专题07 反比例函数（专项训练）数学沪科版九年级上册

专题7 反比例函数 目录 A题型建模・专项突破 题型一、反比例函数概念和性质 1 题型二、求反比例函数解析式 3 题型三、一次函数与反比例函数综合 6 题型四、反比例函数K的几何意义 8 题型五、反比例函数应用 10 B 综合攻坚・能力跃升 12 题型一、反比例函数概念和性质 1．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）下列四个关系中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据形如，则y是x的反比例函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，x的次数为2，不符合反比例函数的定义，故该选项不符合题意； B、，不符合反比例函数的定义，故该选项不符合题意； C、，y是x的一次函数，故该选项不符合题意； D、，符合反比例函数的定义，所以y是x的反比例函数，故该选项符合题意． 故选：D． 2．（25-26九年级上·湖南·期中）下列各函数：；；；； ；；；；中，是关于的反比例函数的是 填所有正确的序号． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的定义，判断函数是否为反比例函数，需满足形式（k为常数且），或等价形式如．需逐一分析每个函数是否符合条件，注意分母是否为的一次式，以及是否存在其他变形导致不符合定义的情况． 【详解】解：，未明确说明的取值范围，可能为0，因此不符合题意； ，由于（无论为何实数），分母为，分子为常数且不为零，故符合反比例函数的定义； ，可化简为，分子为常数且，符合定义，故是反比例函数； ，分母为，不符合分类函数的形式，不属于反比例函数，故不符合； ，此为正比例函数，与反比例函数形式不同，故不符合； ，为反比例函数与常数的组合，不符合纯反比例函数的定义，故不符合； ，该函数可化为，自变量的指数是，不等于，不符合反比例函数的定义，故不符合； ，即，显然符合反比例函数的定义，故是反比例函数； ，变形为，即，符合反比例函数的定义，故是反比例函数． 综上，符合条件的函数为． 故答案为：． 3．（2024·广东广州·模拟预测）已知：． (1)化简； (2)若函数为反比例函数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的定义和分式的化简求值，正确计算是解答本题的关键． （1）根据分式的除法法则进行计算即可； （2）由反比例函数的定义求出，再代入（1）化简的结果进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵函数为反比例函数， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知函数是关于x的反比例函数，求这个反比例函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的定义、解一元二次方程，掌握反比例函数的定义是关键． 【详解】解：∵是关于x的反比例函数， ∴且， 由，解得或， 由，得， ∴． ∴， ∴这个反比例函数的表达式为． 5．（25-26九年级上·湖南常德·阶段练习）对于反比例函数，下列说法不正确的是（　　） A．这个函数的图象分布在第一、三象限 B．点在这个函数图象上 C．若图象上有两点，且，则 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小、当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大． 【详解】解：A、反比例函数中，， 图象在第一、第三象限，本选项说法正确，不符合题意； B、当时，，故点在这个函数图象上，不符合题意； C、在反比例函数中，若，则，故该说法错误，符合题意； D、当时，随的增大而减小，本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 6．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知点是反比例函数图象上的两点，若，则有（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．的图象在二、四象限，因为，A在第四象限，B在第二象限，所以． 【详解】解：∵图象在二、四象限， 且， ∴A在第四象限，B在第二象限， ∴， 故选：D． 7．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，这是反比例函数 的图象，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象分布在二、四象限可得，求出的取值范围进而即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在二、四象限， ∴， ∴， ∴的值可以是， 故选：． 8．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，反比例函数的图像，反比例函数的性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．由图象分布的位置可得，，，再由时，由图象可得，即得，进而可得，即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第一象限，反比例函数，的图象分布在第二象限， ，，，， 当时，由图象可得， ， ， 故选：B． 题型二、求反比例函数解析式 9．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，直线分别交x轴、y轴于A，B两点． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为． (2) 【分析】（1）先利用反比例函数图象上的点求出反比例函数表达式，再将点代入一次函数求出其表达式； （2）先求出一次函数与轴交点的坐标，再以为底，点横坐标为高，利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：对于反比例函数，把代入， 得，解得， 反比例函数表达式为， 对于一次函数，其中，把代入， 得，解得， 一次函数表达式为． （2）解：如图所示，过点作轴于点： 点的坐标为， ， 在一次函数中，令，得， ，则， ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，掌握利用函数图象上的点求函数表达式，以及利用坐标求三角形面积的方法是解题的关键． 10．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知，与x成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，用待定系数法求函数的解析式，求代数式的值等． （1）设，，得到，把，；，代入得到方程组，求出方程组的解即可； （2）把代入解析式求出即可． 【详解】（1）解：与成正比例，与成反比例， 设，， ， ， 把，；，代入， 得：， 解得：， ， 答：与的函数关系式是； （2）解：当时，． 11．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知点关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则实数k的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，根据对称的性质求出的坐标是解题关键．根据对称性求出点的坐标，将点的坐标代入反比例函数解析式中即可求出结论． 【详解】解：∵与关于y轴对称， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， 故选：B． 12．（11-12九年级上·河北·期末）已知一次函数和反比例函数都经过点，则一次函数的表达式为 ，反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的表达式，待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将代入，即可求得，然后将代入即可求得． 【详解】解：已知一次函数和反比例函数都经过点， ， ， 反比例函数为，一次函数， 将代入，得到， ， 一次函数为：， 故答案为：，． 13．（13-14九年级上·河北·期末）已知与成反比例，当时，，那么，当时，的值等于（   ） A． B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例定义，熟记反比例定义是解决问题的关键． 由与成反比例，设，根据当时，，求出值，再令求解即可得到答案． 【详解】解：与成反比例， 设， 当时，，则， ， 当时，， 故选：A． 14．（2025·云南·模拟预测）若反比例函数的图象经过点和点，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数图象上点的特征，先由待定系数法求得，再把点代入反比例函数解析式即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 把代入得：， 故答案为：． 15．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）若反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键． 利用待定系数法即可求出的值，可得答案． 【详解】解：将代入解析式中得， ， 即， 故答案为：． 16．（11-12八年级下·天津·阶段练习）已知与x成正比例（比例系数为），与x成反比例（比例系数为），若函数的图象经过点，，则y和x之间的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查利用一次函数和反比例函数的待定系数法求解析式，以及解二元一次方程组，根据题意设，，则，再代入点、，然后解方程组，即可作答． 【详解】解：设，， ∴， ∵函数的图像经过点、， ∴， 解得：， ∴y与x的函数关系式为． 故答案为：． 题型三、一次函数与反比例函数综合 17．（2025九年级上·山东·专题练习）关于x的函数和在同一坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数及反比例函数的图象与系数的关系，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数：当时，图象在第一、三象限；当时，图象在第二、四象限． 根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系依次分析各项即可． 【详解】A、从一次函数的图象知与反比例函数的图象一致，正确； B、从一次函数的图象从左向右上升知，而与y轴的负半轴相交知相矛盾，错误； C、从一次函数的图象从左向右上升知，而与y轴的负半轴相交知相矛盾，错误； D、因为，所以一次函数的图象不过原点，错误； 故选． 18．（2024·安徽·模拟预测）若，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据及一次函数与反比例函数图象的特点，可以从和两方面分类讨论得出答案． 【详解】解：当时，，此时一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数图象分布在第二、四象限，与选项C中图象一致． 当时，，此时一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数图象分布在第一、三象限，与题目选项中的图象均不一致． 故选：C． 19．（2025·四川·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)或． 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数关系式是解决问题的为前提 （1）先利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据图象直接得出答案； （3）先求出，再根据面积关系求出，进而确定点P的坐标． 【详解】（1）解：，两点都在反比例函数的图象上， ． ． 反比例函数的解析式为，． ，两点都在一次函数的图象上， 解得 一次函数的解析式为． （2）解：由图可知，当或时，不等式． （3）解：存在． 如图，过点B作轴，垂足为D． ，， ，． ，． ． ， ． 设点P的横坐标为，则． ． 或． 当点P在上，则或． 点P的坐标为或． 20．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点B，D为x轴正半轴上一点，过点D作轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C，B为的中点，连接． (1)若，求k的值； (2)若点B在反比例函数的图象上运动，试判断的面积是否发生变化，并说明理由． 【答案】(1) (2)的面积不发生变化．理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，熟练利用题中的关系表示出各点坐标是解题的关键． （1）先求得点坐标，再用待定系数法即可解答； （2）设点，再表示出两点坐标，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：设点B的坐标为， 为的中点，轴， ∴点C的坐标为，点A的坐标为． ， ，解得． 经检验，是分式方程的解， 点B的坐标为， 代入，解得． （2）解：的面积不发生变化．理由如下： 设点B的坐标为 为的中点，轴， ∴点C的坐标为，点A的坐标为． ∴，点B到的距离为a， 的面积， 的面积不发生变化． 21．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接BD，CD，求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)4 【分析】（1）根据两个函数都过点，利用待定系数法，即可确定、，从而得到函数表达式； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点、的坐标，用待定系数法求出直线的表达式，利用三角形面积的割补法，将的面积转化为与的面积差，结合三角形面积公式计算出结果． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ， ， 一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． （2）解：一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， ， 点是反比例函数图象上一点， ， 设直线的表达式为， 可得， 解得， 直线的表达式为， 延长DB交y轴于点E， 当时，， ， ， ． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，掌握待定系数法求一次函数和反比例函数的表达式、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数与坐标轴的交点坐标求法、三角形面积的割补法计算是解题的关键． 22．（12-13九年级上·河北·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为．过点和的直线分别与，交于点M，N． (1)求直线的解析式和点M的坐标； (2)若反比例函数的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上； 【答案】(1)； (2)；在 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，正确求得函数解析式是关键． （1）利用待定系数法即可求得直线的解析式，然后根据M的纵坐标是2，即可求得M的坐标； （2）利用点M求得反比例函数的解析式，根据一次函数求得点N的坐标，再代入反比例函数的解析式判断是否成立即可． 【详解】（1）解∶设直线的解析式为， 点D，E的坐标为、， 解得 直线的解析式为． 点M在边上，，四边形是矩形 点M的纵坐标为4． 点M在直线上， 解得； ． （2）解：反比例函数的图象经过点M， ，解得． 反比例函数． 点N在边上，， 点N的横坐标为8． 点N在直线上， ． ． 当时，， N在反比例函数的图象上． 23．（13-14九年级上·河北·期末）如果反比例函数与一次函数的图像的一个交点为． (1) ， (2)求直线与双曲线的另一个交点Q的坐标和的面积． 【答案】(1)3，； (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用解方程组求得交点坐标是解答此题的关键． （1）首先将点P代入一次函数的解析式解得m，在将点P的坐标代入反比例函数解析式可解得k； （2）利用（1）的结论可得反比例函数的解析式，与一次函数的解析式组成方程组解得x，y可得点Q的坐标，利用三角形的面积公式可得和的面积，即可求得的面积． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点为， 将代入一次函数可得，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3，； （2）由（1）知反比例函数的解析式为：， 解方程组， 解得：或， ∵点P的坐标为， ∴点Q的坐标为， ∵直线与x轴的交点为， 点P的坐标为，点Q的坐标为 ∴底边的长为，高为3， 底边的长为，高为2， ∴的面积为， 的面积为， ∴的面积为． 故答案为：． 24．（2024·湖北·三模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴和y轴分别交于点和点C． (1)填空： ______， ______， ______ (2)直接写出不等式的解集为________； (3)连接，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中可求出m的值，把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中可求出a、b的值； （2）根据（1）所求可得两函数解析式，联立两函数解析式可求出两函数的另一个交点坐标，再结合函数图象可得答案； （3）根据一次函数解析式求出点C坐标，进而求出的面积，则可得到的面积，根据三角形面积计算公式可求出点P的纵坐标，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴； ∵一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴交于点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，不等式的解集为或； （3）解：在中，当时，， ∴， ∵， ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或． 题型四、反比例函数K的几何意义 25．（2024九年级下·广东·专题练习）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可求解． 【详解】解：延长交轴于点， 轴， 轴． 点在函数的图象上， ． 轴于点，轴，点在函数的图象上， ， 四边形的面积等于， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键． 26．（2026九年级·河北·专题练习）求指定图形的面积． （1）图1中， ， ， ； （2）图2中， ， ， ， ； （3）图3中， ， ． 【答案】 4 2 4 6 1 3 2 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据反比例函数求出点、点的坐标， 即可求得平行四边形的边长，由图可知平行四边形的高为，根据平行四边形面积公式即可求得平行四边形的面积，根据三角形面积公式即可求得，求得长即可求得三角形面积； （2）根据反比例函数可得点、点的坐标，根据垂直即可得到点、点的坐标，得到四个点坐标后即可得到各边长，即可求得矩形、的面积； （3）根据两个反比例函数的值，结合三角形面积与的几何意义，分别计算和的面积． 【详解】解：（1）设点横坐标为，则，，，，， 由点的坐标可得：，，， ， ， ． （2）由反比例函数性质，矩形的面积为， ， ， ． （3）：由， ； ． 故答案为：4，2，4，6，1，3，2，，． 27．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，点P在上，轴于点A，交于点B，连接OB，OP，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，理解并掌握系数k的几何意义是解决本题的关键． 根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵轴于点A，交于点B， ∴， ∴ ． 故选A． 28．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在轴的正半轴依次截取，过点，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，，，根据题意可得，又，则有，，，，从而可得，正确作出辅助线，利用反比例函数系数的几何意义求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于轴， ∴， ∵， ∴，，， ， ∴， 故答案为：． 29．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数（）的图象上，延长交y轴于点C，过点A作轴于点D，连接并延长，交x轴于点E，连接．若，的面积是，则k的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了根据图形面积求比例系数，作，可推出，设，则，可得；根据，推出；即可求解； 【详解】解：作，如图所示： 由题意得：， ∵， ∴， ∵ ∴， 设，则， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵点A，B都在反比例函数（）的图象上， ∴，则，； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴，即； ∴， ∴； ∴， 故答案为： 30．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点， （1）若点为的中点，则 ． （2）若，且的面积是12，则的值为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、矩形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键． （1）设，先求出，再求出，反比例函数的解析式为，然后求出，则，由此即可得； （2）设，先求出，，再求出，反比例函数的解析式为，然后求出，则，，最后根据可得的值，由此即可得． 【详解】解：（1）设， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点的纵坐标为， ∵点为的中点， ∴， ∴， 将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴点的纵坐标为， ∵，， ∴，， ∴， 将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数得：， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是12， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：5． 31．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，双曲线经过斜边上的中点，且与交于点，若，则的值为 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质、中点的性质、三角形面积公式是解题的关键． 设，根据A是的中点，可得，再根据，点D在双曲线上，可得，根据三角形面积公式列式求出k的值即可． 【详解】解：设， ∵A是的中点， ∴， ∵，点D在双曲线上， ∴ ∴， ∵ ∴ 故答案为：4． 32．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的直角边在x轴上，分别与反比例函数（）的图象相交于点C、D，且C为的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接．若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用三角形中位线定理解题． 通过设点坐标，结合反比例函数性质和三角形面积公式来逐步推导． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 设点的坐标为， 是的中点， ， ，点的横坐标与点相同，为， 将代入，可得点的纵坐标为， 点的坐标为， 轴，垂直于轴方向， 在中，（底，的长度为点的纵坐标（高， 根据三角形面积公式底高，可得： ， ， ， 故选：C． 题型五、反比例函数应用 33．（25-26九年级上·河北·阶段练习）为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 【答案】(1)， (2)本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟 (3)从消毒开始，至少需要学生才能回到教室 【分析】（1）由“药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为”可得，； （2）分别设y与x的正比例函数、反比例函数关系式，把点代入后求出关系式，再把代入关系式分别解出x的值相减即可； （3）空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室，把代入中，解出x的值即可； 本题主要考查了一次函数与反比例的图象和性质，待定系数法求解函数关系式，已知函数值求自变量的值等，熟练掌握一次函数与反比例的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，． （2）∵消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间x成正比例函数关系， ∴设， 把点代入中，得，解得， ∴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为， ∵当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效， 药物燃烧时，当时，， ∴药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效； ∵药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系， ∴设反比例函数式为， 把点代入中，得， ∴反比例函数式为， 药物燃烧完成后，当时，， ∴（）， ∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟． （3）∵空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室， 把代入中，解得， 即从消毒开始，至少需要学生才能回到教室． 34．（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)， (2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 (3)有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入求出x的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． 35．（21-22九年级上·陕西汉中·期末）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校教室进行药物喷洒消毒，她完成一间教室的药物喷洒需要5．消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，假设校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能否安全进入教室？请通过计算说明． 【答案】能，理由见解析 【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象性质：对于，当时，，求出；设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入求出k；在反比例函数中，令，求出y与1进行比较即可． 【详解】解：能安全进入教室，理由如下： 一间教室的药物喷洒时间为5， 当时，，故点， 设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入上式并解得， 故反比例函数表达式为， ， 当时，， 故校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能安全进入教室． 36．（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【答案】(1)32，10 (2)y= (3)59.5 【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键． （1）速度=增加幅度×时间，得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为小时； （2）当时函数解析式为，将，代入，利用待定系数法即可求解； （3）求出当和，时，求出对应x的值，然后求差即可求解． 【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 37．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1)3 (2)深消毒阶段为线段的函数关系式；降消毒阶段为反比例函数解析式 (3)消毒有效 【分析】（1）根据图象信息直接解答即可 （2）设线段的函数关系式为，结合和，利用待定系数法解答即可．根据题意，得反比例函数经过点，设反比例函数的解析式为，确定解析式，后代入求值即可． （3）根据解析式为，，当时，； 当时，；确定循环时长，解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图象知，当10分钟时，效力为3， 故答案为：3． （2）解：当时， 设直线的函数关系式为，结合和，利用根据题意，得， 解得， 所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 持续时长为． 故本次消毒有效． 38．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求恒温系统关闭阶段的温度y与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求正比例函数和反比例函数解析式，已知函数值求自变量值，有理数加减法等． （1）设直线的函数解析式为：，代入这个坐标，即可得到，再代入继而得到本题答案； （2）设关闭阶段的函数解析式为：，把代入得到即可得答案； （3）先求出当时，，再求出当时，，继而求出气温低于的总时间为：，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：，根据题意， 可得方程， ， 直线， 当时，， ∴恒定温度为：； （2）解：由（1）可知： 设关闭阶段的函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：； （3）解：当时，， ， 当时，， ， 在20时～24时4小时之间是气温是低于的， 气温低于的总时间为：， 气温高于的适宜温度是：． 39．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线，的交点与坐标原点O重合，与x轴交于点E，反比例函数（，）的图象经过点D．若点，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】作轴于M，轴于N，根据菱形的性质，得出A与与D关于原点对称，从而求得A的坐标，设，通过证得可得，根据菱形的性质证得，利用求得n的值，得到B的坐标，进而求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值． 【详解】解：如图，作轴于M，轴于N， ∵菱形的对角线，的交点与坐标原点O重合， 与与D关于原点对称， ∵点， ， ，， ， ， ， 设， ， ， ，即， ， ， ∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ，， ， ， ∵反比例函数（，）的图象经过点D， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，反比例函数的性质，三角形的全等，三角函数的性质，熟练掌握菱形的对称性和性质，三角函数的基本性质是解题的关键． 40．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是(　　) A．或 B．或 C．且 D．或 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论．当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：B． 41．（2024·河南周口·模拟预测）如图， 已知 A、B是反比例函数 图象上的两点，轴， 交y轴于点 C． 动点P从坐标原点O出发， 沿(图中“→”所示路线)匀速运动， 终点为C． 过P作轴， 轴， 垂足分别为M、N． 设四边形 的面积为S，P点运动时间为 t，则S关于t的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质，三角函数的应用，分类解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 【详解】解： 设, ①当点 P在上运动时， ， ， 固定， 因此S是以y轴为对称轴的二次函数，开口向上； ②当点 P在上运动时， 设 P 点坐标为， 则， 为定值， 故 B、D 选项错误； ③当点 P在上运动时，S随t的增大而逐渐减小，故C选项错误． 故选：A． 42．（2023·浙江·二模）如图，点是反比例函数上的点，过作轴，连接交于点，若，且的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，过点作轴于点，先确定的坐标关系，利用面积为求出． 【详解】解：过点作轴于点， 轴，轴， ， ， ，则， 点是反比例函数上的点， 设， ，则， 将代入得：， 解得：， ， 的面积为， ，即， 解得：． 故答案为：． 43．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线上，若图中，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形的性质及反比例函数系数的几何意义，求得是解题的关键．先根据和均为正三角形可知，故可得出，所以，故，过点作于点，由反比例函数系数的几何意义即可得出结论． 【详解】解：如图： 和均为正三角形， ， ， ， ， 过点作于点，则， 点在反比例函数的图象上， ， ， 故选：A． 44．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为，反比例函数（）的图象经过点B与点D，点B的纵坐标为3． （1）k的值为 ； （2）E为该反比例函数图象上的一点，若的面积等于正方形的面积，则点E的坐标为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质． （1）依据题意，分别过B、D作轴于E，轴于F，进而可得（），故，，又点B的纵坐标为3，且B在反比例函数上，则，，从而，结合D在反比例函数上， 从而计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）可得，，反比例函数为，则，又，则，则，又设E为，则，进而计算可以得解． 【详解】解：（1）如图，分别过B、D作轴于E，轴于F， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∴． ∵，， ∴（）． ∴，． ∵点B的纵坐标为3，且B在反比例函数上， ∴，． 又∵A为， ∴，， ∴． 又∵D在反比例函数上， ∴， ∴． 故答案为：； （2）由题意，结合（1）可得，，反比例函数为， ∴． 又∵， ∴． ∴． 设E为， ∴， ∴， ∴或． 故答案为：或． 45．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数分别与轴，轴交于，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据函数与不等式的关系，由图像求解即可； （3）设点，由题意求得，，根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）由点在反比例函数的图像上， ， 反比例函数解析式为， ， 将，代入一次函数， ，解得， 所以一次函数． （2），即， 则一次函数图像在反比例函数图像下方， 所以解集为或． （3）在一次函数中， 当时，；当时，， ， ， ， 设点， ，解得， 所以点的坐标为． 46．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，且过点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)如果点Q是x轴上的一点，且的面积是3，求点Q的坐标； (3)若P在x轴上一点，求取最小值时P点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)点Q的坐标为或 (3)P点的坐标为 【分析】本题考查一次函数，反比例函数，对称求最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）反比例函数的图象交于点，代入得反比例函数解析式，再代入，求出坐标后，将代入一次函数解析式即可求解； （2）作轴交于，设，则，分类讨论在之间时，在左侧时，在B右侧时，根据的面积是3列方程求解即可． （3）作关于轴对称点，连接交轴于，求出解析式，在求其与轴交点即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象交于点，代入得： ， ∴反比例函数的表达式为， 反比例函数的图象过点， ， ， ， 一次函数的图象过点和， ， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）解：作轴交于，设，则 当在之间时， ， ， ， ， ， 当在左侧时， ， ， ， （舍去）， 当在B右侧时， ， ， ， ， ， 综上所述，或； （3）解：作关于轴对称点，连接交轴于， 则， 设解析式为，代入，得： 解得：， 一次函数的表达式为， 令时，， 解得， ∴． 47．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）某草莓种植大棚基地研发种植一种巧克力奶油草莓的成本为每株4元，一共投入了160万元研发这种巧克力奶油草莓，在销售的过程中发现：每年的年销售量（万株）与销售价格（元/株）的关系如图所示，其中为一次函数图象的一部分，为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种巧克力奶油草莓的年利润为（万元）．（说明：若上一年亏损，则亏损计入下一年的成本，反之不计入） (1)请直接写出与之间的函数关系式． (2)求出第一年年利润的最大值． (3)根据基地巧克力奶油草莓第一年按恰好年利润取得最大值时进行销售，在第二年将这种巧克力奶油草莓每株销售价格定在8元以上，当第二年的年利润不低于103万元时，直接写出销售价格的取值范围． 【答案】(1) (2)万元 (3) 【分析】（1）分及两种情况，分别用待定系数法即可求解； （2）分及两种情况，求出各自范围内利润的最大值，再进行比较即可确定利润的最大值； （3）列出w关于n的二次函数关系式，再令年利润等于103，解一元二次方程并结合图像性质即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，反比例函数图象过点， 设反比例函数解析式为， 把点代入反比例函数解析式中，得：， 解得：， ∴当时，反比例函数解析式为：； 当时，线段过点，， 设线段的解析式为， 则，解得：， ∴当时，线段的解析式为， 综上，与之间的函数关系式为； （2）解：当时， ， 当时，取得最大值为； 当时，， 整理得：， 当时，取得最大值为； 而， 最大利润为万元， 即第一年年利润的最大值万元； （3）解：第一年的年利润为万元应作为第二年的成本， 又∵， ∴第二年的年利润， 令，则， 解得：， 由于二次函数的图象开口向下，如图， ∴当时，， ∴当时，第二年的年利润不低于103万元． 【点睛】本题考查的是经济利润问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数与反比例函数的图象与性质，解一元二次方程等知识，属于中考常考题型，需要熟练掌握经济利润问题的相关公式． 48．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图1，一次函数的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点 (1)填空：______，______； (2)点C是线段上一点不与A，B重合，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接，当四边形的面积等于20时，求点C的坐标； (3)在(2)的条件下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，当以、F、Q为顶点的四边形是菱形时，求点的坐标． 【答案】(1)，12 (2) (3)点的坐标为或或 【分析】本题为四边形综合题，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、矩形的性质等，有一定的综合性，难度适中． （1）待定系数法求解析式即可； （2）设点C的横坐标为n，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，则点，点，根据四边形的面积等于20列方程，求解即可； （3）根据平移的性质，先求出直线的解析式，表示出，，F的坐标，可得，以，、F、Q为顶点的四边形是菱形，分情况讨论：当，为边时，当、为边时，当、为边时，分别列方程，求解即可． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， 得， 解得， 将点代入反比例函数， 得， 故答案为：，12； （2）设点C的横坐标为n，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D， 点，点， 轴，， 四边形OCAD的面积， 解得或不合题意舍去， ； （3）∵点， 设直线OC的解析式：， 代入点， 得， 解得， 直线OC的解析式：， 根据平移，可得， 设直线的表达式为， 直线的解析式为， 设平移后的点为，则点， 将点坐标代入， 得， 解得， 直线的表达式为：， 当时，， 点， ， 以、、F、Q为顶点的四边形是菱形，分情况讨论： 当，为边时，， 解得或舍去， 点， 当、为边时，， 解得， 点； 当、为边时，， 解得舍或， 点， 综上，点的坐标为或或 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7 反比例函数 目录 A题型建模・专项突破 题型一、反比例函数概念和性质 1 题型二、求反比例函数解析式 3 题型三、一次函数与反比例函数综合 6 题型四、反比例函数K的几何意义 8 题型五、反比例函数应用 10 B 综合攻坚・能力跃升 12 题型一、反比例函数概念和性质 1．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）下列四个关系中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南·期中）下列各函数：；；；； ；；；；中，是关于的反比例函数的是 填所有正确的序号． 3．（2024·广东广州·模拟预测）已知：． (1)化简； (2)若函数为反比例函数，求的值． 4．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知函数是关于x的反比例函数，求这个反比例函数的表达式． 5．（25-26九年级上·湖南常德·阶段练习）对于反比例函数，下列说法不正确的是（　　） A．这个函数的图象分布在第一、三象限 B．点在这个函数图象上 C．若图象上有两点，且，则 D．当时，随的增大而减小 6．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知点是反比例函数图象上的两点，若，则有（  ） A． B． C． D． 7．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，这是反比例函数 的图象，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为(    ) A． B． C． D． 题型二、求反比例函数解析式 9．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，直线分别交x轴、y轴于A，B两点． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)求的面积． 10．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知，与x成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求y的值． 11．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知点关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则实数k的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 12．（11-12九年级上·河北·期末）已知一次函数和反比例函数都经过点，则一次函数的表达式为 ，反比例函数的表达式为 ． 13．（13-14九年级上·河北·期末）已知与成反比例，当时，，那么，当时，的值等于（   ） A． B．4 C．3 D． 14．（2025·云南·模拟预测）若反比例函数的图象经过点和点，则m的值为 ． 15．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）若反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式是 ． 16．（11-12八年级下·天津·阶段练习）已知与x成正比例（比例系数为），与x成反比例（比例系数为），若函数的图象经过点，，则y和x之间的函数解析式为 ． 题型三、一次函数与反比例函数综合 17．（2025九年级上·山东·专题练习）关于x的函数和在同一坐标系中的图象大致是（ ） A．B．C． D． 18．（2024·安徽·模拟预测）若，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（  ） A． B． C． D． 19．（2025·四川·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点B，D为x轴正半轴上一点，过点D作轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C，B为的中点，连接． (1)若，求k的值； (2)若点B在反比例函数的图象上运动，试判断的面积是否发生变化，并说明理由． 21．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接BD，CD，求的面积． 22．（12-13九年级上·河北·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为．过点和的直线分别与，交于点M，N． (1)求直线的解析式和点M的坐标； (2)若反比例函数的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上； 23．（13-14九年级上·河北·期末）如果反比例函数与一次函数的图像的一个交点为． (1) ， (2)求直线与双曲线的另一个交点Q的坐标和的面积． 24．（2024·湖北·三模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴和y轴分别交于点和点C． (1)填空： ______， ______， ______ (2)直接写出不等式的解集为________； (3)连接，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 题型四、反比例函数K的几何意义 25．（2024九年级下·广东·专题练习）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 26．（2026九年级·河北·专题练习）求指定图形的面积． （1）图1中， ， ， ； （2）图2中， ， ， ， ； （3）图3中， ， ． 27．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，点P在上，轴于点A，交于点B，连接OB，OP，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 28．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在轴的正半轴依次截取，过点，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为 ． 29．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数（）的图象上，延长交y轴于点C，过点A作轴于点D，连接并延长，交x轴于点E，连接．若，的面积是，则k的值为 ． 30．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点， （1）若点为的中点，则 ． （2）若，且的面积是12，则的值为 ． 31．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，双曲线经过斜边上的中点，且与交于点，若，则的值为 32．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的直角边在x轴上，分别与反比例函数（）的图象相交于点C、D，且C为的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接．若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．6 题型五、反比例函数应用 33．（25-26九年级上·河北·阶段练习）为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 34．（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 35．（21-22九年级上·陕西汉中·期末）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校教室进行药物喷洒消毒，她完成一间教室的药物喷洒需要5．消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，假设校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能否安全进入教室？请通过计算说明． 36．（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 37．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 38．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求恒温系统关闭阶段的温度y与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 39．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线，的交点与坐标原点O重合，与x轴交于点E，反比例函数（，）的图象经过点D．若点，，则k的值为 ． 40．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是(　　) A．或 B．或 C．且 D．或 41．（2024·河南周口·模拟预测）如图， 已知 A、B是反比例函数 图象上的两点，轴， 交y轴于点 C． 动点P从坐标原点O出发， 沿(图中“→”所示路线)匀速运动， 终点为C． 过P作轴， 轴， 垂足分别为M、N． 设四边形 的面积为S，P点运动时间为 t，则S关于t的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 42．（2023·浙江·二模）如图，点是反比例函数上的点，过作轴，连接交于点，若，且的面积为，则的值为 ． 43．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线上，若图中，则的值为（   ） A． B． C． D． 44．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为，反比例函数（）的图象经过点B与点D，点B的纵坐标为3． （1）k的值为 ； （2）E为该反比例函数图象上的一点，若的面积等于正方形的面积，则点E的坐标为 ． 45．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数分别与轴，轴交于，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 46．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，且过点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)如果点Q是x轴上的一点，且的面积是3，求点Q的坐标； (3)若P在x轴上一点，求取最小值时P点的坐标． 47．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）某草莓种植大棚基地研发种植一种巧克力奶油草莓的成本为每株4元，一共投入了160万元研发这种巧克力奶油草莓，在销售的过程中发现：每年的年销售量（万株）与销售价格（元/株）的关系如图所示，其中为一次函数图象的一部分，为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种巧克力奶油草莓的年利润为（万元）．（说明：若上一年亏损，则亏损计入下一年的成本，反之不计入） (1)请直接写出与之间的函数关系式． (2)求出第一年年利润的最大值． (3)根据基地巧克力奶油草莓第一年按恰好年利润取得最大值时进行销售，在第二年将这种巧克力奶油草莓每株销售价格定在8元以上，当第二年的年利润不低于103万元时，直接写出销售价格的取值范围． 48．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图1，一次函数的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点 (1)填空：______，______； (2)点C是线段上一点不与A，B重合，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接，当四边形的面积等于20时，求点C的坐标； (3)在(2)的条件下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，当以、F、Q为顶点的四边形是菱形时，求点的坐标． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $