第21章 第10课时实际问题与一元二次方程(3几何问题)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(人教版)

第二十一章一元二次方程 第10裸时 实际问题与一元二次方程(3)（几何问题） 课标预 问题：用长为60m的篱笆围一个矩形的菜园，宽 (1)如图1，AB= m,S矩形ABCD一 AD=xm.用含x的代数式填空： m2; (2)如图2，菜园中间用一根篱笆隔开，则AB= m,S矩形ABCD= m2; 图 图3 (3)如图3，菜园一面靠墙，中间用一根篱笆隔开， 则AB= m,S矩形ABCD m2. 典 型间 题 知识点①围墙问题 例1用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔 开.由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米.（围栏宽忽略不计） (1)若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长； (2)生态园的面积能否达到150平方米？请说明理由. 知识点2小路问题 例2在宽为20m,长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成 若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田的面积为570m,道路宽为多少？ 32m ●23《● 数学·九年级·全册(R) 课堂过关 基础关 1,如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个2.用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示 角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折 的矩形窗框.若窗框的面积为1.5m,则窗框 成一个无盖的盒子（纸板的厚度忽略不计）若 AB的长为 该无盖盒子的底面积为900cm,盒子的容积 是 素养关 3.如图，一幅长8cm,宽6cm的矩形图案，其中有两条互相垂直的彩条，竖直彩条的宽度是水平彩 条宽度的2倍，若图案中两条彩条所占面积是整个矩形图案面积的？求彩条的宽度。 ●>24●参考答案 整理，得y2一6y十12=0， 3.(1-20%)(1+x)2=1+15.2% △=(-6)2-4×1×12=-12<0，方程无解， 4.3+3(1+x)+3(1+x)2=10 ∴.△PBQ的面积不能为12cm 2.解：(1)2t(15-3t) 第9课时实际问题与一元二次方程(2) (2)设出发t秒后P,Q两点间的距离是13cm, (互赠或握手问题、传播问题) 则AP=3tcm,CQ=2tcm, 【课标预习】 问题1：(1)23×2(2)34×3(3)(x-1)x(x-1) (4)(x-1) 合(x-1D 问题2：(1)10126072(2)2(1+x)2 答图 典型问题了 如答图，作QM⊥AB于点M, ,四边形ABCD是矩形，∴.∠C=∠ABC=90° 【例1】解：设这个小组共有x人，由题意，得x(x一1)=72， .四边形QMBC是矩形， 解得x=9,x2=一8（不合题意，舍去）. .∠QMP=90°，QM=BC=5cm, 答：这个小组共有9人. .PM=|15-2t-3t|=|15-5tcm, 【变1】解：设该小组有x支球队，根据题意，得2x(x一1)=6， 由勾股定理，得(15-5)2+52=13， 解得x1=4,x2=一3（不符合题意，舍去）. 解得t=0.6或t=5.4, 答：该小组有4支球队. ,AB=15cm,.3t15,.t≤5 【例2】解：(1)设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑， ∴t=5.4不符合题意，舍去. 根据题意，得 答：P,Q出发0.6s时，P,Q间的距离是13cm. x+1+(1+x)x=81,则(1十x)2=81, (3)四边形APDQ的形状可能为矩形，理由如下： 解得x1=8,x2=-10(舍). 当四边形APQD为矩形时，AP=DQ,即3t=15一2t, 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑。 解得t=3. (2)729. 答：当P,Q出发3秒时，四边形APQD为矩形. 〔课堂过关】 第8课时实际问题与一元二次 1.10人2.10人3.11 方程(1)（增长率问题） 4.解：(1)25 9n(n-3) 2 【课标预习】 (2)假设可以，根据题意，得n(m一3)=20， 问题1：(1)11(2)12.1问题2：a(1士x)a(1士x) 2 【典型问题】： 解得n=8或n=-5(舍去)， 故n边形可以有20条对角线，此时边数n为8. 【例1】解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为 x.根据题意，得3(1+x)2=4.32, 第10课时实际问题与一元二次 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍去） 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为20%. 方程(3)（几何问题） 【变1】解：设年平均增长率为x, 【课标预习 根据题意可列方程20(1+x)2=45, 解得x=0.5,x2=一2.5（不合题意，舍去）. 问题：1(30-)）《-+30)2)30-号) 答：2022年到2024年新能源汽车出口量的年平均增长率是 50%. (-是+30m）(3)(60-30）(-3d+60） 【例2】解：设这种药品成本的年平均下降率是x, 【典型问题】 根据题意，得5000(1-x)2=3200, 【例1】解：(1)设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙 解得x1=0.2=20%,x2=1.8(舍去) 的边长为(42-3x)米， 答：该药品成本的年平均下降率是20%. 依题意，得(42-3x)x=144.解得=6，x2=8. 【例3】20% 由于x2=8>7,所以不合题意，舍去.所以x=6符合题意， 课堂过关 答：生态园垂直于墙的边长为6米， 1.解：设平均每次降价的百分率为x, (2)依题意，得(42-3x)x=150,整理，得x2-14x+50=0. 依题意，得1×(1一x)2=1-19%, 因为△=（一14）2一4×1×50=一4<0，所以该方程无解. 解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去). 所以生态园的面积不能达到150平方米. 答：平均每次降价的百分率为10%. 【例2】解：设道路宽为xm,根据题意，得 2.解：(1)125×(1一20%)=125×80%=100（万元）， (20-x)(32-2x)=570.解得x=1,x2=35(舍). 答：二月份的销售额为100万元； 答：道路宽为1m. (2)设三、四月份销售额的平均增长率为x, 【课堂过关】 依题意，得100(1十x)2=144, 1.4500cm32.1.5m 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍去）. 3.解：设水平彩条的宽度为xcm,则竖直彩条的宽度为 答：三、四月份销售额的平均增长率为20. 2x cm, 高效课堂宝典训练数学九年级全册(R) 由题意，得8x+6X2z-2x×z=各X8X6, 5.A 6.解：方程(x一3)（x一2)一p=0,总有两个不相等的实 整理，得x2一10x+9=0, 数根. 解得x=1或x=9(不合题意，舍去)0∴x=1,2x=2. 理由：将原方程变形，得x2一5x+6一p2=0, 答：水平彩条的宽度为1cm,竖直彩条的宽度为2cm. △=62-4ac=25-4(6-p2)=1+4p2≥1>0， 第11课时实际问题与一元二次 故方程(x一3)(x一2)一p=0总有两个不相等的实数根 7.2.25%(1-x)2=1.98% 方程(4)（营销问题） 830-4c20-6a=2×30x20 【课标预习】 9.解：设甲种药品成本的年平均下降率为x, 2.603.300 依题意，得5000(1-x)2=3200 〔典型问题】 解得=0.2，x=1.8(舍去)， 【例1】解：(1)(20+5x). 设乙种药品成本的年平均下降率为y, (2)根据题意，得(20一x)(20+5x)=540, 依题意，得6000(1-y)2=3375. 解得1=2，x2=14>10(不合题意，舍去). 解得1=0.25,2=1.75（舍去）， 答：每件应降价2元 .0.2<0.25,.乙种药品成本的年平均下降率较大 【变1】解：(1)34. 10.解：设该直角三角形的三边长分别为x一2，x,x十2， (2)设每件大衣降价x元，则每天的销售量为(20十2x)件， 根据题意，得(x十2)2=x2十(x一2)2， 由题意，得(40-x)(20+2x)=12000 解得=0（舍去），x2=8. 整理，得x2-30x十200=0，解得x1=20,x2=10. 所以斜边长为x十2=10，另一直角边长为x一2=6. 要尽快减少库存，∴.x=20. 故这个三角形的三边长分别为6,8,10. 答：每件大衣应降价20元. 11.解：点P在一次函数y=一2x+3的图象上， 【例2】解：(1)420. ∴.设P(a,-2a+3)(a>0), (2)设每件商品价格应提高x元， 由题意，得a·(-2a十3)=1， 则每天可售出(460一40x)件， 整理，得2d-3a十1=0，解得a=1,a=号 根据题意，得(x+15-10)(460-40x)=2720. 解得x1=3,x2=3.5, “当a=1时，-2a+3=1;当a=2时，-2a+3=2 答：将每件提价定为3元或3.5元时，才能使每天利润为 2720元. 综上所述，当点P的坐标为(1,1)或(2,2)时，矩形0CPD 〔课堂过关】 的面积为1. 1.2x(50+x)2.(3-x)(100+200x) 第12课时 《一元二次方程》单元复习 3.解：依题意，得(x+40一30)(600一10x)=10000. 整理，得x2-50x十400=0. 〔基础过关 解得x1=10,x2=40(不合题意，舍去). 1.(1)a≠1(2)2，-5，-6(3)-6(4)2023 .x=10..600-10x=500. 2.解：(1)x=土√3(2)12 答：这种台灯应上涨10元，这时应进台灯500个 4.解：依题意，得(x-70)[20+2(110-x)]=1200, (3)22-4x=-1,d-2x=-7, 整理，得x2-190x十9000=0， t-2x+1=7,x-1=安， 1 解得x1=90,x2=100..要尽快减少库存，.x=90. 答：x的值为90. 一1±竖通=1+ 221-② 2 第二十一章 教材典型问题突破 3.(1)m≤1且m≠0 1解：整理，得-1开平方，得=士头 (2)证明：△=a2-4(a-3)=a2-4a十12=(a-2)2+8, (a-2)2≥0，.(a-2)2+8>0. 即石=号西号 11 ∴，不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 1 2.解：整理，得3x(2x+1)-2(2x+1)=0. 4.解：1)-2 因式分解，得(2x十1)(3x一2)=0. (2)①a<3 于是得2x+1=0或3x-2=0.6=-合=号. 2 ②，x1十x2=2(a-1),m1x2=a2-a-2, 十z-xx=16,∴.（石十x2)2一312=16， 3.解：移项，得(x-4)2-(5-2x)2=0. [2(a-1)]2-3(a2-a-2)=16. 因式分解，得(x一4+5-2x)(x一4-5+2x)=0. 解得a=-1,a2=6,a<3,∴.a=-1. (1-x)(3x-9)=0, ★5.(1)①b=a(1+m)"②a(1-p)(2)a(1+m) 于是得1一x=0或3x-9=0. .x1=1,x2=3. 3)®2x-)③2xx-1)xx-1D 4.解：原方程可化为(x-3)2=(5-2x)2, (4)多 则x一3=5一2x或x-3=2x-5, (5)②(a-x)(b-x)③(a-x)(b-x）④ab-4.x 解得4=号西=2 a-2x)b-2d）⑤"2.n