1.3～1.4空间向量的坐标运算及证平行、垂直讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 选修 第一章 空间向量与立体几何 （二）空间向量的坐标运算 知识点1：空间直角坐标系： 以i，j，k的公共起点O为原点，分别以i，j，k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O­xyz. 知识点2：空间向量的坐标表示： 对于空间任意一个向量p，一定可以把它正交分解，使它的起点与原点O重合，得到向量＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xi＋yj＋zk.把 x，y，z称作向量p在单位正交基底i，j，k下的坐标，记作p＝(x，y，z)，即点P的坐标为(x，y，z). 知识点3：向量的坐标运算 a＝(x1，x2，x3)，b＝(y1，y2，y3) 向量和 a＋b＝(_______，_______，_______) 向量差 a－b＝(_______，_______，_______) 数量积 a·b＝__________________. 共线 a∥b,b≠0⇔_______________(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔__________________. 夹角公式 cos〈a，b〉＝____________________ (3)空间中向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(x1，x2，x3)，B(y1，y2，y3)． ①＝(_______，_______，_______)； ②dAB＝||＝________________________________________. ③AB的中点M(_______，_______，_______)； 例1.已知i，j，k是空间直角坐标系O－xyz的单位正交基底，并且＝－i＋j－k，则B点的坐标为(　 　) A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不确定 变式1.已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(　 　) A．(12,14,10) B．(10,12,14) C．(14,12,10) D．(4,3,2) 例2-1.若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为(　　) A．4 B．15 C．3 D．7 例2-2.已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，则x等于(　　) A．4 B．－4 C. D．－6 例2-3.已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________． 例2-4.已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于(　　) A．3 B．2 C. D．5 变式2-1.已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b等于(　　) A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2) C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3) 变式2-2.已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　) A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4 C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1 变式2-3.已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝_______. 变式2-4.已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为(　　) A. B. C. D. （3） 用向量方法证平行、垂直 知识点1：平面的法向量的定义 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 知识点2：用向量描述空间平行垂直关系 图示 向量证明方法 线线平行 （//） // （分别为直线的方向向量） 线线垂直 （） （分别为直线的方向向量） 线面平行 （//） ，即 （是直线的方向向量，是平面的法向量）． 线面垂直 （） // （是直线的方向向量，是平面的法向量） 面面平行 （//） （分别是平面，的法向量） 面面垂直 （） ，即 （，分别是平面，的法向量） 例1.若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是(　 　) A．(0,1,2) B．(3,6,9) C．(－1，－2,3) D．(3,6,8) 变式1.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是(　 　) A． (1,1，－1) B．(1，－1,1) C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1) 例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，用向量法证明：PQ∥BD1. 变式2.（向量法）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点在棱上，，点为中点. （1）证明：直线平面； 例3.在正方体中,为的中点,为四边形的中心．用向量法证明：对上任一点,都有． 变式3.（向量法）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，是的中点，已知，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面平面． 1．一个向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．若＝(2x，1，3)，＝(1, -2y，9)，如果与为共线向量，则（ ） A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝- C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝ 3.已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为(　 　) A.，－，4 B.，－，4 C.，－2,4 D．4，，－15 4．已知为坐标原点，四面体中，，直线，并且交坐标平面于点，则点的坐标为______. 5.平面α的法向量u＝(x,1，－2)，平面β的法向量v＝，已知α∥β，则x＋y＝________. 6.如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB. 用向量法证明：BC1∥平面A1CD； 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 选修 第一章 空间向量与立体几何 （二）空间向量的坐标运算 知识点1：空间直角坐标系： 以i，j，k的公共起点O为原点，分别以i，j，k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O­xyz. 知识点2：空间向量的坐标表示： 对于空间任意一个向量p，一定可以把它正交分解，使它的起点与原点O重合，得到向量＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xi＋yj＋zk.把 x，y，z称作向量p在单位正交基底i，j，k下的坐标，记作p＝(x，y，z)，即点P的坐标为(x，y，z). 知识点3：向量的坐标运算 a＝(x1，x2，x3)，b＝(y1，y2，y3) 向量和 a＋b＝(_______，_______，_______) 向量差 a－b＝(_______，_______，_______) 数量积 a·b＝__________________. 共线 a∥b,b≠0⇔_______________(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔__________________. 夹角公式 cos〈a，b〉＝____________________ (3)空间中向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(x1，x2，x3)，B(y1，y2，y3)． ①＝(_______，_______，_______)； ②dAB＝||＝________________________________________. ③AB的中点M(_______，_______，_______)； 例1.已知i，j，k是空间直角坐标系O－xyz的单位正交基底，并且＝－i＋j－k，则B点的坐标为(　D　) A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不确定 变式1.已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(　A　) A．(12,14,10) B．(10,12,14) C．(14,12,10) D．(4,3,2) 例2-1.若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为(　C　) A．4 B．15 C．3 D．7 例2-2.已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，则x等于(　B　) A．4 B．－4 C. D．－6 例2-3.已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为___60°_____． 例2-4.已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于(　A　) A．3 B．2 C. D．5 变式2-1.已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b等于(　B　) A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2) C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3) 变式2-2.已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　B　) A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4 C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1 变式2-3.已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝120°. 变式2-4.已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为(　C　) A. B. C. D. （3） 用向量方法证平行、垂直 知识点1：平面的法向量的定义 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 知识点2：用向量描述空间平行垂直关系 图示 向量证明方法 线线平行 （//） // （分别为直线的方向向量） 线线垂直 （） （分别为直线的方向向量） 线面平行 （//） ，即 （是直线的方向向量，是平面的法向量）． 线面垂直 （） // （是直线的方向向量，是平面的法向量） 面面平行 （//） （分别是平面，的法向量） 面面垂直 （） ，即 （，分别是平面，的法向量） 例1.若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是(　B　) A．(0,1,2) B．(3,6,9) C．(－1，－2,3) D．(3,6,8) 变式1.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是(　D　) A． (1,1，－1) B．(1，－1,1) C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1) 例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，用向量法证明：PQ∥BD1. 变式2.（向量法）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点在棱上，，点为中点. （1）证明：直线平面； 如图，以为原点，分别以方向为，z轴方向建立空间直角坐标系.由题意，可得， ， （1）显然，是平面的一个法向量， ，故，即.又因为平面，故直线//平面. 例3.在正方体中,为的中点,为四边形的中心．用向量法证明：对上任一点,都有． 变式3.（向量法）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，是的中点，已知，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面平面． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 证明：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，． （Ⅰ）因为是的中点，所以的坐标为，所以，又因为， 所以，所以，即有； （Ⅱ）因为底面是正方形，所以，因为底面，平面， 所以，因为，所以平面，所以平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，， 由，取，，，所以平面的一个法向量为， 因为，所以，所以平面平面. 1．一个向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ B ） A． B． C． D． 2．若＝(2x，1，3)，＝(1, -2y，9)，如果与为共线向量，则（ C ） A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝- C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝ 3.已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为(　B　) A.，－，4 B.，－，4 C.，－2,4 D．4，，－15 4．已知为坐标原点，四面体中，，直线，并且交坐标平面于点，则点的坐标为__(1,0,5)_. 5.平面α的法向量u＝(x,1，－2)，平面β的法向量v＝，已知α∥β，则x＋y＝________. 6.如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB. 用向量法证明：BC1∥平面A1CD； 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $