专题4.7 数学归纳法（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题4.7 数学归纳法（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 数学归纳法的证明步骤】 2 【题型2 用数学归纳法证明恒等式】 2 【题型3 用数学归纳法证明不等式】 3 【题型4 用数学归纳法证明几何问题】 4 【题型5 用数学归纳法证明整除问题】 5 【题型6 用数学归纳法证明数列问题】 6 【题型7 用数学归纳法证明其他问题】 7 知识点1 数学归纳法 1．归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想的一种方法. 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 2．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 3．数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题 【题型1 数学归纳法的证明步骤】 【例1】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 【变式1-1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·全国·课前预习）对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时， ， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 【题型2 用数学归纳法证明恒等式】 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【变式2-1】（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【变式2-2】（24-25高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明（为正整数）． 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 【题型3 用数学归纳法证明不等式】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，． 【变式3-1】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）用数学归纳法证明：. 【变式3-2】（2025高三·全国·专题练习）当且时，求证：． 【变式3-3】（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明不等式：． 【题型4 用数学归纳法证明几何问题】 【例4】（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：凸边形的内角和． 【变式4-1】（2025高三·全国·专题练习）已知平面上有个圆，其中任意两圆都相交，任意三圆不共点，试推测个圆把平面分为几部分？用数学归纳法证明你的结论． 【变式4-2】（24-25高二下·全国·课堂例题）平面内有条直线，其中任何两条都不平行，任何三条都不经过同一点，用数学归纳法证明：交点的个数． 【变式4-3】（24-25高二·全国·课后作业）平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明． 【题型5 用数学归纳法证明整除问题】 【例5】（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明：能被64整除． 【变式5-1】（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【变式5-2】（24-25高二·全国·随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【变式5-3】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除． 【题型6 用数学归纳法证明数列问题】 【例6】（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，是它的前项和，当时，． (1)求，，的值，并推测的通项公式； (2)用数学归纳法证明所得的结论． 【变式6-1】（24-25高二·全国·课堂例题）在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）． (1)求及； (2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 【变式6-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项； (2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 【变式6-3】（24-25高二·上海·随堂练习）设数列的前n项和为，，对任意，都有成立． (1)求，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 【题型7 用数学归纳法证明其他问题】 【例7】（24-25高二下·山西吕梁·期末）给出下列不等式： ， ， ， ， （1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 【变式7-1】（24-25高二下·河南南阳·期末）设，，． (1)当时，试比较与1的大小； (2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明． 【变式7-2】（24-25高二下·河南南阳·期末）观察下列不等式：，，，，……． (1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题； (2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题． 【变式7-3】（2025·上海普陀·模拟预测）如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推. （1）写出点和的坐标； （2）猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.7 数学归纳法（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 数学归纳法的证明步骤】 2 【题型2 用数学归纳法证明恒等式】 3 【题型3 用数学归纳法证明不等式】 6 【题型4 用数学归纳法证明几何问题】 8 【题型5 用数学归纳法证明整除问题】 10 【题型6 用数学归纳法证明数列问题】 12 【题型7 用数学归纳法证明其他问题】 15 知识点1 数学归纳法 1．归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想的一种方法. 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 2．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 3．数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题 【题型1 数学归纳法的证明步骤】 【例1】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 【答案】B 【解题思路】根据数学归纳法的知识即可判断出增加的项数. 【解答过程】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 故增加的项数为：. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【解题思路】分别计算出和的项数，进而作差即得结论． 【解答过程】因为， 所以，共项， 则共项， 所以比共增加了项， 故选：D. 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】只须求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【解答过程】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 【变式1-3】（24-25高二上·全国·课前预习）对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时， ， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 【答案】D 【解题思路】根据数学归纳法的概念进行判断即可. 【解答过程】在时，没有应用时的归纳假设，不是数学归纳法. 故选：D. 【题型2 用数学归纳法证明恒等式】 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立； （2）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立. 【解答过程】（1）证明：记， 当时，则有，等式成立， 假设当，等式成立，即， 则， 这说明当时，等式成立， 故对任意的，. （2）证明：设， 当时，，等式成立， 假设当时，等式成立， 即， 所以， ， 这说明当时，等式成立， 所以，对任意的，. 【变式2-1】（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【答案】证明见解析 【解题思路】应用数学归纳法证明即可. 【解答过程】当时，左边右边； 假设时，原等式成立， 则时， 等式左边，因此时原等式也成立． 综上，都有． 【变式2-2】（24-25高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明（为正整数）． 【答案】证明见解析 【解题思路】根据数学归纳法的步骤证明即可. 【解答过程】当时，左侧，右侧，显然成立， 假设时，， 当时， ， 即当时，等式也成立， 综上可得，． 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）按照数学归纳法的步骤证明即可； （2）按照数学归纳法的步骤证明即可； 【解答过程】（1）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. （2）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. 【题型3 用数学归纳法证明不等式】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，． 【答案】证明见解析 【解题思路】根据题意，先证时，命题成立，假设时，命题也成立，当时，由，即可证明. 【解答过程】当时，左边， 右边，命题成立； 假设时，命题成立，即， 则当时， ， 所以时命题成立， 综上，． 【变式3-1】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）用数学归纳法证明：. 【答案】证明见解析 【解题思路】利用数学归纳法的证明步骤进行证明即可. 【解答过程】①当时，左边，左边右边，不等式成立； ②假设时不等式成立，即， 则当时，左边 ， 即当时，不等式也成立. 由①②可知，原不等式成立. 【变式3-2】（2025高三·全国·专题练习）当且时，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】验证当时，不等式成立，假设当时，不等式成立，证明当时，不等式成 立，从而得出结论. 【解答过程】①当时，左边 ，不等式成立； ②假设当时，不等式成立， 即， 则当时， 左边 ． 由①②知对任意且不等式成立． 【变式3-3】（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明不等式：． 【答案】证明见解析 【解题思路】（i）当时，不等式成立；（ii）假设当时不等式成立，验证当时不等式也成立，此处采用“取差法”证明不等关系成立． 【解答过程】（i）当时，左边，右边 ，显然，左边右边，原不等式成立； （ii）假设当时不等式成立， 即， 那么当时， ． 又 ， 所以 ， 即时，不等式也成立． 由（i）（ii）可知，对任意，不等式都成立． 【题型4 用数学归纳法证明几何问题】 【例4】（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：凸边形的内角和． 【答案】证明见解析 【解题思路】验证当时，结论成立；假设当时，结论成立，分析可知凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成，即可得出成立，这说明当时，结论成立，再由归纳原理可证得结论成立. 【解答过程】证明：当时，三角形的内角和为，即，结论成立； 假设当时，结论成立，即， 假设凸边形，如下图所示： 则凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成， 所以，， 这说明当时，结论成立， 故凸边形的内角和. 【变式4-1】（2025高三·全国·专题练习）已知平面上有个圆，其中任意两圆都相交，任意三圆不共点，试推测个圆把平面分为几部分？用数学归纳法证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【解题思路】用不完全归纳法猜想出结论，然后利用数学归纳法证明. 【解答过程】设这些圆将平面分成的区域数为， ，，，， 猜想. 数学归纳法证明如下： （1）当 时，一个圆将平面分为内部和外部两部分，即 ，结论成立； （2）假设当 （）时，结论成立， 即 个圆将平面分为的区域数为：. 考虑 个圆，添加第 个圆，该圆与已有的 个圆都相交， 由于任意两圆相交于两点，且任意三圆不共点，第 个圆与每个已有圆相交于两点，且这些交点互异. 因此，第 个圆上共有 个交点， 这 个交点将第 个圆分为 段弧（因为 个互异点将圆分为 段弧）， 每段弧穿过一个已有的区域，并将该区域分割成两个新区域，因此每段弧增加一个新区域， 所以添加第 个圆增加的区域数为 . 于是区域总数：， 代入归纳假设：， 故当时，结论也 成立. 由（1）（2）知对任意正整数 ， 个圆（任意两圆相交于两点，任意三圆不共点）将平面分为的区域数为：. 【变式4-2】（24-25高二下·全国·课堂例题）平面内有条直线，其中任何两条都不平行，任何三条都不经过同一点，用数学归纳法证明：交点的个数． 【答案】证明见解析. 【解题思路】根据数学归纳法证明的一般步骤证明即可. 【解答过程】(1)当时，两条直线的交点只有一个， 又， 所以当时，命题成立. (2)假设当时, 命题成立， 即平面内满足题设的任何条直线的交点个数， 当时， 任取一条直线，除以外其他条直线的交点个数为， 与其他条直线交点个数为， 从而条直线共有个交点， 即， 所以当时，命题成立. 由(1)(2)可知，对任意命题都成立. 【变式4-3】（24-25高二·全国·课后作业）平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明． 【答案】猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)，证明见解析. 【解题思路】当n＝2时，f（2）＝2＝1×2，n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，……，由此归纳出f(n)＝n(n－1)(n≥2)，然后利用数学归纳法证明即可 【解答过程】n＝2时，f（2）＝2＝1×2， n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3， n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4， n＝5时，f(5)＝12＋8＝20＝4×5， 猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)． 下面用数学归纳法给出证明： ①当n＝2时，f（2）＝2＝2×(2－1)，猜想成立． ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)，时猜想成立，即f(k)＝k(k－1)， 则n＝k＋1时，其中圆O与其余k个圆各有两个交点，而由假设知这k个圆有f(k)个交点， 所以这k＋1个圆的交点个数f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]， 即n＝k＋1时猜想也成立． 由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)． 【题型5 用数学归纳法证明整除问题】 【例5】（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明：能被64整除． 【答案】证明见解析 【解题思路】按照数学归纳法的步骤证明即可. 【解答过程】（i）当时，，能被64整除，故时命题成立； （ii）假设当时命题成立，即能被64整除， 则当时，能被64整除， 故当时命题成立． 由（i）（ii）可知对，都能被64整除． 【变式5-1】（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用数学归纳法的证明步骤，结合条件，即可求解. 【解答过程】（1）时，，能被整除， （2）假设时，能被36整除， 当时，， ， 因为是偶数，所以能被整除， 又因为能被整除，所以能被整除， 由（1）（2）知，对一切，能被整除． 【变式5-2】（24-25高二·全国·随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用数学归纳法来证明，当时，命题成立，再假设当时，能够被64整除，证明当时，命题也成立． 【解答过程】（1）当时， 能被64整除，命题成立． （2）假设当时，能够被64整除． 当时，， 能够被64整除， 能够被64整除． 即当时，命题也成立． 由（1）（2）可知，能被64整除， 即是64的倍数． 【变式5-3】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用数学归纳法，先验证时，结论成立，再证明当时，结论成立，可推出时也成立，即可证明结论成立. 【解答过程】用数学归纳法证明： ①当时， ，能被3整除． ②假设当时，能被3整除． 当时， , 由于假设了能被3整除，又能被3整除，故能被3整除, 因此，当时，也能被3整除． 综上可知：对一切，数列中的第项都能被3整除． 【题型6 用数学归纳法证明数列问题】 【例6】（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，是它的前项和，当时，． (1)求，，的值，并推测的通项公式； (2)用数学归纳法证明所得的结论． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 【解题思路】（1）由已知条件求出的值，归纳猜想通项； （2）用数学归纳法证明. 【解答过程】（1）因为，所以，解得． 这时，，所以，解得． 这时，，所以，解得． 由，，，猜想时，， 所以推测数列的通项公式是. （2）用数学归纳法证明： （i）当时结论成立； （ii）假设当时结论成立，即， 这时 ， 所以. 当时，由得， 得，所以，即时结论成立. 由（i），（ii）可知对时结论都成立. 【变式6-1】（24-25高二·全国·课堂例题）在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）． (1)求及； (2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，． (2)，证明见解析 【解题思路】（1）由条件得到，即可逐个计算； （2）；由数学归纳法求证步骤求证即可； 【解答过程】（1）由已知条件得， 所以 ，，可得：， ，，可得：， ，，可得：； （2）由（1）的计算可以猜想． 下面用数学归纳法证明： ①当时，由已知可得结论成立； ②假设当且时猜想成立， 即． 则当时， ， ， 因此当时，结论也成立． 由①②知，对一切都有成立． 【变式6-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项； (2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)；；． (2)当时，，证明见解析． 【解题思路】（1）分别将代入求解即可； （2）先猜想通项公式，再应用数学归纳法及证明即可. 【解答过程】（1）当时，由已知条件可得，即， 解得； 当时，由已知条件可得，将代入得， 解得； 当时，由已知条件可得，同理解得． （2）由（1）可以猜想，时，等式成立； 假设当时，等式也成立，即， 又因为， 将代入上式解得， 所以时命题成立． 综合可得，当时，． 【变式6-3】（24-25高二·上海·随堂练习）设数列的前n项和为，，对任意，都有成立． (1)求，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据，令代入即可求解. （2）利用数学归纳法的证明即可. 【解答过程】（1），，令，则； 令，； 令，； （2）猜想， ①当时，满足上式； ②假设时，上式成立，即， 则当时，， 显然，猜想成立，所以． 【题型7 用数学归纳法证明其他问题】 【例7】（24-25高二下·山西吕梁·期末）给出下列不等式： ， ， ， ， （1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 【答案】（1）（2）见解析 【解题思路】（1）猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为，即得解； （2）递推部分，利用时结论，替换括号内部分 即得证. 【解答过程】解：（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点： ，，，， 猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为， 所以，不等式的一般结论为： （2）证明：①当时显然成立；    ②假设时结论成立，即：成立，   当时，    即当时结论也成立. 由①②可知对任意，结论都成立. 【变式7-1】（24-25高二下·河南南阳·期末）设，，． (1)当时，试比较与1的大小； (2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明． 【答案】(1)；；；； (2)当，时，有，证明见解析. 【解题思路】（1）求出的值即得； （2）利用数学归纳法证明即得. 【解答过程】（1）∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，． （2）猜想：当，时，有． 证明：①当时，猜想成立． ②假设当（，）时猜想成立，． 当，． ∵， ∴，则， 即， ∴当时，猜想成立. 由①②知，当，时，有． 【变式7-2】（24-25高二下·河南南阳·期末）观察下列不等式：，，，，……． (1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题； (2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题． 【答案】(1)（n为正整数）； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）不完全归纳得解； （2）利用数学归纳法证明即可. 【解答过程】（1）解：不等式可写为：，，，， 所以归纳得到命题：（n为正整数）． （2）证明：①当n＝1时，易知命题成立； ②假设当 时，命题成立，即． 则当时， ， 即时，命题也成立． 由①②可知，． 【变式7-3】（2025·上海普陀·模拟预测）如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推. （1）写出点和的坐标； （2）猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明. 【答案】（1），，；，，；（2），证明见解析. 【解题思路】（1）将直线，曲线方程联立，由即可求得，由垂直关系可得直线方程，令即可求得坐标，依次类推即可求得结果； （2）由（1）可归纳出；设，，由直线方程可求得坐标，由直线斜率为可推导得到递推关系式；根据递推关系式，利用数学归纳法即可证得结论. 【解答过程】（1）由得：，即； 直线方程为：，即， 令，解得：，； 直线方程为：，由得：，即； 直线方程为：，即， 令，解得：，； 直线方程为：， 由得：，即； 直线方程为，即， 令，解得：，； （2）由（1）猜想的坐标为， 设，，则直线的方程为：， 令，解得：，， 直线的斜率为，即，即， ， 用数学归纳法证明的坐标如下： ①当时，满足； ②假设当时，成立， 那么当时，由得： ，解得：， 即当时，成立； 综上所述：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $