第24章 第41课时切线的判定-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(人教版)

数学·九年级·全册(R) 第41裸时 切线的判定 课标预可 预习教材第97页至98页 (2)作“d”证“r”: 根据直线与圆相切的数量关系，我们可以得到判定切 无交点，作垂直，证半径。 线的两种证明思路： 如图. (1)连“r”证“d”: 有交点，连半径，证垂直.如图， C C 典型同题 知识点①连半径证垂直 例1(2024·武威二模)如图，直线AB经过⊙O变1如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长 上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证：直线线上，点C在⊙O上，CA=CD,∠D=30°.求证： AB是⊙O的切线. 直线CD与⊙O相切. 知识点2作垂直证半径 例2(2023·广西)如图，PO平分∠APD,PA变2如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC 与⊙O相切于点A,过点O作OB⊥PD,垂足的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是 为B.求证：PB是⊙O的切线. ⊙O的切线. ●>104● 第二十四章 圆 课堂过关 公基础关 1.(2024秋·西和县期末)如图所示，AB是⊙02.(2024秋·丹徒区期末)如图，AB是⊙0的 的直径，点F是半圆上的一动点(F不与A,B 弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA,C0交⊙O于点 重合)，弦AD平分∠BAF,过点D作DE⊥ D,交AB于点P,且CP=CB.求证：直线BC AF交射线AF于点E.求证：DE与⊙O相切. 与⊙O相切. 3.如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O圆素养关 的切线CD交BA的延长线于点C,过点O作4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为 OE∥AD交CD于点E,连接BE.求证：直线 直径的⊙O交AB于点D,点E是边BC的中 BE与⊙O相切. 点，连接DE.求证：DE是⊙O的切线 ●>105●参考答案 ,∠ADC+∠CDE=180°，∴.∠ABC=∠CDE 【例3】(1)0<r<4.8(2)r>4.8 【变3】4 AB=CD,DE=BC,∴.△CDE≌△ABC(SAS). 【例4】4或8 【变4】5或7 【变3】解：(1)△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下： 【课堂过关】 :AC为⊙O的直径，∴.∠ADC=∠ABC=90, :∠ADB=∠CDB,∴AB=BC,. 1.C2.A3.14.相切 ∴AB=BC..△ABC是等腰直角三角形； 5.解：(1)如答图所示，⊙P为所求的圆； (2)在Rt△ABC中，AB=BC=√2， .AC=2.在Rt△ADC中，AD=1,AC=2,.CD=3. 【课堂过关】 1.70°2.50°3.2√34.80° 答图 5.(1)证明：如答图，连接AC :BC=CD,∠BAC=∠EAC.∴.CB=CD. (2)BC与⊙P相切. 6.证明：如答图，过点O作OC⊥AB于点C, CE-CD, .CB=CE,∠E=∠CDE :∠ABC+∠ADC=∠ADC+ B ∠CDE=180°， .∠ABC=∠CDE=∠E, 在△ABC和△AEC中， ∠ABC=∠E, 答图 答图 ∠BAC=∠EAC, OA-OB,AB-8.AC-AB-4. AC=AC, ∴.△ABC≌△AEC(AAS).∴.AB=AE; .在Rt△OAC中，OC=√OA2-AC=√5-4=3. (2)解：如答图，连接BD.∠BAD=90°， ⊙0的半径为3， .BD是⊙O的直径. .OC为⊙O的半径，.AB是⊙O的切线 由(1)可得AB=AE.AD=DE=2,.AE=AB=4. 第41课时切线的判定 在Rt△ABD中，BD=√AB+AD=2√5， .⊙0的直径为25. 【典型问题】 第39课时点和圆的位置关系 【例1】证明：连接OC,如答图，：OA=OB,CA=CB, ∴.OCLAB,∴.直线AB是⊙O的切线. 课标预习】 1.>=< 2.三角形的外接圆三角形的外心垂直平分线相等 【典型问题 【例1】(1)内(2)上(3)外(4)0<OP<4 答图 【变1】(1)圆外(2)5(3)<5 【变1】证明：如答图，连接OC 【例2】A【变2】2<b<6 CA=CD, 【例3】(1)内部(2)外部解：作图略. ∠CAD=∠CDA=30 【变3】(1)斜边的中点(2)5解：作图略。 ∠COD=2∠CA0=60°， 〔课堂过关 又.∠CDO=30°， 1.C2.D3.点A在⊙0外 4.55.F ∴.∠DCO=90 6.100°7.6.5cm或2.5cm .直线CD与⊙O相切. 8.解：如答图，过点A作AD⊥BC, 【例2】证明：PA与⊙O相切于点A,∴.PA⊥OA. 垂足为点D,连接BO, PO平分∠APD,OB⊥PD于点B,OA⊥PA于点A, 点O为△ABC的外心，BC=10, ∴OB=OA.点B在⊙O上. .BD=5. .OB是⊙O的半径，且PB⊥OB, 由勾股定理得AD=12 ∴PB是⊙O的切线 设OA=,OB2=OD2十BD2, B D 【变2】证明：如答图，过点O作OE 169 即2=(12-r)2+52,解得r= 答图 ⊥AC于点E,连接OD,OA, 24 :AB与⊙O相切于点D, D 第40课时 直线和圆的位置关系 ∴.AB⊥OD. :△ABC为等腰三角形，点O是 【课标预习] 底边BC的中点， 210< => .AO是∠BAC的平分线， 典型问题】 又.OD⊥AB,OE⊥AC, ∴.OE=OD,OE是⊙O的半径」 【例1】A【变1】D .AC是⊙O的切线. 【例2】0≤d≤5 【变2】d>3 19 高效课堂宝典训练数学九年级全册(R) 〔课堂过关] OA=OB,AB=10 cm,..AC=BC=5 cm. 1.证明：如答图，连接OD,则OD=OA, 在Rt△AOC中， .∠ODA=∠BAD. OA=√AC2+OC=√/52+42= AD平分∠BAF, /41(cm). .∠FAD=∠BAD. 即OA的长为√4红cm. .∠ODA=∠FAD. 【例3】55【变3】D ∴.OD∥AF. 答图 〔课堂过关) 答图 DE⊥AF,.DE⊥OD..DE与⊙O相切 1.52°2.C 2.证明：如答图，连接OB, .'OA=OB,∴.∠OAB=∠OBA. 3.证明：如答图，连接OD,则OD=OA, CP=CB,∠CPB=∠CBP. ∴.∠ODA=∠BAD ∠CPB=∠APO, :BC与⊙O相切于点D, .∠CBP=∠APO ∴.BC⊥OD于点D. 在Rt△AOP中， .∠ODB=90°. ∠A+∠APO=90°， ∠C=90°， 答图 0 .∠ODB=∠C 答图 ∴.∠OBA+∠CBP=90° .OD∥AC..∠ODA=∠CAD. 即∠OBC=90°，∴.OB⊥CB. 又：OB是半径，∴直线BC与⊙O相切. ∠BAD=∠CAD.AD平分∠BAC 3.证明：如答图，连接OD,,CD与⊙O相切于点D, 4.证明：如答图所示，连接OC,,PC与⊙O相切于点C, .∠ODE=90. .∠OCD=∠OCP=90° AD∥OE, .OA=OC, ∴∠ADO=∠DOE, .∠OAC=∠OCA, ∠DAO=∠EOB. 又：∠OCA+∠DCA=90°， .OD=OA,∴.∠ADO=∠DAO ∠OAC+∠AEO=90°， ∴.∠DOE=∠EOB. ∴∠DCA=∠AEO. OD=OB,OE=OE,∴.△DOE≌ 答图 又：∠AEO=∠DEC, 答图 .∠DCA=∠DEC.∴.DC=DE △BOE(SAS) .∠OBE=∠ODE=90°..直线BE与⊙O相切. 5.证明：(1).OC=OB,∴.∠OCB=∠OBC 4.证明：如答图，连接OD,CD, :PF是⊙O的切线，CE⊥AB, :∠ACB=90°， .∠OCP=∠CEB=90° .∠ACD+∠DCB=90° ∴.∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90° .OC=OD, ∠BCE=∠BCP..CB是 .∠OCD=∠ODC ∠ECP的平分线； :AC是⊙O的直径， (2)如答图，连接AC .∠ADC=90° 0A=OC, .∴.∠CDB=180°-∠ADC=90° 答图 ∴.∠BAC=∠ACO. AF⊥PC,CD⊥PC :点E是边BC的中点，DE=CE=2BC. .CD∥AF 答图 .∠DCE=∠CDE..∠ODC+∠CDE=90° ∴∠FAC=∠ACD.∠FAC=∠CAO. .∠ODE=90°.∴.DE是⊙O的切线. CF⊥AF,CE⊥AB,∴.CF=CE. 第42课时切线的性质 第43课时切线长定理与三角形的内心 【课标预习】 课标预习 ★1.垂直切点★3.半径垂直 1.PA,PB与⊙O相切于A,B两点 典型问题】 PA=PB,∠APO=∠BPO 2.(1)相切内心(2)三个内角 三边 【例1】V5【变1】50 〔典型问题 【例2】解：如答图，连接OD,如答图， .∠DOC=2∠A, 【例1】B【变1】1 .∠DOC=60°. 【例2】解：(1)略(2)52 ,CD是⊙O的切线， 【变2】解：(1)略(2)135 .∠ODC=90° 【例3】解：设AF=x.由切线长定理可知AF=AD ∴.∠C=30° CF=CE,BD=BE. ∴.OC=2OD. 答图 :AB=9,BC=5,CA=6, ∴.根据勾股定理解得OD=√3，∴.AB=2OD=2√3」 .CF=6-x,BD=9-x, 【变2】解：如答图，连接OC, .CE=BC-BE=BC-BD=5-(9-x)=x-4. :AB与⊙O相切于点C,∴.OC⊥AB .6一x=x-4..x=5..AF的长为5. 【变3C 20