24.3正多边形和圆 课后作业 2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.3正多边形和圆 课后作业 （一）知识梳理 1.正多边形及有关概念 各边相等，各角也相等的多边形是 ． 要点归纳： 　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1) ；(2) ；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). （1）正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的 ，这个圆就是这个正多边形的 ． （2）正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的 ． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的 ． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的 ． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 ． （3）正多边形的性质 正多边形都 外接圆，圆有无 内接正多边形.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的 .正多边形都是 ，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是 .　　　　　　　　 要点归纳：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的 ；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的 . 2.正多边形的有关计算 　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是 ； 　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是 ； 　(3)正ｎ边形每个外角的度数是 . 要点归纳：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 3.正多边形的画法 （1）用量角器等分圆 （2）用尺规等分圆 （二）知识精练 一、单选题 1．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中，绕它的中心旋转后可以和原图形重合的是（　　） A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形 3．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．如图，在圆内接正五边形中，对角线和相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．一个正方形的边长为，则它的内切圆的面积为（ ） A． B． C． D． 6．如图，、、、为一个正多边形的顶点，若，该正多边形的边数为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 7．若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（    ） A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 8．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ． 10．正八边形的中心角等于 度． 11．如果正多边形的中心角是，那么该正多边形的内角和为 ． 12．如图，正六边形内接于，连接，则 ． 13．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ． 三、解答题 14．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 15．如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 16．如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 17．如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和，正多边形的中心角，根据题意列出方程求得边数，即可求得中心角的度数． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∴这个正n边形的中心角为， 故选：D． 2．A 【分析】根据旋转对称图形的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、正六边形的中心角为：，绕它的中心旋转后可以和原图形重合，符合题意； B、正五边形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； C、正方形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； D、正三角形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查旋转对称图形．熟练掌握正多边形的中心角等于，以及旋转对称图形的定义，是解题的关键． 3．C 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键． 连接，根据圆周角定理得到，进一步即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了正多边形和圆、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质．熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．根据正多边形的所有边都相等，所有内角都相等，结合等腰三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：五边形为正五边形， ，， ， ， 故选C． 5．B 【分析】此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、正多边形与圆等知识，正确地求出正方形的边心距是解题的关键． 先证明正方形的两条对角线的交点为正方形的内切圆的圆心，再从该圆心向正方形的一边作垂线，得到该正方形的边心距，求出它的长即得到该正方形的内切圆的半径，再求出该正方形的内切圆的面积即可． 【详解】解：如图，正方形的对角线、BD交于点O， ，，， ， 点O是正方形的外心，也是它的内心， 作于点E，以点O为圆心，以为半径作，则是正方形的内切圆， ， ， ， ， ， ， 该正方形内切圆的面积为． 故选：B．    6．A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：设点O为该正多边形的中心，连接，， 、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数， 故选：A 7．D 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式计算即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 由题意得，， 解得，， 故选：D． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 8．D 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可． 【详解】解：∵五边形是的内接正五边形， ∴五边形的中心角的度数为， 故选D． 【点睛】本题考查圆内接正多边形的中心角．熟练掌握正多边形的中心角的计算公式：，是解题的关键． 9．18 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据正五边形的性质，可得，由此得到，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点O是正五边形的中心， ∴， 在中，，， ∴． 故答案为：18． . 10． 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．根据正多边形中心角公式是即可解题． 【详解】解：正八边形的中心角等于； 故答案为：． 11．/720度 【分析】本题考查了正多边形和圆，多边形内角与外角．先利用多边形的中心角为，计算出这个正多边形的边数，然后根据内角和公式求解． 【详解】解：这个正多边形的边数为， 所以这个正多边形的内角和． 故答案为：． 12．/度 【分析】此题考查了正多边形和圆，根据内角和定理求出，再根据正六边形的轴对称性可知平分，即可求出答案． 【详解】解：由正六边形可得， ∵正六边形是轴对称性图形， ∴平分，即． 故答案为： 13．4 【分析】由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，且使，连接交于点，取，连接、，则点、为所求点，进而求解． 【详解】解：的面积为，则圆的半径为，则， 由正方形的性质，知点是点关于的对称点， 过点作，且使， 连接交于点，取，连接、，则点、为所求点， 理由：，且，则四边形为平行四边形， 则， 故的周长为最小， 则， 则的周长的最小值为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了圆的性质、轴对称性质、平行四边形的性质及勾股定理等，确定点、的位置是本题解题的关键． 14．周长，面积 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法． 【详解】解：正六边形的周长； 连接，过点O作于点G， ∵该六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， 正六边形的面积． 15．(1) (2) 【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理： （1）连接，根据中心角的计算公式求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可； （2）勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：连接，    由题意得：， ∴； （2）由（1）知：， 又∵， ∴， 即正方形的边长为：． 16．(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理： （1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质、尺规作图是解题的关键． （1）连接，得到是等边三角形，从而得到是正六边形的一边； （2）用以的长为圆规两脚间的距离，分别在圆上截得相等的弧长． 【详解】（1）证明：连接，如图． ∵， ∴是等边三角形， ， ∴是正六边形的一边； （2）解：如图所示， 用圆规截去弧的弧长，然后以E点、点B为圆心，为半径画弧，与交于G、H两点，顺次将点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$