24.1圆的有关性质（第二课时）导学案2025-2026学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“垂径定理及推论”，课堂导入以赵州桥主桥拱半径问题激发兴趣，通过对折圆形纸片发现轴对称性，再作弦与直径实验归纳定理，构建从直观操作到抽象定理的学习支架，衔接圆的基本性质。 特色在于融合动手实验与实际应用，自主学习活动培养几何直观和空间观念，合作探究与分层训练中的赵州桥、门拱等问题，引导学生用数学思维解决实际问题，发展模型意识和应用意识，助力提升推理能力与创新意识。

澄江二中学学案 姓名 班级 学科 数学 完成情况 课题 24.1　圆的有关性质（第二课时） 学习目标 1.通过观察实验，帮助学生理解圆的轴对称性． 2.掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题. 学习关键 重点 垂直于弦的直径所具有的性质以及证明. 难点 利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题. 学习过程 【课堂引入】 问题：你知道赵州桥吗？它是我国隋代建造的石拱桥，位于河北省赵县内， 距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥 拱是圆弧形，跨度为37 m，拱高为7.23 m，怎样才能求出它的主桥拱的 半径呢？ 【自主学习】 活动一：将你手中的圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到圆的什么特性？ 活动二：在圆形纸片上作⊙O的任意一条弦AB，再作直径CD⊥AB, 垂足为E.沿着直径CD对折，你发现了什么？有哪些相等的线段和弧？ 归纳垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 几何语言：∵ ，CD是⊙O的 ， ∴ ， ， . 问题1：垂径定理有条件 得到的结论 问题2：把垂径定理中的“垂直”和“平分”互换，是否仍然成立呢？ 如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB点E，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2） 与 相等吗？ 与 相等吗？为什么？ （3）你发现了什么？ 【合作探究】 例1.如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E.若AB＝6， OE＝，则⊙O的直径为( ) A. B．2 C．4 D．8 例2.1400多年前，我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对是弦的长)为 37 m，拱高为7.23m，求桥拱的半径(精确到0.1m). 【巩固训练】 1.如图是一个圆弧形门拱，拱高1m ，跨度4m ，那么这个门拱的半径为（ ） A.2m B.2.5m C.3m D.5m 2.如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面AB宽为（ ） A.4m B.5m C.6m D.8m 3. 如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的 倍，C 为中点，AB、OC交于点P， 则四边形OACB是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 4.如图， 为 直径，交弦 于点E，若E点为 中点，则说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【当堂检测】 1“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中， 不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”转化为现在的数学语言就是： 如图，为的直径，弦，垂足为，寸，寸， 则半径的长度为（   ）寸． A．5 B．8 C．12 D．13 2. 丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且CD部分平分AB部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为O），其示意图如图所示，使得、B、D分别落在上，这样圆心O就会落在CD上，已知，， 请求出该圆形工件的半径． 3.如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度米，桥拱到水面的最大高度DF为20米． 求：(1)桥拱的半径； (2)现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度． 学科网（北京）股份有限公司 $