1.1～1.2空间向量及其运算和空间向量的基本定理讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 选修 第一章 空间向量与立体几何 （一）空间向量及其运算和空间向量基本定理 知识点1：空间向量的有关概念 1．空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. 2．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a，的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 知识点2：空间向量的线性运算 空间向量的加法、减法和数乘运算 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 数乘λa λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 加法运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 数乘运算律 (1)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb (2)结合律：λ(μa)＝(λμ)a 知识点3：共线向量与共面向量 共线(平行)向量 共面向量 定义 表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 充要 条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ， 使a＝λb 若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 推论 如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，① 其中a叫做直线l的方向向量，如图所示．若在l上取＝a，则①式可化为＝＋t 如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y，或对空间任意一点O来说，有＝＋x＋y 知识点4：空间向量数量积的运算 （1）定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. ③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 知识点5：空间向量基本定理： （1）空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中，空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底.此时，a，b，c都称为基向量；如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式. （2）单位正交基底： 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 考点一 空间向量的有关概念及线性运算 例1-1.下列命题中正确的是（　　） A．若，，则与所在直线平行 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若，则存在唯一的实数λ，使 例1-2.如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（       ） A． B． C． D． 变式1-1.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A. a－b＋c B.a－b－c C.a－b＋c D.a－b＋c 变式1-2.如图所示，点D是空间四边形OABC的边BC的中点，＝a，＝b，＝c，则为(　　) A.(a＋b)－c B.(c＋a)－b C.(b＋c)－a D．a＋(b＋c) 考点二 共线、共面向量定理的应用 例2.（多选题）给出下列四个命题，其中是真命题的有（       ） A．若存在实数，，使，则与，共面； B．若与，共面，则存在实数，，使； C．若存在实数，，使则点，，A，共面； D．若点，，A，共面，则存在实数，，使． 变式2-1.对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（       ） A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．与点位置有关 变式2-2.已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（       ） A．2 B． C．1 D． 考点三 空间向量的数量积 例3.如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（       ） A．1 B． C． D． 变式3.已知在四面体ABCD中，，，则______． 考点三 利用空间向量的数量积求两向量的夹角 例3.在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 变式3-1.在正四面体中，、分别为棱、中点，则异面直线与所成角的余弦值为（            ） A． B． C． D． 变式3-2.如图，平行六面体中，，，与AB、AD的夹角都为求： （1）的长；    （2）与AC所成的角的余弦值． 考点四 利用空间向量的数量积求线段的长度 例4.如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为_______. 考点五 空间向量的基底向量 例5.若向量，，的起点与终点M，A，B，C互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量，，成为空间一组基底的关系是(　 　) A.＝＋＋ B.≠＋ C.＝＋＋ D.＝2－ 1．下列命题为真命题的是（       ） A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．若，则､的长度相等且方向相同 C．若向量､满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则. 2.已知点O，A，B，C为空间中不共面的四点，且向量，向量，则不能与，共同构成空间向量的一组基底的向量是（ ） A． B． C． D．以上都不能 3.如图，在三棱锥中，设，若，则=（            ） A． B． C． D． 4．如图所示，平行六面体中，，，若线段，则（       ） A．30° B．45° C．60° D．90° 5．在平形六面体中，其中，，，，，则的长为（       ） A． B． C． D． 6．（多选题）在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，则下列选项正确的是（       ） A． B． C．若，则 D．若直线与交于点O，则 7.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，若点E、F分别是AB、AD的中点，则______． 8.在空间四边形中，是线段的中点，在线段上，且. （1）试用表示向量； （2）若，，，，，求的值及 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 选修 第一章 空间向量与立体几何 （一）空间向量及其运算和空间向量基本定理 知识点1：空间向量的有关概念 1．空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. 2．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a，的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 知识点2：空间向量的线性运算 空间向量的加法、减法和数乘运算 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 数乘λa λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 加法运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 数乘运算律 (1)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb (2)结合律：λ(μa)＝(λμ)a 知识点3：共线向量与共面向量 共线(平行)向量 共面向量 定义 表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 充要 条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ， 使a＝λb 若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 推论 如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，① 其中a叫做直线l的方向向量，如图所示．若在l上取＝a，则①式可化为＝＋t 如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y，或对空间任意一点O来说，有＝＋x＋y 知识点4：空间向量数量积的运算 （1）定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. ③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 知识点5：空间向量基本定理： （1）空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中，空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底.此时，a，b，c都称为基向量；如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式. （2）单位正交基底： 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 考点一 空间向量的有关概念及线性运算 例1-1.下列命题中正确的是（　　） A．若，，则与所在直线平行 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若，则存在唯一的实数λ，使 【详解】对于A，若，，当时与所在直线可以不平行，因此不正确； 对于B，向量、、共面，则它们所在直线可能共面，也可能不共面，因此不正确； 对于C，根据共面向量基本定理可知：空间任意两个向量共面，正确； 对于D，若且，则存在唯一的实数λ，使，因此不正确．故选：C． 例1-2.如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（       ） A． B． C． D． 【详解】连接AG并延长交BC于N，连接ON， 由G是的重心，可得，则 则 故选：D 变式1-1.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　C　) A. a－b＋c B.a－b－c C.a－b＋c D.a－b＋c 变式1-2.如图所示，点D是空间四边形OABC的边BC的中点，＝a，＝b，＝c，则为(　C　) A.(a＋b)－c B.(c＋a)－b C.(b＋c)－a D．a＋(b＋c) 考点二 共线、共面向量定理的应用 例2.（多选题）给出下列四个命题，其中是真命题的有（       ） A．若存在实数，，使，则与，共面； B．若与，共面，则存在实数，，使； C．若存在实数，，使则点，，A，共面； D．若点，，A，共面，则存在实数，，使． 【详解】由向量共面定理可知A正确；当，为零向量可知B错误； 由向量共面定理可知共面，又因为共始点，所以点，，A，共面，故C正确； 当，A，三点共线，点P与，A，不共线时可知D错误.故选：AC 变式2-1.对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（       ） A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．与点位置有关 【详解】由 ，所以A，B，C，P四点共面，故选：B 变式2-2.已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（       ） A．2 B． C．1 D． 【详解】，即整理得由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，可得 ，解之得故选：B 考点三 空间向量的数量积 例3.如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（       ） A．1 B． C． D． 【详解】由题意得，故.故选：D. 变式3.已知在四面体ABCD中，，，则______． 【详解】由题设，可得如下四面体示意图， 则， 又，， 所以. 故答案为：24 考点四 利用空间向量的数量积求两向量的夹角 例4.在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【分析】设，则，根据空间向量夹角公式即可求解． 【详解】 设，底面是边长为的正方形，， ，， 异面直线与所成角的余弦值为， 故选：D 变式4-1.在正四面体中，、分别为棱、中点，则异面直线与所成角的余弦值为（            ） A． B． C． D． 【详解】设，，，设异面直线与所成角为，设， 则，，由空间向量数量积的定义可得，则，， ，故，故选：C. 变式4-2.如图，平行六面体中，，，与AB、AD的夹角都为求： （1）的长；    （2）与AC所成的角的余弦值． 【详解】（1）设，，，所以，，因为所以平行四边形中 所以对角线的长为：.（2）由，可得， 所以由，可 .所以， . 考点五 利用空间向量的数量积求线段的长度 例5.如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为_______. 【详解】因为所以 即故答案为： 考点六 空间向量的基底向量 例6.若向量，，的起点与终点M，A，B，C互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量，，成为空间一组基底的关系是(　C　) A.＝＋＋ B.≠＋ C.＝＋＋ D.＝2－ 1．下列命题为真命题的是（       ） A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．若，则､的长度相等且方向相同 C．若向量､满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则. 【详解】空间中任意两个向量必然共面，A错误；若，则､的长度相等但方向不确定，B错误；向量不能比较大小，C错误；由可得向量与长度相等，方向相反，故，D正确.故选：D. 2.已知点O，A，B，C为空间中不共面的四点，且向量，向量，则不能与，共同构成空间向量的一组基底的向量是（ C ） A． B． C． D．以上都不能 3.如图，在三棱锥中，设，若，则=（            ） A． B． C． D． 【详解】连接 . 故选：A 4．如图所示，平行六面体中，，，若线段，则（       ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【详解】∵，∴ ，∴，，故选：C. 5．在平形六面体中，其中，，，，，则的长为（       ） A． B． C． D． 【详解】因为是平行六面体，所以， 所以有：，因此有： ， 因为，，，，， 所以，所以，故选：B 6．（多选题）在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，则下列选项正确的是（       ） A． B． C．若，则 D．若直线与交于点O，则 【详解】对A，由题意，，A正确；对B，，B正确；对C，，则，C错误； 对D，由题意可知，， 则 ，D错误.故选：AB. 7.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，若点E、F分别是AB、AD的中点，则______． 连接AC、BD，由题意得A-BCD为正四面体，底面为等边三角形，因为点E、F分别是AB、AD的中点，所以，且，所以.故答案为： 8.在空间四边形中，是线段的中点，在线段上，且. （1）试用表示向量； （2）若，，，，，求的值及 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $