秒后位置为(向右)或(向左))。 -第二步：列距离关系(根据题意列绝对值方程，如“P、Q两点距离为4”，则)→化简求解，注意(时间非负)。 【例题12】．（2024-2025新城区校级月考）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． （1）将A，B，C三点所表示的数在如图中的数轴上表示出来； （2）根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度所到达的点？ （3）如果移动点A，B，C中的两个点，使得三个点重合，你有几种移动方法？请分别求出移动的长度之和． 【答案】（1）4，6，﹣4；见解答；（2）向左爬 了4个单位长度；，（3）3，①18，②12，③10． 【分析】（1）根据蚂蚁爬行情况，确定出A，B，C三点所表示的数，然后在数轴上表示出来； （2）根据C点位置，可得﹣4+4＝0，从而确定蚂蚁爬行的方向和距离； （3）根据题意分三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）0+4＝4，点A表示的数是4， 4+2＝6，点B表示的数是6， 6﹣10＝﹣4点C表示的数是﹣4； （2）根据点C在数轴上的位置， ﹣4+4＝0， 点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬 了4个单位长度； （3）共有3种移动方法， ①移动A、B两点到C， A向左移动8个单位到C，B向左移动10个单位到C，10+8＝18； ②移动A、C两点到B， A向右移动2个单位到B，C向右移动10个单位到B，2+10＝12； ③移动B、C两点到A， B向左移动2个单位到A，C向右移动8个单位到A，2+8＝10； 【点评】本题主要考查的是数轴上点的移动，并考查了有理数的运算． 【变式题12-1】．（2024-2025新会区校级期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）． （1）当t＝0.5时，点Q表示的数为 　6　 ；当t＝2.5时，点Q表示的数为 　2　 ； （2）当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 【答案】（1）6；2； （2）﹣2或﹣6． 【分析】（1）根据题意及数轴即可解答； （2）分情况讨论：若点Q还没过原点；若点Q过了原点，求出点Q运动的路程即可解答． 【解答】解：（1）当t＝0.5时，点Q表示的数为8﹣4×0.5＝6． 当t＝2.5时，点Q运动的路程为4×2.5＝10＞8， 则点Q表示的数为10﹣8＝2， 故答案为：6；2； （2）若点Q还没过原点，则点Q运动的路程为8﹣4＝4， 则t＝4÷4＝1（s）， ∴点P表示的数为0﹣2×1＝﹣2； 若点Q过了原点，则点Q运动的路程为8+4＝12， 则t＝12÷4＝3（s）， ∴点P表示的数为0﹣2×3＝﹣6， 综上，点P表示的数为﹣2或﹣6． 【点评】本题考查有理数的混合运算，数轴，掌握数轴的应用是解题的关键． 【变式题12-2】．（2024-2025呈贡区期末）数轴是初中数学的一个重要工具．它建立了“数”与“形”之间的对应，是“数形结合”的重要基础． 【阅读】|5﹣2|表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探究】 （1）数轴上表示3和﹣1的两点之间的距离是 　4　 （写出最后的结果），表示a与b的两点之间的距离为 　|a﹣b|　 ． （2）|x+3|可理解为x与 　﹣3　 两数在数轴上所对应两点之间的距离；|x﹣4|可理解为x与 　4　 两数在数轴上所对应两点之间的距离；所以|x+3|+|x﹣4|的最小值为 　7　 ． （3）在数轴上，点A表示﹣1，点B表示9，点C与点D始终保持距离为2在射线BA上移动．已知点D在点C右侧，设点C对应的数为y，那么当点B到点D的距离恰好等于点A分别到C，D两点的距离之和时，y的值是多少？ 【答案】（1）4，|a﹣b|； （2）﹣3，4，7； （3）y＝1． 【分析】（1）根据阅读材料中数轴上两点间的距离公式求出3和﹣1的距离，表示出a与b两点间的距离即可； （2）根据|x﹣a|表示数轴上x与a的距离得到|x+3|与|x﹣4|表示的意义，并求出|x+3|+|x﹣4|的最小值即可； （3）根据D在C的右边，C对应的数为y，表示出D表示的数为y+2，进而表示出B与D的距离，A到C、D的距离之和，列出关于y的方程，求出方程的解即可得到y的值． 【解答】解：（1）根据题意得：数轴上表示3和﹣1的两点之间的距离是|3﹣（﹣1）|＝|3+1|＝4，表示a与b两点之间的距离为|a﹣b|； 故答案为：4，|a﹣b|； （2）|x+3|可理解为x与﹣3两数在数轴上所对应两点之间的距离；|x﹣4|可理解为x与4两数在数轴上所对应两点之间的距离； 所以|x+3|+|x﹣4|的最小值为7； 故答案为：﹣3，4，7； （3）根据题意得：C点对应的数为y，D点对应的数为y+2， 因为A表示的数为﹣1，B表示的数为9，CD＝2，点B到点D的距离恰好等于点A分别到C，D两点的距离之和， 所以BD＝AC+AD，即9﹣y﹣2＝|y+1|+|y+3|， 整理得：7﹣y＝|y+1|+|y+3|， 当y＜﹣1时，化简得：7﹣y＝﹣y﹣1﹣y﹣3， 解得：y＝11，舍去； 当﹣1≤y≤7时，化简得：7﹣y＝y+1+y+3， 解得：y＝1； 当y＞7时，化简得：y﹣7＝y+1+y+3， y＝﹣11，舍去； 综上所述，y＝1． 【点评】此题考查了有理数的加法，数轴，以及绝对值，弄清数轴上两点间的距离公式是解本题的关键． 【变式题12-3】．（2024-2025莱西市期末）如图，把一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端点与数轴上的点A重合，右端点与数轴上的点B重合． 【问题探究】 （1）若将木棒沿数轴水平向右移动，则当它的左端点移动到点B处时，它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴水平向左移动，则当它的右端点移动到点A处时，它的左端点在数轴上对应的数为5，由此可得到木棒的长为　5　 cm； （2）图中点A表示的数为　10　 ，点B表示的数为　15　 ； 【问题解决】 （3）根据（1）（2），请你借助“数轴”这个工具帮助文文解决如下问题：一天，文文问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈!”请求出爷爷现在的年龄． 【答案】（1）5； （2）10；15； （3）70岁． 【分析】（1）由数轴观察知三根木棒长是20﹣5＝15，则可得出此木棒的长； （2）根据两点间的距离公式即可求解； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，类似爷爷和小红这么大时看作当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为﹣40，小红和爷爷这么大时看作当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为125，则可知爷爷比小红大[125﹣（﹣40）]÷3＝55，由此可求出爷爷的年龄． 【解答】解：（1）当它的左端点移动到点B处时，它的右端点在数轴上对应的数为20；当它的右端点移动到点A处时，它的左端点在数轴上对应的数为5，由数轴观察知，三根木棒长是：20﹣5＝15， ∵15÷3＝5（cm） ∴木棒的长为5cm， 故答案为：5； （2）图中点A所表示的数为：5+5＝10，点B所表示的数为：20﹣5＝15， 故答案为：10；15； （3）如图，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB， 爷爷和小红这么大时看作当A点移动到B点时， 此时B点所对应的数为﹣40， 小红和爷爷这么大时看作当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为125， ∴爷爷比小红大：[125﹣（﹣40）]÷3＝55（岁）， ∴爷爷的年龄为125﹣55＝70（岁）， 答：爷爷现在的年龄是70岁． 【点评】本题考查数轴，用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【题型13】有理数运算的规律探究(培优) 1.期中考考点总结 -考查数列规律(如)、运算规律(如)、图形规律(如“细胞分裂”“折绳计数”)。 -需归纳通项公式或循环周期，再计算指定项或总和，常见于北京、福建期中真题。 2.解题攻略 -第一步：找规律(观察符号、数值变化，如符号“负正交替”用表示，数值“依次加2”用表示)。 -第二步：验规律(用前3-4项验证通项公式，如数列，通项为，验证第3项：，正确)→用规律计算(如求第100项：)。 【例题13】．（2024-2025五华区校级模拟）观察下列算式：21＝2 22＝4 23＝8 24＝16 25＝32 26＝64 27＝128 28＝256…，根据上述算式中的规律，你认为22011的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题需先根据已知条件，找出题中的规律，即可求出22011的末位数字． 【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16， 25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…则每四个数循环一次． ∴22011的末位数字是8． 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方，根据题意找出规律是本题的关键． 【变式题13-1】．（2024-2025泰兴市月考）观察下列各式： 31﹣30＝2×30…………①； 32﹣31＝2×31…………②； 33﹣32＝2×32…………③； …… 探索以上式子的规律： （1）写出第5个等式：　35﹣34＝2×34 ； （2）试写出第n个等式，并说明第n个等式成立； （3）计算30+31+32+…+32020． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据已知等式总结规律：3的相邻自然数次幂之差（大数减小数）等于较小次幂的2倍．据此写出第5个等式便可； （2）用字母n表示上述规律，通过提取公因式法进行证明便可； （3）把原式化成，再逆用（2）中公式，把分子每一项化成3的自然数幂之差进行计算便可． 【解答】（1）根据题意得，35﹣34＝2×34， 故答案为：35﹣34＝2×34； （2）根据题意得，3n﹣3n﹣1＝2×3n﹣1， 证明：左边＝3n﹣1（3﹣1）＝2×3n﹣1＝右边， ∴3n﹣3n﹣1＝2×3n﹣1； （3）30+31+32+…+32020 ． 【点评】本题主要考查了数字规律的探索，关键是善于观察思考，总结出规律． 【变式题13-2】．（2024-2025建邺区校级月考）探究规律，完成相关题目：小明说：“我定义了一种新的运算，*（叫加乘）运算．”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： （+5）*（+2）＝+7；（﹣3）*（﹣5）＝+8；（﹣3）*（+4）＝﹣7；（+5）*（﹣6）＝﹣11；0*（+8）＝+8；（﹣6）*0＝+6． 小红看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ （1）归纳*（加乘）运算的运算法则：两数进行*（加乘）运算时，　同号得正，异号得负，并把绝对值相加　 ．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，　都得这个数的绝对值　 ． （2）计算：（﹣2）*[0*（﹣1）]＝ 　﹣3　 ．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） （3）我们知道加法有结合律，这种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你判断它在*（加乘）运算中是否适用，并说明理由． 【答案】（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相加，都得这个数的绝对值； （2）﹣3； （3）结合律不成立，例如：（﹣2）※（0※1）＝（﹣2）※（+1）＝﹣3，[（﹣2）※0]※（+1）＝（+2）※（+1）＝3，∴（﹣2）※[0※（+1）]≠﹣[（﹣2）※0]※（+1）． 【分析】（1）根据题意得出：同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则依次计算即可； （2）根据零与任意数※（加乘）或任何数同零※（加乘），都得这个数的绝对值，结合前面的运算计算即可； （3）根据题意利用新定义进行验证． 【解答】解：（1）观察（+5）*（+2）＝+7；（﹣3）*（﹣5）＝+8；（﹣3）*（+4）＝﹣7；（+5）*（﹣6）＝﹣11；0*（+8）＝+8；（﹣6）*0＝+6， 得出同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，都得这个数的绝对值， 故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加，都得这个数的绝对值； （2）根据0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，都得这个数的绝对值，得出[0*（﹣1）]＝+1， ∴（﹣2）*[0*（+1）]＝（﹣2）*（+1）＝﹣3， 故答案为：﹣3； （3）结合律不成立，例如：（﹣2）※（0※1）＝（﹣2）※（+1）＝﹣3，[（﹣2）※0]※（+1）＝（+2）※（+1）＝3，∴（﹣2）※[0※（+1）]≠﹣[（﹣2）※0]※（+1）． 【点评】本题考查新定义、有理数的混合运算，正确理解新定义并掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【变式题13-3】．（2024-2025通州区校级月考）阅读材料，回答下列问题： 平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化： （1）平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是D ． A．（+3）+（+2）＝+5 B．（+3）+（﹣2）＝+1 C．（﹣3）﹣（+2）＝﹣5 D．（﹣3）+（+2）＝﹣1 ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律，当它跳2025次时，落在数轴上的点表示的数是　﹣1013　 ． （2）翻折变换 ①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2025的点与表示　﹣2023　 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2026（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示　﹣1012　 B点表示　1014　 ． 【题型14】有理数运算的新定义(培优) 1.期中考考点总结 -定义新运算符号(如“”“”)，规定运算规则(如)，考查理解新规则并转化为有理数运算的能力。 -常结合加减、乘除、乘方，需严格按规则代入，是区分学生能力的培优题型。 2.解题攻略 -核心：“照猫画虎，严格代入”，先明确新运算的参数对应(如中，、分别对应已知数)。 -步骤：先代入新规则(如)→再按有理数运算顺序计算(先乘除后加减，得)，避免自创规则。 【例题14】．（2024-2025章丘区月考）定义新运算：，例如：﹣2⊗4＝（﹣2）2﹣4＝0，2⊗3＝﹣2+3＝1．若，则x的值为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【解答】解：根据新定义运算法则列出方程可得： ∴①当x≤0时，则有， 解得； ②当x＞0时，， 解得， 综上所述，x的值是或． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义． 【变式题14-1】．（2024-2025江北区校级月考）材料一： 对于任意有理数a，b，定义新运算“⊕”：a⊕b＝4a﹣b+33．例如： 2⊕3＝4×2﹣3+33＝38，2⊕3⊕4＝（2⊕3）⊕4＝38⊕4＝4×38﹣4+33＝181． 材料二： 规定⟨m⟩表示不大于m的最大整数，如：⟨2.2⟩＝2，⟨﹣2.5⟩＝﹣3，2⟨﹣5⟩＝2×⟨﹣5⟩＝﹣10． 根据上述材料解答下列问题： （1）4⊕5＝　44　 ；⟨﹣4.5⟩⟨π⟩＝　﹣125　 ； （2）计算1⊕（﹣1）+2⊕（﹣2）+3⊕（﹣3）+⋯+15⊕（﹣15）的值； （3）若有理数m，n满足2n＝3⟨m⟩＝4⟨m﹣1⟩，求⟨n⟩⊕⟨m+n⟩⊕⟨m⟩． 【答案】（1）44；﹣125； （2）1095； （3）217． 【分析】（1）分别根据新运算“⊕”和“⟨m⟩”的定义进行计算； （2）先根据新运算“⊕”将每一项展开，再进行求和计算； （3）先根据“⟨m⟩”的定义求出m、n的值，再代入新运算“⊕”进行计算． 【解答】解：（1）4⊕5＝4×4﹣5+33＝16﹣5+33＝44，⟨﹣4.5⟩⟨π⟩＝（﹣5）3＝﹣125， 故答案为：44；﹣125； （2）1⊕（﹣1）＝4×1﹣（﹣1）+33＝4+1+33＝38， 2⊕（﹣2）＝4×2﹣（﹣2）+33＝8+2+33＝43， 3⊕（﹣3）＝4×3﹣（﹣3）+33＝12+3+33＝48， …… 15⊕（﹣15）＝4×15﹣（﹣15）+33＝60+15+33＝108， 1⊕（﹣1）+2⊕（﹣2）+3⊕（﹣3）+…+15⊕（﹣15）1095； （3）设2n＝3⟨m⟩＝4⟨m﹣1⟩＝k， 则，⟨m⟩，⟨m﹣1⟩， ∵⟨m﹣1⟩＝⟨m⟩﹣1， ∴1， 解得k＝12， 将k＝12代入n，可得n＝6， 代入⟨m⟩，可得⟨m⟩＝4， ∵n＝6， ∴⟨n⟩＝6， ∵⟨m⟩＝4，n＝6， ∴⟨m+n⟩＝⟨m⟩+n＝4+6＝10， ∴⟨n⟩⊕⟨m+n⟩＝6⊕10＝4×6﹣10+33＝24﹣10+33＝47， 47⊕⟨m⟩＝47⊕4＝4×47﹣4+33＝188﹣4+33＝217， ∴⟨n⟩⊕⟨m+n⟩⊕⟨m⟩＝217． 【点评】本题考查了新定义运算、有理数的混合运算，解题的关键是理解新运算的定义并按照定义进行计算． 【变式题14-2】．（2024-2025陕西校级月考）定义新运算：，，（右边为常见的加、减、乘、除运算）． 若a*b＝a⊗b，则称有理数a，b为一组“魅力数对”． 例如：，，2*3＝2⊗3，所以2，3是一组“魅力数对”． 若a*b≠a⊗b，则称有理数a，b不是一组“魅力数对”． （1）下列各组数中的a，b是一组“魅力数对”的是　①③　 （请填序号）． ①a＝1，b＝2； ②a＝﹣1，b＝1； ③，； （2）若，则有理数a，b　不是　 （填“是”或“不是”）一组“魅力数对”； （3）计算：2025*2026﹣2025⊗2026． 【答案】（1）①③； （2）不是； （3）0． 【分析】（1）根据新定义结合有理数的乘法、减法法则进行求解判断即可； （2）根据新定义结合有理数的乘法、减法法则进行求解判断即可； （3）根据新定义结合有理数的乘法、减法法则进行求解判断即可． 【解答】（1）解：①∵a＝1，b＝2， ∴，， ∴1*2＝1⊗2， ∴有理数1，2是一组“魅力数对”； ②∵a＝﹣1，b＝1， ∴，， ∴﹣1*1≠﹣1⊗1， ∴有理数﹣1，1不是一组“魅力数对”； ③∵，， ∴，， ∴， ∴有理数，是一组“魅力数对”； 故选：①③； （2）由题意可得：， ∵， ∴， 当a＝3，b＝7时，，满足题设条件，但，a*b≠a⊗b， ∴有理数a，b不是一组“魅力数对”， 故答案为：不是； （3）原式 ＝0． 【点评】本题主要考查了新定义，有理数运算算，理解题意，掌握运算法则是解题的关键． 【变式题14-3】．（2024-2025南京校级月考）综合与实践： 【阅读材料】定义“*”运算： （+2）*（+4）＝+（22+42）； （﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]； （﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]； （+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]； 0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2； （+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2． 0*0＝02+02＝0 （1）【发现】归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，　同号得正，异号得负，并把两数的平方相加　 ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，　等于这个数的平方　 ． （2）【实践】计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝　17　 ． （3）【提升】是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； （2）17； （3）m＝1，n＝﹣2． 【分析】（1）首先根据*运算的运算法则进行运算的算式，归纳出*运算的运算法则即可；然后根据：0*（﹣5）＝（﹣5）2；（+3）*0）＝（+3）2，可得：0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方． （2）根据（1）中总结出的*运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出（+1）*[0*（﹣2）]的值是多少即可． （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【解答】解：（1）根据题中的运算得到：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加． 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方． 故答案为：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； （2）原式＝（+1）*（﹣2）2 ＝（+1）*4 ＝+（12+42） ＝17． 故答案为：17 （3）∵（m﹣1）*（n+2）＝0， ∴±[（m﹣1）2+（n+2）2]＝0 ∴m﹣1＝0，n+2＝0， 解得m＝1，n＝﹣2． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键掌握新定义的运算来解答 【题型15】绝对值的分类讨论问题(培优) 1.期中考考点总结 -考查绝对值的定义：，，需根据的正负分类讨论。 -常涉及“已知()求”“化简”(如化简），需确定分界点。 2.解题攻略 -第一步：找分界点（令绝对值内式子为0，求出值，如的分界点为、）。 -第二步：分区间讨论（按分界点将数轴分为三段：、、）→分别化简绝对值（如时，）→合并同类项，得到不同区间的结果。 【例题15】．（2024-2025武进区校级月考）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB|＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． （1）利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 　3　 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 　4　 ． ②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 　|x+1|　 ，如果|AB|＝2，那么x＝ 　1或﹣3　 ． （2）探索规律 ①求|x﹣1|+|x﹣2|的最小值是 　1　 ； ②|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是 　5　 ； （3）知识迁移：|x+3|﹣|x﹣4|的最大值是 　7　 ． 【答案】（1）①3，4；②|x+1|，1或﹣3； （2）①1；②5； （3）7． 【分析】（1）①根据绝对值的几何意义计算即可得解；②由题意可得|x+1|＝2，解方程即可得解； （2）①根据绝对值的意义，采用分类讨论的思想计算即可得解；②根据绝对值的意义，采用分类讨论的思想计算即可得解； （3）根据绝对值的意义，采用分类讨论的思想计算即可得解． 【解答】解：（1）①根据绝对值的几何意义计算可得： |5﹣2|＝3，|﹣3﹣1|＝4． 故答案为：3，4； ②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|＝|x+1|， 如果|AB|＝2，则|x+1|＝2，解得x＝1或x＝﹣3，即那么x为1或﹣3； 故答案为：|x+1|，1或﹣3； （2）①当x＜1时，|x﹣1|+|x﹣2|＝1﹣x+2﹣x＝3﹣2x＞1， 当1≤x≤2时，|x﹣1|+|x﹣2|＝x﹣1+2﹣x＝1， 当x＞2时，|x﹣1|+|x﹣2|＝x﹣1+x﹣2＝2x﹣3＞1， 故|x﹣1|+|x﹣2|的最小值是1． 故答案为：1； ②当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝﹣x﹣2+1﹣x+3﹣x＝2﹣3x＞8， 当﹣2≤x＜1时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+1﹣x+3﹣x＝6﹣x＞5， 当1≤x≤3时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+x﹣1+3﹣x＝4+x≥5， 当x＞3时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+x﹣1+x﹣3＝3x﹣2＞7， 故|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是5； 故答案为：5； （3）当x＜﹣3时，|x+3|﹣|x﹣4|＝﹣x﹣3﹣（4﹣x）＝﹣x﹣3﹣4+x＝﹣7， 当﹣3≤x≤4时，|x+3|﹣|x﹣4|＝x+3﹣（4﹣x）＝x+3﹣4+x＝2x﹣1≤7， 当x＞4时，|x+3|﹣|x﹣4|＝x+3﹣（x﹣4）＝x+3﹣x+4＝7， 故|x+3|﹣|x﹣4|最大值是7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了绝对值的意义，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【变式题15-1】．（2024-2025南通校级月考）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）应用一：已知如图，点A在数轴上表示为﹣2，数轴上任意一点B表示的数为x，则AB两点的距离可以表示为　|x+2|　 ． （2）应用二：若点B表示的整数为x，则当x为　﹣1　 时，|x+4|与|x﹣2|的值相等； （3）应用三：|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣5和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出|x+5|+|x﹣2|的最小值为　7　 ，此时所有符合条件的整数x的和为　﹣12　 ． （4）应用四：令M＝|x﹣1|+|x+5|+|x﹣3|+|x+2|，则M的最小值为　11　 ，当M取得最小值时，整数x的值是　﹣2，﹣1，0，1　 ． 【答案】（1）|x+2|；（2）﹣1；（3）7；﹣12；（4）11；﹣2，﹣1，0，1． 【分析】（1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示的数与表示4和﹣2的数的距离相等，则数轴上表示的数是表示4和﹣2的数的中点，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|有最小值，据此化简绝对值求出最小值，再求出符合题意的x的值的和即可； （4）根据题意可以将M＝|x﹣1|+|x+5|+|x﹣3|+|x+2|分为两组数之和，分别为|x+2|+|x﹣1|和|x+5|+|x﹣3|，分别表示x的范围，据此解答即可． 【解答】解：（1）AB两点的距离可以表示为|x﹣（﹣2）|＝|x+2|， 故答案为：|x+2|； （2）∵|x+4|与|x﹣2|的值相等， ∴表示x的数是表示4和﹣2的数的中点， ∴， 故答案为：﹣1； （3）解：当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|有最小值，最小值为x+5+2﹣x＝7， ∴整数x有﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2， ∴所有符合条件的整数x的和为﹣5+（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2 ＝﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1+1+2 ＝﹣12， 故答案为：7；﹣12； （4）将M＝|x﹣1|+|x+5|+|x﹣3|+|x+2|分为两组： |x+5|+|x﹣3|（最小值为3﹣（﹣5）＝8，x在﹣5到3之间）； |x+2|+|x﹣1|（最小值为1﹣（﹣2）＝3，x在﹣2到1之间）； 由上述可得，当x在﹣2到1之间时，两组同时取最小值， ∴M最小值为8+3＝11， ∴整数x的值为﹣2到1之间的整数：﹣2，﹣1，0，1． 故答案为：11；﹣2，﹣1，0，1． 【点评】本题主要考查了数轴上两点距离计算，理解绝对值的几何意义是解题关键． 【变式题15-2】．（2024-2025昆山市月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离． 如图，|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|＝|5﹣0|，即|5﹣0|也可理解为5与0两数在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示3的点与表示x的点之间的距离． 一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|． 【学以致用】 （1）计算：|1﹣（﹣3）|＝ 　4　 ，若|x﹣（﹣1）|＝3，则x＝ 　﹣4或2　 ； （2）若|x﹣2|+|x+4|＝10，则x＝ 　4或﹣6　 ； （3）当整数x取 　2、1、0、﹣1、﹣2、﹣3、或﹣4　 时，|x﹣2|+|x+4|的值最小，且其最小值为 　6　 ； 【拓展延伸】 如果数轴上有三个点且其中一个点与另外两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“三倍点”．例如，数轴上点M，N，P所表示的数分别为1，4，5，此时|4﹣1|＝3×|5﹣4|，因此点N是M，P的“三倍点”． （4）若点A表示的数是1，点B表示的数是﹣3，问题（3）中整数x所对应的点有哪几个是A，B的“三倍点”？请说明理由． （5）若点C表示的数是﹣10，点D表示的数是6，请直接写出点C，D的“三倍点”所对应的数值． 【答案】（1）4，﹣4或2； （2）4或﹣6； （3）﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2，最小值是6； （4）0，﹣2； （5）2，﹣6，﹣18，14． 【分析】（1）利用两数之间的距离直接得出结果； （2）讨论x是2右边的数，或x是﹣4左边的数； （3）x是﹣4与2，或﹣4与2之间的数时，|x﹣2|+|x+4|的值最小； （4）利用3倍点的定义进行计算； （5）分类讨论距离﹣10近的情况，距离6近的情况，分别求出对应的数值． 【解答】解：（1）∵数轴上﹣3与1的距离是4，与﹣1的距离是3的数点是﹣4或2， ∴|1﹣（﹣3）|＝4，|x﹣（﹣1）|＝3，x＝﹣4或2， 故答案为：4，﹣4或2； （2）∵|x﹣2|+|x+4|＝10， 当x在﹣4左边时，﹣x+2﹣x﹣4＝10， 得x＝﹣6， 当x在2右边时，x﹣2+x+4＝10， 得x＝4， 故答案为：4或﹣6； （3）∵﹣4与2之间的距离是6， ∴当x是﹣4与2，或﹣4与2之间的数时，|x﹣2|+|x+4|的值最小， ∴x能取到的整数是：﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2； 故答案为：﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2，最小值是6； （4）∵|﹣3﹣0|＝3|1﹣0|， ∴0对应的点是A，B的“三倍点”， ∵|1﹣（﹣2）|＝3|﹣3﹣（﹣2）|， |∴﹣2对应的点是A，B的“三倍点”， （5）设C、D的3倍点是y， 当y靠近﹣10时，3（y+10）＝6﹣y， 解得，y＝﹣6， 当y靠近6时，3（6﹣y）＝y+10， 解得，y＝2． 当y＜﹣10时， 3（﹣10﹣y）＝6﹣y，y＝﹣18， 当y＞6时，3（y﹣6）＝y+10，y＝14， 【点评】本题考查绝对值的几何意义，阅读理解能力，数学中的分类讨论思想． 【变式题15-3】．（2024-2025皇姑区校级月考）华罗庚是中国著名数学家、教育家和社会活动家，被誉为“中国现代数学之父”，他曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离可以表示为AB＝|a﹣b|，例如，|5﹣2|表示5与2差的绝对值，可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，、B两点之间的距离可以表示为AB＝|a﹣b|． 【初步运用】 （1）数轴上表示5与﹣2的两点之间的距离为 　7　 ； （2）已知数轴上某个点表示的数为x． ①若|x﹣4|＝2，则x＝ 　2或6　 ； ②若|x+3|＝|x﹣5|，则x＝ 　1　 ； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A，B，C表示的数分别为a，b，c． ①|a﹣b|+|b﹣c|＝ 　6　 ； ②若|b﹣2a|＝5，则点C表示的数为 　3或13　 ； ③已知a＜b＜c，且某个点表示的数x在a，c之间，那么|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为c﹣a，且数x的点与数b的点重合．若该数轴上另有两个点P，Q，它们分别表示有理数p，q，其中点Q在线段AC上，当|p﹣a|+|p﹣c|＝10且|q﹣a|+|q﹣b|+|q﹣c|最小时，则P，Q两点之间的距离为 　4或6　 ． 【答案】（1）7；（2）①2或6；②1；（3）①6；②3或13；③4或6． 【分析】（1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）①|x﹣4|＝2表示的是数轴上数x表示的点与数4表示的点的距离为2，据此分数x在数4的左侧和数x在数4的右侧两种情况，讨论求解即可；②根据题意可得数x表示的点到数﹣3的点的距离与数x表示的点到数5的点的距离相等，据此结合两点中点计算公式求解即可； （3）①根据数轴上点的位置可得a﹣b，b﹣c的值，据此代值计算即可；②根据题意可得|b﹣a﹣a|＝|2﹣a|＝5，解方程求出a的值即可求出c的值，进而可得答案；③根据题意可得点Q与点B重合，根据|p﹣a|+|p﹣c|＝10得到PC＝10，据此分点P在点Q左侧和点P在点C右侧两种情况，讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝|7|＝7， ∴数轴上表示5与﹣2的两点之间的距离为7． 故答案为：7； （2）①当数x在数4的左侧时，x＝4﹣2＝2， 当数x在数4的右侧时，则x＝4+2＝6， ∴x的值为2或6． 故答案为：2或6； ②∵|x+3|＝|x﹣5|， ∴数x表示的点到数﹣3的点的距离与数x表示的点到数5的点的距离相等， ∴． 故答案为：1； （3）①由题意得，a﹣b＝﹣2，b﹣c＝﹣4， ∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|﹣2|+|﹣4|＝2+4＝6． 故答案为：6； ②∵|b﹣2a|＝5，b﹣a＝2， ∴|b﹣a﹣a|＝|2﹣a|＝5， ∴2﹣a＝5或2﹣a＝﹣5 ∴a＝﹣3或a＝7， ∵c＝a+6＝﹣3+6＝3或c＝a+6＝7+6＝13， ∴点C表示的数为3或13． 故答案为：3或13； ③∵点Q在线段AC上， ∴|q﹣a|+|q﹣b|+|q﹣c|的最小值为c﹣a，此时点Q与点B重合， ∵|p﹣a|+|p﹣c|＝10， ∴PC＝10， ∵AC＝c﹣a＝6， ∴点P不可能在线段AC上； 当点P在点A左侧时，则PA+PC＝PA+PA+AC＝10， ∴2PA+6＝10， ∴PA＝2， ∴PB＝PA+AB＝2+2＝4，即PQ＝4； 当点P在点C右侧时，则PA+PC＝AC+PC+PC＝10， ∴2PC+6＝10， ∴PC＝2， ∴PB＝PC+BC＝2+4＝6，即PQ＝6； 综上所述，P，Q两点之间的距离为4或6． 故答案为：4或6． 【点评】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的加减计算，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． 同步检测 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 D D A B C 一．选择题（共5小题） 1．代数式（上面“5”的个数是x个，下面“3”的个数是y个）计算结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据y个3相乘为3y，x个5相加为5x，即可得出结果为． 【解答】解：， 故选：D． 【点评】本题考查了根据乘方的意义和乘法的意义，熟练掌握以上知识点是关键． 2．下列各对数中，数值相等的数是（　　） A．﹣|23|与|﹣23| B．﹣32与（﹣3）2 C．与 D．﹣23与（﹣2）3 【答案】D 【分析】根据乘方运算法则，分别求出各个式子的值进行判断即可． 【解答】解：A．∵﹣|23|＝﹣8，|﹣23|＝8， ∴﹣|23|≠|﹣23|，故A不符合题意； B．∵﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9， ∴﹣32≠（﹣3）2，故B不符合题意； C．∵，， ∴，故C不符合题意； D．∵﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8， ∴﹣23＝（﹣2）3，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了绝对值的意义，乘方运算，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则，准确计算． 3．把3+（﹣4）+（﹣5）写成省略括号的代数和的形式，正确的是（　　） A．3﹣4﹣5 B．﹣3﹣4﹣5 C．3﹣4+5 D．﹣3﹣4+5 【答案】A 【分析】根据有理数加减运算中省略加法和括号的法则进行求解即可． 【解答】解：原式＝3﹣4﹣5， 故选：A． 【点评】本题考查有理数加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4．2025年投入乡村振兴资金为1250亿元，将“1250亿”用科学记数法表示为（　　） A．12.5×1010 B．1.25×1011 C．1.25×1012 D．0.125×1012 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1250亿＝125000000000＝1.25×1011． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5．一个数的是12，这个数的是（　　） A． B．3 C．5 D． 【答案】C 【分析】读懂题意，列算式计算即可． 【解答】解：12125， 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘除运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． 二．填空题（共5小题） 6．若|3x﹣1|与|y+1|互为相反数，则x+y＝　　 ． 【答案】． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|3x﹣1|和|y+1|互为相反数， ∴|3x﹣1|+|y+1|＝0， ∴3x﹣1＝0，y+1＝0， ∴x，y＝﹣1， ∴x+y． 故答案为：． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 7．如图1，第十四届国际数学教育大会的标识蕴含多种数学元素．如图2，“ICME﹣14”下方的“卦”依次表示四个二进制数：（011）2、（111）2、（100）2、（101）2，可将它们依次转换为八进制数（3745）8．其中，二进制数转换成八进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘2的相应次方（从右往左依次为20，21，22），然后相加，例如（100）2＝1×22+0×21+0×20＝4，请仿照二进制数转换为八进制数的方法，将八进制数（3745）8转换为十进制数为　2021　 ．（注：20＝1，80＝1） 【答案】2021． 【分析】根据题干中给出的计算方法，列出算式进行计算即可． 【解答】解：， 即将八进制数（3745）8转换为十进制数为2021， 故答案为：2021． 【点评】本题考查有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8．计算：202.2×89.8﹣20.22×186+2.022×3570﹣0.2022×16900＝　18198　 ． 【答案】18198． 【分析】202.2、20.22、2.022、0.2022根据积的变化规律化为2022，然后运用乘法分配律的逆运算计算即可． 【解答】解：原式＝2022×8.98﹣2022×1.86+2022×3.57﹣2022×1.69 ＝2022×（8.98﹣1.86+3.57﹣1.69） ＝2022×9 ＝18198， 故答案为：18198． 【点评】本题主要考查了小数的巧算，熟练掌握该知识点是关键． 9．规定图形表示运算a﹣b+c，图形表示运算x+z﹣y﹣w，则+＝ 　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意列式求解即可． 【解答】解：原式＝（1﹣2+3）+（4+7﹣6﹣5） ＝1﹣2+3+4+7﹣6﹣5 ＝2+0 ＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． 10．对于任意有理数a、b，定义新运算：a⊗b＝a2+2b，则（﹣1）⊗2＝ 　5　 ． 【答案】5． 【分析】根据a⊗b＝a2+2b，可以计算出所求式子的值． 【解答】解：∵a⊗b＝a2+2b， ∴（﹣1）⊗2 ＝（﹣1）2+2×2 ＝1+4 ＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 三．解答题（共8小题） 11．计算： （1）（+7）+（﹣21）+（﹣7）+（+21）； （2）； （3）（﹣1）+（+22）+（+101）+（﹣2）； （4）． 【答案】（1）0；（2）；（3）120；（4）3． 【分析】（1）根据加法结合律计算； （2）根据加法结合律计算即可； （3）根据有理数加法法则计算； （4）根据加法结合律运算． 【解答】（1）解：（+7）+（﹣21）+（﹣7）+（+21） ＝[7+（﹣7）]+[（﹣21）+21] ＝0+0 ＝0； （2） ； （3）（﹣1）+（+22）+（+101）+（﹣2） ＝22+101+（﹣2﹣1） ＝123﹣3 ＝120； （4）原式 ＝3+0 ＝3． 【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算的法则是解题的关键． 12．简便运算： （1）； （2）． 【答案】（1）7； （2）． 【分析】（1）利用乘法分配律运算即可； （2）利用乘法分配律运算即可． 【解答】解：（1）原式 121212 ＝6+3﹣2 ＝7； （2）原式 ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 13．如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，y+1没有倒数，那么代数式﹣2|a+b|+cd+（y﹣1）（a+b﹣1）的值是多少？ 【答案】3． 【分析】根据相反数与倒数的定义可得a+b＝0，cd＝1，y＝﹣1，代入运算即可． 【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1， ∵y+1没有倒数， ∴y+1＝0， ∴y＝﹣1， ∴﹣2|a+b|+cd+（y﹣1）（a+b﹣1） ＝﹣2×0+1+（﹣1﹣1）×（0﹣1） ＝0+1+2 ＝3． 【点评】本题考查了相反数，倒数的定义，求代数式的值，熟练掌握相反数与倒数的意义是解题的关键． 14．已知|a|＝4，|b|＝5，根据下列条件，求式子的值． （1）当a＜0，b＜0时，求a+b的值； （2）当ab＜0时，求a﹣2b的值． 【答案】（1）﹣9； （2）±14； 【分析】（1）先利用绝对值的意义和两个数的取值范围求出a、b的值，再代入求值即可； （2）先利用绝对值的意义和两个数的积的情况求出a、b的值，再代入代数式求值． 【解答】解：（1）∵|a|＝4，|b|＝5， ∴a＝±4，b＝±5， ∵a＜0，b＜0， ∴a＝﹣4，b＝﹣5． ∴a+b＝﹣4+（﹣5）＝﹣9； （2）∵|a|＝4，|b|＝5， ∴a＝±4，b＝±5， ∵ab＜0， ∴a＞0，b＜0或a＜0，b＞0． 当a＝4时，b＝﹣5时， a﹣2b＝4﹣2×（﹣5）＝14； 当a＝﹣4时，b＝5时， a﹣2b＝﹣4﹣2×5＝﹣14． ∴a﹣2b的值为±14． 【点评】本题考查了实数的运算，掌握绝对值的意义，能根据条件确定a、b的值是解决本题的关键． 15．登山队员王叔叔以某营地为基准，向距该营地500米的顶峰冲击，由于天气骤变，攀岩过程中不得不几次下撤躲避强高空风记王叔叔向上爬升的海拔高度为正数，向下撤退时下降的海拔高度为负数，这次登山的行进过程记录如下：（单位：米） +260，﹣50，+90，﹣20，+80，﹣25，+105． （1）这次登山王叔叔有没有登上顶峰？若没有，最终距顶峰还有多少米？ （2）这次登山过程中，每上升或下降1米，平均消耗8千卡的能量，求王叔叔这次登山过程中共消耗了多少能量？ 【答案】（1）这次登山王叔叔没有登上顶峰，最终距顶峰还有60米． （2）王叔叔这次登山过程中共消耗5040千卡的能量． 【分析】（1）直接根据有理数的加减运算法则进行计算即可得出答案． （2）先计算出上升和下降的距离，再根据有理数乘法可得答案． 【解答】解：（1）260﹣50+90﹣20+80﹣25+105＝440（米）． 500﹣440＝60（米）． ∴这次登山王叔叔没有登上顶峰，最终距顶峰还有60米． （2）|+260|+|﹣50|+|+90|+|﹣20|+|+80|+|﹣25|+|+105|＝630（米）， 630×8＝5040（千卡）． 所以王叔叔这次登山过程中共消耗5040千卡的能量． 【点评】本题考查了有理数的加减运算，掌握其运算法则是解此题的关键． 16．近年来，直播带货火爆网络．某学习小组调查了某网络直播一周的带货情况，如表是该网络直播某产品一周的销售量（规定每天销量超过100件的部分，记为“+”，低于100件的部分，记为“﹣”）． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 销售量/件 +15 +18 ﹣13 ﹣5 +24 ﹣15 +11 根据以上内容，解答下列问题． （1）该网络直播这周周末两天共销售 　196　 件． （2）这周销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 　39　 件． （3）若该产品的售价为4元/件，不考虑其他因素，求这周直播销售的总收入． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据周末两天销售量相加计算即可； （2）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可； （3）将总数量乘以售价解答即可． 【解答】解：（1）根据周末两天销售量相加计算可得： ﹣15+11+100×2＝196（件）， 故答案为：196； （2）售量最多的一天是周五，销售量最少的一天是周六， 24﹣（﹣15）＝39（件）， 故答案为：39； （3）[（15+18﹣13﹣5+24﹣15+11）+7×100]×4 ＝735×4 ＝2940（元）， 答：这周直播销售的总收入为2940元． 【点评】此题考查正数和负数以及有理数的混合运算．熟练掌握以上知识点是关键． 17．阅读下列材料，完成后面的任务． 点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|． 如图，从数轴上看，若点A，B表示的数分别是1，4 则|AB|＝|4﹣1|＝3或|AB|＝|1﹣4|＝3． 【归纳】若点A，B表示的数分别是x1，x2， 则|AB|＝|x1，x2|或|AB|＝|x2﹣x1|． 任务： （1）若点A表示的数﹣1，点B表示的数为2，|AB|＝　3　 ． （2）若点A表示的数1，|AB|＝3，则点B表示的数为　﹣2或4　 ． （3）试用数轴探究，当|m﹣4|＝3时，m的值为　7或1　 ． 【答案】（1）3；（2）4或﹣2；（3）7或1． 【分析】（1）利用数轴上两点间的距离公式，即可求出|AB|的值； （2）设点B表示的数为n，根据数轴上两点间距离公式|AB|＝|n﹣1|＝3，再分两种情况，利用数轴上两点的距离求解即可； （3）根据绝对值的定义，绝对值为3的数有3和﹣3，再分两种情况，即可解答； 【解答】解：（1）|AB|＝|﹣1﹣2|＝|﹣3|＝3． 故答案为：3； （2）∵点A表示的数1，|AB|＝3，设点B表示的数为n， ∴|AB|＝|n﹣1|＝3， 当n﹣1＝3时，n＝3+1＝4， 当n﹣1＝﹣3时，n＝﹣3+1＝﹣2， 所以点B表示的数为4或﹣2； 故答案为：4或﹣2； （3）∵|m﹣4|＝3， ∴当m﹣4＝3时，m＝3+4＝7， 当m﹣4＝﹣3时，m＝﹣3+4＝1． 所以m的值为7或1． 【点评】本题考查数轴上两点间的距离、绝对值、有理数的加减，解题的关键是利用分类讨论的思想去绝对值符号． 18．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：|3﹣1|可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；|3+1|可以理解为数轴上表示3与﹣1的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和﹣3的两点之间的距离可用|4﹣（﹣3）|表示． 根据以上阅读材料探索下列问题： （1）数轴上表示4和8的两点之间的距离是　4　 ；数轴上表示3和﹣6的两点之间的距离是　9　 ．（直接写出最终结果） （2）若数轴上表示的数x和﹣2的两点之间的距离是12，则x的值为　10或﹣14；　 ． （3）若x表示一个有理数，则|x+1|+|x﹣3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）4；9；（2）10或﹣14；（3）|x+1|+|x﹣3|有最小值，最小值为4． 【分析】（1）直接根据数轴上两点之间的距离求解即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式列绝对值方程，然后解方程即可； （3）由于所给式子表示x到﹣1和3的距离之和，当x在﹣1和3之间时和最小，故只需求出﹣1和3的距离即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，因为数轴上表示4和﹣3的两点之间的距离可用|4﹣（﹣3）|表示， 所以数轴上表示4和8的两点之间的距离是|8﹣4|＝4，数轴上表示3和﹣6的两点之间的距离是|3﹣（﹣6）|＝9． 故答案为：4；9； （2）根据题意，得：|x﹣（﹣2）|＝12， ∴|x+2|＝12， ∴x+2＝﹣12或x+2＝12， 解得：x＝﹣14或x＝10， 故答案为：10或﹣14； （3）∵|x+1|+|x﹣3|表示x到﹣1和3的距离之和， ∴当x在﹣1和3之间时距离和最小，最小值为|﹣1﹣3|＝4， 故|x+1|+|x﹣3|有最小值，最小值为4． 【点评】本题考查数轴上两点之间的距离，有理数的加减混合运算，绝对值，掌握数轴上两点之间的距离解决问题是解答的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $