专题15 抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性的应用（七类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题15 抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性的应用 （八类重难点题型） 目录 典例详解 类型一、抽象函数的定义域求解 类型二、抽象函数的函数值求解 类型三、抽象函数的值域（最值）求解 类型四、抽象函数的解析式求解 类型五、抽象函数单调性的应用 类型六、抽象函数奇偶性的应用 类型七、抽象函数比较大小 类型八、抽象函数解不等式 压轴专练 类型一、抽象函数的定义域求解 抽象函数定义域的类型： （1）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则中，解得的取值范围即为的定义域． （2）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则由确定的范围，即为的定义域． （3）已知的定义域，求的定义域：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域． 【技巧方法】 求抽象函数的定义域，要明确定义域指的是的取值范围，同一个下括号内的范围是一样的。 注意：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集． 例1．已知函数的定义域是，则的定义域为（  ） A． B． C． D． 变式1-1．已知函数的定义域是，则的定义域是（  ） A． B． C． D． 变式1-2．函数的定义域为，函数，则的定义域为（  ） A． B． C． D． 变式1-3．若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 类型二、抽象函数的函数值求解 以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值，常用赋值法来解决． 常见的赋值情况：（1）第一层次赋值：常常令字母取等；（2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取；第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和或积（较多）或者差或商（较少）． 例2．若函数的定义域为，且，，则（  ） A． B． C． D． 变式2-1．已知函数满足，则（  ） A． B． C． D． 变式2-2．已知函数满足，则下列结论中正确的是（  ） A． B． C． D． 变式2-3．已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 变式2-4．已知函数对，都有且. (1)求证：； (2)求的值. 类型三、抽象函数的值域（最值）求解 抽象函数的值域求解通常需要灵活运用多种方法．可以利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质来推断值域；通过赋值法代入特殊值或参数简化问题；借助数形结合法直观观察函数图像的特征；或者利用不等式、导数等工具研究函数的极值和最值．此外，还可以通过构造具体函数模型、分离常数、整体代换等技巧来求解值域． 【技巧方法】 （1）首先根据全称量词的含义透彻地理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围． 例3．已知函数是定义在上的图象连续不间断的奇函数，且，若，则的值域是（  ） A． B． C． D． 变式3-1．已知函数的定义域为R，且，则函数的最大值为__________ A． B．1 C．2 D．3 变式3-2．已知函数的值域为，则函数的值域为 . 变式3-3．已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为__________ 类型四、抽象函数的解析式求解 【技巧方法】 ①换元法：用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出f(x) ． ②凑合法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求； ③待定系数法：已知函数类型, 设定函数关系式, 再由已知条件，求出出关系式中的未知系数． ④利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式． ⑤赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出 的表达式． ⑥方程组法：一般等号左边有两个抽象函数(如)，将左边的两个抽象函数看成两个变量，变换变量构造一个方程，与原方程组成一个方程组，利用消元法求的解析式． 例4．设是定义在上的函数，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为 ． 变式4-1．已知定义在上的函数满足，，，，不等式的解集为 ． 变式4-2．(多选)已知函数满足，则（  ） A． B． C． D． 变式4-3．已知是定义在上的单调函数，且，，则 ． 变式4-4．（1）已知定义在R上的函数满足，求的解析式． （2）若满足关系式，求的解析式． （3）已知定义在R上的奇函数与偶函数满足关系式，求与的解析式． 类型五、抽象函数单调性的应用 判断抽象函数单调性的方法：利用函数单调性的定义判别。 【技巧方法】 （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论． （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试． ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或 例5．定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（  ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 变式5-1．已知集合，定义在上的函数满足：，，当时，，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 变式5-2．已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（  ） A．是偶函数 B． C． D．在上单调递增 变式5-3．函数的定义域为，且对一切都有，当时，有． (1)求的值； (2)判断的单调性并证明； 变式5-4．已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 类型六、抽象函数奇偶性的应用 判断抽象函数奇偶性的关键是得到和的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留和的关系． 注意：证明抽象函数奇偶性的实质是赋值，分析出赋值的规律． 【技巧方法】 （1）可赋值，得到一些特殊点的函数值，如，等； （2）尝试适当的换元字母，构造出和，如可令，可令等； （3）通过各类抽象函数的式子来积累一定的赋值技巧． 例6．已知函数的定义域为，，则（  ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 变式6-1．已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（  ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 变式6-2．（多选）已知函数对任意恒有，且，则（  ） A． B．可能是偶函数 C． D．可能是奇函数 变式6-3．（多选）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（  ） A． B． C．为上的减函数 D．为奇函数 类型七、抽象函数比较大小 抽象函数比较大小问题的思路总结： （1）首先考虑函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，通过这些性质来判断函数值的大小关系． （2）对于含参数的抽象函数，可以通过合理赋值参数，简化问题，从而比较大小． （3）绘制函数图像，通过观察图像的走势、交点等特征，直观地判断函数值的大小关系． （4）构造具体的函数模型，类比抽象函数的性质，通过具体函数的性质来推断抽象函数的大小关系． （5）利用基本不等式或导数研究函数的极值和最值，从而确定函数值的大小关系． 【技巧方法】 例7．已知定义在上的函数满足，且当时，，设，，则（  ） A． B． C． D． 变式7-1．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（  ） A． B． C． D． 变式7-2．函数的定义域为，且，若，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 变式7-3．定义在R上的函数在上是增函数，且对任意恒成立，则（  ） A． B． C． D． 类型八、抽象函数解不等式 利用单调性解不等式的相关结论： （1）正向结论：若在给定区间上单调递增，则当，且时，；当，且时，． （2）逆向结论：若在给定区间上单调递增，，则当时，；当时，． 当在给定区间上单调递减时，也有相应的结论． 抽象函数解不等式的关键是利用奇偶性、对称性、周期性将变量转化到同一单调区间内进行求解． 例8．已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 变式8-1．已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 变式8-2．已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 变式8-3．已知函数对任意实数，，都有成立，且当时，. (1)证明：对任意实数，，； (2)求证：是上的增函数； (3)若命题，为假命题，求实数的取值范围. 1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 2.设函数是偶函数，则下列直线中，一定是函数图象的对称轴的是（  ） A． B． C． D． 3.已知函数满足，若，则（  ） A．25 B．125 C．625 D．15625 4.已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（  ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 5.已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则下列说法错误的是（  ） A． B． C．函数为减函数 D．函数的图象关于点对称 6.（多选）已知函数的定义域为，且，若对，都有，则（  ） A． B． C．函数为奇函数 D．函数为增函数 7.（多选）已知函数的定义域为，，且当时，；当时，单调递增，则（  ） A． B． C．是奇函数 D． 8.（多选）已知定义域为的函数满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的是（  ） A．3 B． C．为奇函数 D．在区间是单调递增函数 9.定义在上的两个函数和，已知，.若图象关于点对称，则 . 10.已知定义在R上的函数满足以下三个条件： ①对于任意的x∈R，都有； ②函数的图象关于直线对称； ③对于任意的，且．则，，的大小顺序是 ．（用“”连接） 11.已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 12.已知函数为定义在上的函数满足以下两个条件： （1）对于任意的实数x，y恒有； （2）在上单调递减. 请写出满足条件的一个 . 13.已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 14.已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性的应用 （八类重难点题型） 目录 典例详解 类型一、抽象函数的定义域求解 类型二、抽象函数的函数值求解 类型三、抽象函数的值域（最值）求解 类型四、抽象函数的解析式求解 类型五、抽象函数单调性的应用 类型六、抽象函数奇偶性的应用 类型七、抽象函数比较大小 类型八、抽象函数解不等式 压轴专练 类型一、抽象函数的定义域求解 抽象函数定义域的类型： （1）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则中，解得的取值范围即为的定义域． （2）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则由确定的范围，即为的定义域． （3）已知的定义域，求的定义域：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域． 【技巧方法】 求抽象函数的定义域，要明确定义域指的是的取值范围，同一个下括号内的范围是一样的。 注意：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集． 例1．已知函数的定义域是，则的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的定义域可得，对于可得，运算求解即可. 【解析】因为函数的定义域是，即，则； 对于函数，可知，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 变式1-1．已知函数的定义域是，则的定义域是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数定义域之间的关系进行求解即可． 【解析】因为函数的定义域是，所以， 所以的定义域为，又因为，即，所以， 所以函数的定义域为. 故选：A. 变式1-2．函数的定义域为，函数，则的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数定义域之间的关系进行求解即可． 【解析】由于的定义域为，故， 因此的定义域满足，解得且， 故定义域为， 故选：C 变式1-3．若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法求出的定义域，和的解集，即可求解. 【解析】由题意得函数的定义域是， 令，所以，即，解得， 由，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 类型二、抽象函数的函数值求解 以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值，常用赋值法来解决． 常见的赋值情况：（1）第一层次赋值：常常令字母取等；（2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取；第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和或积（较多）或者差或商（较少）． 例2．若函数的定义域为，且，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可求出的值，令可求出的值，令可求出的值. 【解析】令，可得，故， 令可得，即，解得， 令可得，即，解得. 故选：D. 变式2-1．已知函数满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分别令、和，运算求解即可. 【解析】因为， 令，可得； 令，可得； 两式相加可得， 令，可得； 则，即. 故选：D. 变式2-2．已知函数满足，则下列结论中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用赋值法对进行合理取值，即可得出选项中各函数值，得出结论. 【解析】令得； 令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令4得. 综上只有正确. 故选：A 变式2-3．已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用赋值法对进行合理取值，即可得出选项中各函数值，得出结论. 【解析】令可得，即，解得， 令，可得，则， 令，可得，则， 令，可得，可得， 因此，. 故选：C. 变式2-4．已知函数对，都有且. (1)求证：； (2)求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）取都为时，代入题中关系式即可证明； （2）令，分析可得，进而可求，令，分析可得，整理得，即可得结果. 【解析】（1）因为， 取都为时，所以. （2）令，则，可得或， 当时，令，则，即与矛盾， 所以， 因为， 令，则，可得， 令，则， 即， 即， 可得， 用代可得， 可得，即， 所以 类型三、抽象函数的值域（最值）求解 抽象函数的值域求解通常需要灵活运用多种方法．可以利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质来推断值域；通过赋值法代入特殊值或参数简化问题；借助数形结合法直观观察函数图像的特征；或者利用不等式、导数等工具研究函数的极值和最值．此外，还可以通过构造具体函数模型、分离常数、整体代换等技巧来求解值域． 【技巧方法】 （1）首先根据全称量词的含义透彻地理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围． 例3．已知函数是定义在上的图象连续不间断的奇函数，且，若，则的值域是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的性质即可求解 【解析】因为，可知， 又因为为奇函数，且连续不断，则，则， 且，可知， 由奇函数对称性可知：时，， 且，， 所以在定义域的值域为. 故选：B. 变式3-1．已知函数的定义域为R，且，则函数的最大值为__________ A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用置换求出进而研究最大值. 【解析】因为，将置换解得：， ， 设当时， 当时，， 又因为， 当时，取得最大值，，即函数最大值为， 故选：A. 变式3-2．已知函数的值域为，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用整体代换得的值域 【解析】函数的值域和函数的值域一样，都是. 故答案为： 变式3-3．已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为__________ 【答案】5 【分析】利用函数单调性的定义研究的单调性进而研究最大值. 【解析】令，则，令有， 又，所以， 令，所以，所以， 设，则，所以， 所以， 则，故在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为. 故答案为：5 类型四、抽象函数的解析式求解 【技巧方法】 ①换元法：用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出f(x) ． ②凑合法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求； ③待定系数法：已知函数类型, 设定函数关系式, 再由已知条件，求出出关系式中的未知系数． ④利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式． ⑤赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出 的表达式． ⑥方程组法：一般等号左边有两个抽象函数(如)，将左边的两个抽象函数看成两个变量，变换变量构造一个方程，与原方程组成一个方程组，利用消元法求的解析式． 例4．设是定义在上的函数，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】利用赋值法先求出解析式. 【解析】是定义在上的函数，且对任意恒成立， 令，得， 即． 故答案为： 变式4-1．已知定义在上的函数满足，，，，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用赋值法先求出解析式，再求解不等式可得答案. 【解析】令，得． 令，则，即，解得， 则不等式的解集为． 故答案为： 变式4-2．(多选)已知函数满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】结合已知条件，利用赋值法逐项判断. 【解析】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误． 故选：ABC 变式4-3．已知是定义在上的单调函数，且，，则 ． 【答案】14 【分析】由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则，又由，可得的解析式求. 【解析】，，是定义在上的单调函数， 则为定值，设，则， ，解得，得， 所以. 故答案为：14. 变式4-4．（1）已知定义在R上的函数满足，求的解析式． （2）若满足关系式，求的解析式． （3）已知定义在R上的奇函数与偶函数满足关系式，求与的解析式． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】(1)(2)分别利用用代替已知条件中的,用代替已知条件中的,建立方程组求解; (3)利用奇偶函数的性质建立方程组求解. 【解析】（1）用代替已知条件中的，得． 联立方程组，消去，得． （2）用代替已知条件中的，得． 联立方程组，消去，得． （3）用代替已知条件中的，得． 由是奇函数，是偶函数，得． 联立方程组，解得. 类型五、抽象函数单调性的应用 判断抽象函数单调性的方法：利用函数单调性的定义判别。 【技巧方法】 （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论． （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试． ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或 例5．定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（  ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 【答案】B 【分析】利用单调性的定义即可求证， 【解析】任取，令， 则， 因为，所以，所以， 所以在上单调递增. 故选：B. 变式5-1．已知集合，定义在上的函数满足：，，当时，，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用单调性的定义即可求证， 【解析】令，得，故， 令，得，故， 令，得，即， 令，则定义域为，且，故为偶函数. ，且， 则， ∵，∴， ∵时，，∴，故， ∴，即， ∴在上为增函数，在上为减函数， 由得，，即， ∴，解得且，故不等式的解集为. 故选：D. 变式5-2．已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（  ） A．是偶函数 B． C． D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】分别赋值可判断AB，令可判断C，利用定义判断单调性，再由奇偶性判断D. 【解析】令，再令，得（1）， 即，所以，故B正确； 令，得， 由（1）得，故A正确； 令， 即，故C不正确； 设，则， 则由的分析及题意可得， 即在上单调递减，又是偶函数， 在上单调递增，故D正确， 故选：ABD. 变式5-3．函数的定义域为，且对一切都有，当时，有． (1)求的值； (2)判断的单调性并证明； 【答案】(1)0；(2)在上是增函数，证明见解析 【分析】（1）由赋值法即可求解，（2）利用单调性的定义即可求证， 【解析】（1）． （2）在上是增函数． 证明：设，则由，得， 因为，所以． 所以，即， 即在上是增函数． 变式5-4．已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)在上单调递减，证明见解析；(3) 【分析】（1）由赋值法即可求解，（2）利用单调性的定义即可求证，（3）由函数的单调性，列不等式即可求解. 【解析】（1）令，得，解得； （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设， 所以 ， 又，所以，所以，所以， 即， 所以在上单调递减； （3）由（2）知在上单调递减， 若，即， 所以， 解得或，即的取值范围是． 类型六、抽象函数奇偶性的应用 判断抽象函数奇偶性的关键是得到和的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留和的关系． 注意：证明抽象函数奇偶性的实质是赋值，分析出赋值的规律． 【技巧方法】 （1）可赋值，得到一些特殊点的函数值，如，等； （2）尝试适当的换元字母，构造出和，如可令，可令等； （3）通过各类抽象函数的式子来积累一定的赋值技巧． 例6．已知函数的定义域为，，则（  ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【分析】对于A，令，可求出进行判断，对于B，令，可求出进行判断，对于CD，令，可求出，从而可求出，进而可判断其奇偶性. 【解析】对于A， 令，则，得， 所以或， 当时，不恒成立，所以，所以A错误， 对于B，令，则，得， 所以，或， 由选项A可知，所以，所以B错误， 对于CD，令，则，由选项A可知， 所以，所以， 令，则， 所以为奇函数，即为奇函数，所以C错误，D正确， 故选：D 变式6-1．已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（  ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【分析】由，利用赋值法求解. 【解析】因为， 所以令，可得， 令，则， 所以， 则既不是奇函数又不是偶函数， 且， 所以是奇函数. 故选：C 变式6-2．（多选）已知函数对任意恒有，且，则（  ） A． B．可能是偶函数 C． D．可能是奇函数 【答案】AB 【分析】根据条件，通过赋值法，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【解析】对于选项A，令，得，则，所以选项A正确； 令，得，则， 对于选项B，若是偶函数，则，所以选项B正确； 对于选项D，若是奇函数，则，所以不可能是奇函数，所以选项D错误； 对于选项C，令，得，所以选项C错误； 故选：AB. 变式6-3．（多选）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（  ） A． B． C．为上的减函数 D．为奇函数 【答案】ABD 【分析】由，利用赋值法求解. 【解析】依题意，且， 令，得，故A选项正确. 令，则，， 即，故B选项正确 由于，故C选项错误. 令，得， 即，即， 所以为奇函数，故D选项正确. 故选：ABD 类型七、抽象函数比较大小 抽象函数比较大小问题的思路总结： （1）首先考虑函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，通过这些性质来判断函数值的大小关系． （2）对于含参数的抽象函数，可以通过合理赋值参数，简化问题，从而比较大小． （3）绘制函数图像，通过观察图像的走势、交点等特征，直观地判断函数值的大小关系． （4）构造具体的函数模型，类比抽象函数的性质，通过具体函数的性质来推断抽象函数的大小关系． （5）利用基本不等式或导数研究函数的极值和最值，从而确定函数值的大小关系． 【技巧方法】 例7．已知定义在上的函数满足，且当时，，设，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的单调性，求解. 【解析】任取，，且，设，， 由，得， 即，所以， 所以在上为减函数， 即. 故选：C. 变式7-1．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由递推，求解. 【解析】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 变式7-2．函数的定义域为，且，若，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由递推，求解. 【解析】由，令，得， 即， 所以， 所以，AB选项错误. 由于， 所以， 上述式子相加可得， 而，所以，C选项正确. 由，令， 则，即， 所以. 令，得， 同理C选项的分析可知， 所以，D选项错误. 故选：C 变式7-3．定义在R上的函数在上是增函数，且对任意恒成立，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性和对称性求解即可. 【解析】因为对任意恒成立， 所以函数关于对称， 所以， 又因为函数在上是增函数， 所以， 所以. 故选：A 类型八、抽象函数解不等式 利用单调性解不等式的相关结论： （1）正向结论：若在给定区间上单调递增，则当，且时，；当，且时，． （2）逆向结论：若在给定区间上单调递增，，则当时，；当时，． 当在给定区间上单调递减时，也有相应的结论． 抽象函数解不等式的关键是利用奇偶性、对称性、周期性将变量转化到同一单调区间内进行求解． 例8．已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析；；(2)或 【分析】（1）利用赋值法，根据奇函数的定义来证明即可； （2）变形构造函数，通过赋值来研究新函数的单调性，结合新函数的奇偶性解不等式即可. 【解析】（1）证明：因为的定义域为，关于原点对称， 又对任意，都有， 令，得， 令，得， 令， 得， 是奇函数. （2）， ， ， 设，则，所以， 在上是减函数， 因为的定义域为， 又， 所以是偶函数， 因为， ，则，解得， 不等式的解集为或. 变式8-1．已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合已知利用函数的单调性化简不等式求解即可． 【解析】任取， 从而, 因为，所以， 所以，则在R上单调递增． 不等式等价于不等式，即． 因为在R上单调递增，所以，解得． 故选：A. 变式8-2．已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)为奇函数；(2)在上的单调递减，证明见解析；(3). 【分析】（1）通过特殊值以及函数的奇偶性的定义判断即可； （2）判断函数的单调性，利用单调性的定义证明即可； （3）结合已知利用函数的单调性化简不等式，分离参数，转化为最值求解即可． 【解析】（1）结合题意：由函数的定义域为,且， 取，则，即， 取，则，所以， 所以为奇函数. （2）在R上的单调递减，证明如下： 任取，且，则， 令，则， 因为为奇函数，所以， 因为当时，，所以， 即，所以在上的单调递减. （3）由，得， 因为，所以， 因为在上的单调递减，所以， 即时，恒成立， 等价于对任意时，恒成立， 令，则， 所以， 所以， 故实数的取值范围为. 变式8-3．已知函数对任意实数，，都有成立，且当时，. (1)证明：对任意实数，，； (2)求证：是上的增函数； (3)若命题，为假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【分析】（1）通过赋值法证明即可； （2）判断函数的单调性，利用单调性的定义证明即可； （3）结合已知利用函数的单调性化简不等式，求解即可． 【解析】（1）因为对任意实数，，， 所以，所以，在中， 令得，， 所以， 在中，用替换得，， 因为，所以， 所以，对任意实数，，成立. （2）任意取，，且，则，因为当时，，所以， 所以，即，所以是上的增函数. （3）命题，为假命题， 等价于，为真命题. 在中，令得，， 所以 由（2）的结论得，， 即， 令， 因为，成立，所以，所以， 所以实数的取值范围是. 1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法即可. 【解析】函数的定义域为， 则，则且， 则函数的定义域为. 故选：D 2.设函数是偶函数，则下列直线中，一定是函数图象的对称轴的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的性质及图像变换即得。 【解析】由是偶函数，得的图象关于轴对称， 而函数的图象可由的图象向右平移个单位得到， 所以函数的图象的对称轴是. 故选：B 3.已知函数满足，若，则（  ） A．25 B．125 C．625 D．15625 【答案】C 【分析】利用赋值法结合条件可得进而即得；或构造函数求解. 【解析】由题意取，可得 即知则. 故选：C 4.已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（  ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】根据题意，令、取特殊值逐一验证四个选项即可. 【解析】令，则，故，A选项错误； 令，则，故，B选项错误； 令，则，故为偶函数，C选项正确； 因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误. 故选：C 5.已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则下列说法错误的是（  ） A． B． C．函数为减函数 D．函数的图象关于点对称 【答案】B 【分析】对A：借助赋值法令计算即可得；对B：借助赋值法令，计算即可得；对C：结合函数单调性的定义及赋值法令计算即可得；对D：结合函数对称性及赋值法令计算即可得. 【解析】对A：令，则有，故，故A正确； 对B：令，，则有，故，故B错误； 对C：令，则有，其中，， 令，，即有对、，当时，恒成立， 即函数为减函数，故C正确； 对D：令，则有，又， 故，故函数的图象关于点对称，故D正确. 故选：B. 6.（多选）已知函数的定义域为，且，若对，都有，则（  ） A． B． C．函数为奇函数 D．函数为增函数 【答案】AC 【分析】利用赋值法可判断A；令，结合A的分析可判断C；再利用赋值法即可判断B；由，用代换x，可判断D. 【解析】对于A，令，则，结合， 可得， 令，则，即， 而，故，A正确； 对于C，令，则， 即，该函数为奇函数，C正确； 对于B，结合C的分析，令，则，B错误； 对于D，由于，用代换x，可得， 该函数为减函数，D错误， 故选：AC 7.（多选）已知函数的定义域为，，且当时，；当时，单调递增，则（  ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】ACD 【分析】用赋值法，在已知等式中，令求得，判断A，直接令得，即，用反证法判断B，令，求得，再令，判断C，令求得，代入选项D中不等式，然后结合奇函数的性质与单调性可判断D． 【解析】在中， 令得：，又，∴，故A正确； 令得，∴，即， 若，则，与时，矛盾，故B错误； 令，得，即，又，∴， 再令得，即，∴是奇函数，C正确； 令得，即， 不等式即为，即， 时，，，单调递增，即， 又时，，， 对任意的，或， ∴恒成立，故D正确． 故选：ACD． 8.（多选）已知定义域为的函数满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的是（  ） A．3 B． C．为奇函数 D．在区间是单调递增函数 【答案】AC 【分析】赋值法可判断A，利用奇偶函数的定义及赋值法判断BC，由函数的特例可判断D. 【解析】令，则， 所以，因为当时，， 所以， 令，所以， 即，解得：，故A正确； 由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 令，则，即 令代换，则，即， 所以，令代换，所以，故B错误； 由将代入， 可得，化简可得， 所以为奇函数，故C正确； 令，则，解得：，，故D错误. 故选：AC 9.定义在上的两个函数和，已知，.若图象关于点对称，则 . 【答案】3 【分析】因为图象关于点对称，所以，所以，再利用求出即可. 【解析】函数的定义域为，且图象关于点对称，所以，所以， 又，当时，，所以. 故答案为：3. 10.已知定义在R上的函数满足以下三个条件： ①对于任意的x∈R，都有； ②函数的图象关于直线对称； ③对于任意的，且．则，，的大小顺序是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】由条件②可得，结合条件①可得；由条件③可得在单调递减,结合条件②可得在上单调递增，结合单调性可以得到函数值的大小顺序. 【解析】由条件②函数的图象关于直线对称，所以， 由①，可得， 因为，即， 所以，所以， 由③知，所以函数在上单调递减， 由条件②函数的图象关于直线对称， 所以在单调递增， 所以，即． 故答案为： 11.已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 【答案】或 【分析】结合的奇偶性与增减性，可得函数的对称性与单调性，结合对称性与单调性的性质计算即可得解. 【解析】由函数为偶函数，故，即， 则的图象关于对称，由在上为增函数， 则，即在上为增函数，则在上为减函数， 则对可得，即， 则，化简得，即或. 故答案为：或. 12.已知函数为定义在上的函数满足以下两个条件： （1）对于任意的实数x，y恒有； （2）在上单调递减. 请写出满足条件的一个 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由（1）（2）可设,由可求，从而可求解. 【解析】由（1）（2）可设, 由， 可得， 化简可得. 故的解析式可为. 取可得满足条件的一个. 故答案为:. 13.已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析；(2)或 【分析】（1）利用赋值法，根据奇函数的定义来证明即可； （2）变形构造函数，通过赋值来研究新函数的单调性，结合新函数的奇偶性解不等式即可. 【解析】（1）证明：因为的定义域为，关于原点对称， 又对任意，都有， 令，得， 令，得， 令， 得， 是奇函数. （2）， ， ， 设，则，所以， 在上是减函数， 因为的定义域为， 又， 所以是偶函数， 因为， ，则，解得， 不等式的解集为或. 14.已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）利用赋值法可得与； （2）利用赋值法可得，且当时； （3）结合抽象函数的性质及函数的单调性可得不等式，即，根据二次函数最值可知，解不等式即可. 【解析】（1）由， 则， 又当时，， 则， ； （2）令，则，即， 当时，，且， 即， 即在上恒成立， 由，可知， 令，，且，即， 则， 所以， 即在上单调递增； （3）由已知， 又由（1）得， 所以， 又函数在上单调递增， 则恒成立， 所以恒成立， 又， 即， 解得. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $