精品解析：贵州省镇宁民族中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

镇宁民族中学2025--2026学年第一学期高二第一次月考 数学 一、单选题（每小题5分） 1. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线间的距离公式即可求解. 【详解】将直线化为， 则这两条平行直线间距离为. 故选：D. 2. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用集合的并集概念与运算，即可求解. 【详解】由集合，， 根据集合的并集的概念与运算，可得. 故选：D 3. 过点且与直线的夹角为的直线方程是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据直线方程可得斜率为，对应倾斜角，所以所求直线的倾斜角为或，又直线过点即可得解. 【详解】根据一般方程可得， 所以斜率为，对应倾斜角， 和该直线夹角为的直线的倾斜角为或， 根据直线过点， 所以该直线方程为或. 故选：D 4. 已知为直线的方向向量，、分别为平面、的法向量（、不重合），那么下列说法中：①；②；③；④.其中正确的有（    ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面、面面位置关系判断对应方向向量与法向量、法向量与法向量的关系，由此判断出正确说法. 【详解】平面与平面的法向量平行等价于平面与平面平行，故①正确； 平面与平面的法向量垂直等价于平面与平面垂直，故②正确； 直线方向向量与平面法向量平行等价于直线垂直于平面，故③错误； 直线方向向量与平面法向量垂直等价于直线平行于平面或线在面内，故④错误； 故选：B. 5. 在棱长为3的正方体中，为线段中点，为线段上靠近的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，再利用即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则知，，，， 所以，， 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查了空间向量法求线面角、考查了基本运算能力，属于基础题. 6. 直线与直线平行，则的值为（ ） A. 或1 B. 1 C. D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】由于两直线平行，所以，从而可求出的值． 【详解】因为直线与直线平行 所以， 由，得， 解得或， 当时，两条直线平行， 当时，直线不存在， 综上， 故选：C. 7. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是 A. 复数在复平面内对应的点落在第二象限 B. C. 的虚部为1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数乘除运算化简得，结合复数相关概念判定A，B，D错误，化简判定正确. 【详解】解：， 其对应的复平面点为位于第四象限，故A错误； ，故B错误；，虚部为1，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 【点睛】复数乘除法运算技巧： （1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算． （2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数． 8. 已知入射光线所在直线方程为，经x轴反射，那么反射光线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求入射光线所在直线与轴、轴分别交于点，根据对称性得到反射光线比经过点和点关于轴的对称点，进而求得反射光线的方程. 【详解】由直线，令，可得；令，可得， 即入射光线所在直线与轴、轴分别交于点, 如图所示，根据对称性，反射光线比经过点和点关于轴的对称点， 所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为. 故选：B. 二、多选题（每小题6分） 9. 已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】讨论和时，计算，根据列不等式，解不等式求得的取值范围，再结合选项即可得正确选项. 【详解】当时，，即，此时，符合题意， 当时，，即， 由可得或， 因为，所以或，可得或， 因为，所以， 所以实数的取值范围为或， 所以选项ABC正确，选项D不正确； 故选：ABC. 10. 在正方体中，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设正方体的棱长为1，以D为原点，、、所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建系，写出所需点的坐标，可求得所需向量的坐标，逐一检验各个选项即可得答案. 【详解】设正方体的棱长为1，以D为原点，、、所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 则， 所以，所以与不垂直，故A错误； 显然平面的一个法向量. 所以，所以平面，故B正确； ，所以，故C正确； ，所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查利用空间向量判断线线垂直、线线平行、线面平行，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题. 11. 直线l过点，且与线段AB有公共点，其中，则直线l的斜率可能是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别求得的斜率，然后结合图形及斜率变化关系求解斜率范围，结合选项即可判断. 【详解】如图 当直线l过点B时，设直线的斜率为，则； 当直线l过点A时，设直线的斜率为，则. 故要使直线l过点，且与以为端点的线段有公共点， 则直线l的斜率的取值范围为，结合选项可知，直线l的斜率可能是2，1，. 故选：ACD 三、填空题（每小题5分） 12. 已知空间三点，，共线，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行列方程组即可求解. 【详解】由已知得：. 因为三点共线,所以. 所以，解得：. 所以. 故答案为:. 13. 已知，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式进行角变换化简即可. 【详解】， 故答案为： 【点睛】此题考三角函数角的变换，属于简单题. 14. 已知，若直线，则m的值为________． 【答案】1或 【解析】 【分析】由已知点坐标关系可得，当当与x轴垂直（或重合）时，可求出，此时可得，当当与x轴不垂直时，由，可得，从而可求出m的值 【详解】∵A，B两点纵坐标不相等， ∴与x轴不平行． ∵，∴与x轴不垂直， ∴，即． ①当与x轴垂直（或重合）时， ，解得，此时C，D的纵坐标均为， ∴轴，此时，满足题意． ②当与x轴不垂直时，由直线的斜率公式得 ， ∵，∴，即，解得． 综上，m的值为1或． 故答案为：1或 四、解答题 15. （1）求值：. （2）已知角的终边上一点，且，求值. 【答案】（1）2；（2）或. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数诱导公式与特殊角的三角函数值求解即可；（2）根据定义法求三角函数值的方法列出方程求解即可. 【详解】（1）. （2）依题意有：即： 解得：或 即或 16. 已知直线和两点，若直线上存在点使得最小，求点的坐标和的最小值. 【答案】，12 【解析】 【分析】利用对称关系求出点的对称点为，则最小值为之间的距离，联立直线方程求得点的坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 因为，，所以直线的方程为， 联立，解得，所以点. 故P的坐标为时，取到最小值为12. 17. 直线l过点P(，2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点. (1)当△AOB周长为12时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程. 【答案】(1) 3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. (2) 3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0. 【解析】 【分析】（1）设直线l方程为＋＝1(a>0，b>0)．根据△AOB的周长为12时，建立方程关系，进而求得直线l的方程； （2）设直线l方程为＋＝1(a>0，b>0)．当△AOB的面积为6时，根据三角形的面积公式，求得直线l的方程. 【详解】(1)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)， 因为直线l过点P(，2)， 所以＋＝1，① 又a＋b＋＝12.② 由①②可得5a2－32a＋48＝0， 解得或 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. (2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)， 由题意知，ab＝12，＋＝1，消去b， 得a2－6a＋8＝0， 解得或 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0. 【点睛】本题考查了直线方程的求法，使用待定系数法求直线方程的一般步骤是：①设方程，②求系数，③代入方程求得直线方程；若已知直线在两个坐标轴上的截距或题目中涉及截距，一般优先选择设截距式方程. 18. 如图，已知是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点. （1）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高； （2）在（1）的条件下，点是的中点，求点到直线的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，第一问利用空间向量计算点到面的距离，从而得到参数的值；第二问利用空间向量共线和垂直的条件，得到垂线段所在的向量，垂线段所在的向量的模即为点到线的距离 【小问1详解】 设正四棱柱的高为，以为坐标原点，、、所在的直线分别为 轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系，则､､､ 则，，.设平面的法向量为.因为，，所以，. 由得，，所以.取，得.由点 到平面的距离为，解得高； 【小问2详解】 由（1）可知、､､、 设，为垂足，设，. 因为，所以. 因为，，所以，即. 所以.所以.所以，故点到直线的距离为. 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，且底面ABCD． （1）证明：平面平面PBC； （2）若Q为PC的中点，，且，求平面QBD与平面BCD所成的角． （3）在（2）的条件下求直线PA与平面PBC所成的角的余弦值 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理得到，再由线面垂直的性质得到，最后由面面垂直的判定定理可得； （2）建立如图所示空间直角坐标系，由向量的数量积求出，再求出两平面的法向量，代入空间二面角公式计算可得； （3）先求出平面的一个法向量，再代入空间线面角公式，然后由同角的三角函数关系可得. 【小问1详解】 平行四边形ABCD中，，，则，即，， 而底面ABCD，底面ABCD，则，又，平面PBD， 则有平面PBD，因，从而得平面PBD，而平面PBC， 所以平面平面PBC. 【小问2详解】 由(1)知，两两垂直，以射线DA，DB，DP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， 因，则，设，则， 则，于是得，解得， 则有，而， 设平面QBD的法向量， 于是得，令，得， 而平面BCD的法向量， 因此，， 显然二面角的大小为锐角，所以二面角的大小为. 【小问3详解】 ，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 设与平面所成的角为， 则，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇宁民族中学2025--2026学年第一学期高二第一次月考 数学 一、单选题（每小题5分） 1. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 过点且与直线的夹角为的直线方程是（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知为直线的方向向量，、分别为平面、的法向量（、不重合），那么下列说法中：①；②；③；④.其中正确的有（    ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 在棱长为3正方体中，为线段中点，为线段上靠近的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 6. 直线与直线平行，则的值为（ ） A. 或1 B. 1 C. D. 或1 7. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是 A. 复数在复平面内对应的点落在第二象限 B. C. 的虚部为1 D. 8. 已知入射光线所在直线的方程为，经x轴反射，那么反射光线所在直线的方程是（ ） A B. C. D. 二、多选题（每小题6分） 9. 已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（　　） A B. C. D. 10. 在正方体中，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 11. 直线l过点，且与线段AB有公共点，其中，则直线l的斜率可能是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 三、填空题（每小题5分） 12. 已知空间三点，，共线，则____________． 13. 已知，则____________. 14. 已知，若直线，则m的值为________． 四、解答题 15 （1）求值：. （2）已知角的终边上一点，且，求值. 16. 已知直线和两点，若直线上存在点使得最小，求点的坐标和的最小值. 17. 直线l过点P(，2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点. (1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程. 18. 如图，已知是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点. （1）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高； （2）在（1）的条件下，点是的中点，求点到直线的距离. 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，且底面ABCD． （1）证明：平面平面PBC； （2）若Q为PC中点，，且，求平面QBD与平面BCD所成的角． （3）在（2）的条件下求直线PA与平面PBC所成的角的余弦值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $