第22章 第23课时实际问题与二次函数(1抛物线形问题)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(人教版)

高效课堂宝典训练数学九年级全册(R) 点D的坐标为(1+√7，-6)，(1-√7，-6). 即y=-x2十3x十4。 综上，点D的坐标为(0,6)，(2,6)，(1十√7，-6)， 【变3】懈：设y=a(x十1)(x-2), (1-√7，-6) 抛物线经过C(0,-2),.-2=-2a, a=1..这个二次函数的解析式为y=x2一x一2. 第21课时数形结合法（二）：二次函数与不等式 【课堂过关】 【课标预习 1.解：二次函数的图象经过A,B两点， 数形结合 ∴.把A(0,1),B(2,-1)代入y=x2+bx+c, 【典型问题】 得+-1 解得/6一3， (c=1. 【例1】(1)直线x=-1(2)-3或1(3)x<-3或x>1 2.解：解：设二次函数的解析式为y=a(x一1)2-4， (4)-3<x1 把A(2,-3)代入，得a(2-1)2-4=-3, 【变1】(1)直线x=1(2)-1或3 解得a=1, (3)-1<x<3(4)x<-1或x>3 ∴二次函数的解析式为y=(x一1)2一4， 【例2】解：(1)A(1,0),B(3,0),C(0,3). 即y=x2-2x-3. (2)直线x=2(3)x<1或x>31<x<3x<2 3.解：由题意，得顶点坐标为(1,4)， 【变2】(1)(2,0)，(5,0)(2)3.5(3)2或5(4)2<x<5 设其函数解析式为y=a(x-l)+4(a≠0)， (5)x<2或x>5(6)<3.5 将点(3,0)代入，得4a+4=0,解得a=一1， 【例3】(1)-4或1(2)-4<x<1(3)x<-4或x>1 .抛物线的解析式为y=-(x一1)2+4=-x2+2x十3. 【变3】(1)4或-1(2)x<-1或x>4(3)-1≤x≤4 4.解：将点(1,4)，(2,7)代入y=ax+bx十5， 【课堂过关】 得二a+65,。解得=2， l7=4a+2b+5, 1b=-3. 1.(1)直线x=2(2)-1<x<5(3)x<-1或x>5 y=2x2-3x+5. 2.-1<x<3 5.解：设抛物线的解析式为y=a(x十3)(x-1),把C(0,-3) 3.(1)x=-2或1(2)-2<x<1(3)-2<x<0 代人，得a·3×(-1)=-3,解得a=1. 4.-1≤x≤55.x<-1或x>3 =6，解得伍2或=3 ∴抛物线的解析式为y=(x十3)(x一1)， 6.解：(1)由题意，得y-t, 即y=x2+2x-3. y=4. y2=9. 6.解：由这个函数的图象经过点A(1,0),B(0,一5)，C(2,3), .A(-2,4),B(3,9). a+b+c=0, a=-1, (2)对于直线y=x十6，当x=0时，y=x十6=6， 得c=-5, 解得b=6, .点C的坐标为(0,6)..OC=6. (4a+2b+c=3, (c=-5. ∴SaB=Sax+SAx=20C:lx+20C·B= ∴所求函数的解析式为y=一x2+6x一5. 7.解：(1)将A(-1,0),B(3,0)代入y=x2+bx十c,得 ×6×2+号×6×3=15. (3)x<-2或x>3. 6的20解得么- 19+3b+c=0, .y=x2-2x-3,顶点坐标是(1，一4)； 第22课时待定系数法求二次函数解析式 (2)由(1)得C(0,一3)，点A与点B关于直线l对称，点P 在直线上，.PA=PB..PA十PC=PB+PC 【课标预习】 当PB十PC的值最小时，P,B,C三点共线，点P为直线 问题1.两 问题2.三 问题3.一 BC与直线I的交点，易求得直线BC为y=x一3， 【典型问题 当x=1时，y=-2,当PA+PA的值最小时，点P的坐 【例1】解：设抛物线的解析式为y=a(x一1)2+2， 标为(1，-2)..P(1,一2). 点(-1,10)也在图象上，∴a(-1-1)2+2=10, 第23课时实际问题与二次 解得a=2..抛物线的解析式为y=2(x一1)2+2. 【变1】解：，抛物线的顶点为A(1,一4)， 函数(1)（抛物线形问题） .抛物线的解析式可设为y=a(x一1)2-4. 【典型问题) 把B(-2,5)代入，得a×(-2-1)2-4=5,解得a=1, .抛物线的解析式为y=(x一1)2一4. 【例1】解：(1)根据题意，得抛物线的顶点坐标为(1,0.4)， 【例2】解：：抛物线y=ax2-4x十c经过点A(0,-2), 设该运动员腾空路线的解析式为y=a(x-1)2十0.4， 图象过(0,0)，∴.0=a(0-1)2+0.4.解得a=-0.4, B8,0÷62--4.解得但-2 lc=-2. ∴这条抛物线 ∴.腾空路线的解析式为y=一0.4(x一1)2十0.4. (2)2 所对应的二次函数的解析式为y=2x2-4x一2. 【变1】解：(1)根据题意，得抛物线的顶点坐标为(2,3)， 【使2得，0油恩意得日+1，条得6宁 设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3, b=-3, 把点A(8,0)代人，得36a十3=0，解得a=一2， ∴该二次函数的解析式为y=号2-3z十4 抛物线的解析式为y=一立（红一2+3： (2)向上直线x=3 【例3】解：设抛物线的解析式为y=a(x一4)(x+1), (2)当x=0时，y=-立×4+3=g, 把(2,6)代入，得-6a=6,解得a=-1, .此函数的解析式为y=一(x一4)(x十1)， :>2.4,球不能射进球门. 参考答案 【例2】解：(1)由题意得c=1,y=- 子女+b+1, (-8)(20-10×69)=640,解得石=12，=16. 把(4,0)代入并解得，b=3, 答：应将每件售价定为12元或16元时，才能使每天利润为 Γ4 640元. 六此地物线的函数解折式=一是 1 4x+1; (2)设利润为y元，根据题意，得 2)=-+x*1=--号)+ y=(2-8)0200-10×09)=-20(x-14+720, ∴.当售价定为14元时，获得最大利润，最大利润为720元. “最大高度为器m 【课堂过关 【变21解：y=弓r-号x+2.50≤x<0: 1.12.2 3.解：(1)y=40一2x(10≤x20).(过程略) (8将x=号-2代人，得y=号-号+25=名 (2)设矩形菜园的面积为Sm,则S=(40-2x)x=一2(x 10)2十200，.10≤x<20,.当x=10时，S有最大值200. 答：绳子最低点离地面的距离是？m .当x的值为10时，围成的矩形菜园的面积最大，最大面积 是200m2. 【课堂过关】 4.解：(1)设y=kx十b,把(25,50)，(45,10)代人， 1.C2.9 3.解：(1)16÷2=8(cm) 得女降仁d 设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+3(0≤x≤3)，代入 .y与x之间的函数解析式为y=一2x+100(25≤x≤45). (30),解得a=-子， (2)根据题意，得w=(x-20)y=(x-20)(一2x十100)= 2x2+140x-2000=-2(x-35)2+450. ∴抛物线的解析式为y=一(x-1+3(0≤x<3). -2<0,.当x=35时，w取最大值450，此时y=-2x十 100=-2×35+100=30. (2)令x=0,则y=2.25.放水管长为2.25m .若要使销售利润最大，售价x应定为每袋35元，该月进货 4解：1y=一红一8)+5，（过程路） 数量为30袋. 5.解：(1)S=x(28-x)=-x2十28x(0<x28): (2)不会，理由如下： (2)S=-x2+28x=-(x-14)2+196, x≥6,28-x≥15，.6≤x≤13.当x=13时，S有最大值， 当x=12时，y=-16×(12-8)2+5=4>3.5, S.x=-1+196=195. 水流不会碰到这棵果树 答：花园面积的最大值为195m. 5.解：(1)最大高度是4米；（过程略） (2)左边抛物线的解析式为y=一(x十1)2十4=一x2一2x 第25课时实际问题与二次函数(3) 十3；（过程略） (建立平面直角坐标系) (3)令y=0代入y=-x2+2x十3，则-x2+2x+3=0, 【典型问题 解得x=3,x2=-1(不合题意，舍去)，3×2=6（米）. 答：水池的直径至少要6米. 【例15 【变1】10 【例2】解：如答图，建立平面直角坐标系， 第24课时实际问题与二次函数(2)（最值问题） y 【课标预习】 b 4ac-82 问题1.hk问题2.一2a 4a 问题3.32015209 -6m 【典型问题 答图 【例1】解：16÷2=8cm, 抛物线的顶点坐标为(0,2)，点C的坐标为(3,0)， 设矩形的一边长为xcm,则另一边长为(8一x)cm, ∴设抛物线的解析式为y=ax2十2. ,为S=x(8-x)=-x2+8x=-(x-4)2+16(0<x<8), 经过点C(3,0),.9a十2=0. ∴.周长为16cm的矩形的最大面积为l6cm2. 解得a=一 9心y= 号r+2 【变1】解：(1)y=x(20-2x)=-2x2+20x(5≤x<10); (2)y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50, .当x=5时，花圃的面积最大，最大面积是50m2, 232 当)一1时，一号2+2=1，解得石-3号， 2 【例2】解：(1)设每件运动衫降价x元，根据题意，得 ÷AB-3y2-（-3,5)=3(m. (40-x)(20+2x)=1200,解得x1=10,x2=20. 2 2 需要尽量扩大销售量，.x=20. 答：此时水面宽为3，√2m 答：每件运动衫应降价20元. 【变2解：(1)如答图，以水面中 (2)设每天的利润为y元， 心为坐标原点建立直角坐标 y=(40-x)(20+2x)=-2x2+60x+800, 系，∴A(一6,0)，B(6,0),顶点 0 抛物线的开口方向向下，对称轴为直线x=15. 为(0,4). 12 m ∴.当x=15时，y最大，ymx=25×50=1250(元) 设y=ax2+4,把B(6,0)代人上 答图 【变2】解：(1)设每件售价为x元，根据题意，得 11第二十二章 二次函数 第23课时 实际问题与二次画数(1)（抛物线形问题） 型问题 知识点①抛物线顶点式的应用 变①(2024秋·西宁期末)足球射门训练中，足 例(2024秋·钢城区期末)在立定跳远时，起跳球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m) 后的腾空路线可以近似地看作是抛物线的一部之间是二次函数关系.球员从球门正前方8处 分.建立如图所示的平面直角坐标系：起跳点为的A点射门，当球飞行的水平距离为6m时，球 原点，地面所在直线为x轴，起跳点所在的竖直达到最高点，此 y/m 方向为y轴，从起跳到落地的过程中，设运动员时球离地面3m. 距离地面的竖直高度为y(m),距离起跳点的水如图，现以O为 平距离为x(m).已知运动员跳到最高处时距离原点建立平面直 x/m 地面的竖直高度为 个竖直高度ym 角坐标系。 0.4m,距离起跳点的水 (1)求y关于x的函数解析式； 平距离为1m. 最高，点 (2)已知球门OB高为2.44m,通过计算判断球 (1)求该立定跳远腾空路 水平距离x/m 能否射进球门（忽略其他因素）. 线的函数解析式； (2)该立定跳远落地时距离起跳点的水平距离是 m. 知识点2抛物线一般式的应用 例2在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作 变2如图，小明的爸爸在相距4m的两树等高位 是抛物线y=一 2+x十c的一部分（如图， 置处拴了一根绳子，做成一个简易的秋千，绳子 自然下垂呈抛物线，已知身高1.5m的小明站在 其中出球点B离地面O点的距离是1m,球落地 距离树1m的地方，头部刚好触到绳子. 点A到O点的距离是4m. (1)求抛物线的函数解析式和自变量的取值范围； (1)求此抛物线的函数解析式； (2)求绳子最低点离地面的距离. (2)求羽毛球在空中运动的最大高度. ●>55 ● 数学·九年级·全册(R) 课 堂过关 基础关 1.若飞机着陆后滑行的距离s(m)与滑行的时间 2.(2022秋·宜兴市期末)军事演习在平坦的草 t(s)之间的函数解析式为s=60t一1.5t,则函 原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的 数图象大致为 ( 高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足 600 60 60 600 y=- 3x2+6x.经过 1 s,炮弹位置达到 最高 020407o2040020￥02040 A B C D 3.(2024秋·北京期末)一 4.如图1，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流 个大型社区要修建一个 可以近似地看成抛物线.图2是喷射出的水流 圆形喷水池，在池中心 :3m 在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置 竖直安装一根水管，在 m 于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部 3m 水管的顶端安一个喷水 的距离)设置的是1米，当喷射出的水流距离喷 头，如图，建立以池中心为原点，竖直安装的水 水头水平距离为8米时，达到最大高度5米. 管为y轴，与水管垂直的线为x轴建立直角坐 (1)求水流运行轨迹的函数解析式； 标系，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水 (2)若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的 平距离为1m处达到最高点，高度为3m,水柱 果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通 落地处离池中心3m. 过计算说明. (1)求抛物线的函数解析式； (2)求水管的长. 图1 5.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA,点O恰好在水面中心，安 装在柱子顶端A处的圆形喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在 过OA的任意平面上，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，建立平面直 角坐标系，右边抛物线的解析式为y=一x2+2x十3.请完成下列问题： (1)写出喷出的水流距水平面的最大高度是多少米； (2)写出左边那条抛物线的函数解析式； (3)不计其他因素，若要使喷出的水流落在池内，水池的直径至少要多少米？ ●>56《●