专题27.6 正多边形与圆（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级下册

专题27.6 正多边形与圆 教学目标 1. 了解正多边形的有关概念，如中心角、边心距等； 2. 学会计算正多边形的中心角、边心距； 3. 掌握正多边形与圆的综合应用． 教学重难点 1.重点 （1）会求正多边形的有关概念； （2）锐角的三角比在正多边形与圆的应用； （3）正多边形与圆的有关作图。 2.难点 （1）新定义题；新数学情景题；分类讨论思想； （2）正多边形与圆的综合应用。 知识点1 正多边形与圆 一、正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点： 　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 三、正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 四、正多边形的画法 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 　　②正六、三、十二边形的作法。 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 【即学即练】 1．正四边形的边心距与边长之比为（    ） A． B． C． D． 2．如图，点O为正六边形的中心，连接．若正六边形的边长为4，则点O到的距离的长为（    ） A． B．2 C． D．1 3．青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．已知正六边形的半径为4，则它的面积是（　　） A． B．12 C． D．24 5．如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 题型01 求正多边形中心角的度数 【典例1】．正六边形的中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．正十边形的中心角的度数为（　　） A．30 B． C．45 D．60 【变式2】．将一个正八边形绕着其中心旋转后与原图形重合，旋转角的大小不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 题型02 求正多边形中心角的三角比 【典例1】．正十二边形中心角的余弦值为 ． 【变式1】．正二十四边形中心角的余弦值为 ． 【变式2】．正四十八边形中心角的十倍角的余弦值为 ． 题型03 由中心角求正多边形的边数 【典例1】．若一个圆的内接正多边形的中心角为，则该正多边形的边数是（　　） A．14 B．18 C．16 D．20 【变式1】．若一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数为（   ） A．七 B．八 C．九 D．十 【变式2】．如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 题型04 求正多边形的边长或圆的半径 【典例1】．半径为2的圆内接正方形的边长是（　　） A．2 B．4 C． D． 【变式1】．边长为a的正十边形的半径是（   ） A．； B． C． D． 【变式2】．如图，正十边形的外接圆半径为，则这个正十边形的边长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型05 边心距 【典例1】．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角的度数是 ，半径是 ，边心距是 ，它的每一个内角是 ．正n边形的一个外角度数与它的 角的度数相等． 【变式1】．边长为2的等边三角形的边心距是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．若正六边形外接圆的半径为4，则它的边心距为（　 　） A．2 B． C．4 D． 题型06 边心距的应用 【典例1】．等边三角形的边心距、半径和高的比是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】．已知是的内接正三角形，的半径是，则边心距的值为 ． 【变式1】0．已知正多边形的边长为a，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正多边形的边心距是 ． 题型07 正多边形与圆的综合应用 【典例1】．如图．点O是正五边形的中心，是正五边形的外接圆，的余弦值为 ． 【变式1】．如图，、和分别为⊙内接正方形，正六边形和正边形的一边，则是 ． 【变式2】．已知同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为，则该圆的半径为 ． 【变式3】．如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，连接，其中一个正六边形的外接圆与交于点A．若外接圆的半径为2，则 ． 【变式4】．已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是 ． 题型08 解答题 【典例1】．如图，在圆内接正六边形中，半径，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距． 【变式1】．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 【变式2】．如图，已知正六边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1的正六边形内部作一点，连接，使得． (2)在图2的正六边形内部作一点，连接，使得． 【变式3】．如图，正六边形内接于，半径为．    (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 【变式4】．如图，正六边形内接于，半径为4． (1)求点O到的距离； (2)求正六边形的面积． 一、单选题 1．一个圆的半径为4，则该圆的内接正方形的边长为（    ）． A．2 B． C． D．8 2．若一个正n边形(n为大于2的整数）的半径为r，则这个正n变形的边心距为（    ） A． B． C． D． 3．⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．圆半径长为，对于圆的内接正六边形，下列说法错误的是（   ） A．中心角是 B．内角是 C．边心距为 D．边长为 5．如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，那么这个正多边形的边数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．无法确定 6．如图，六边形是正六边形，点是边的中点，，分别与交于点，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 7．正八边形的中心角等于 度． 8．正二十四边形中心角的余弦值为 ． 9．边长为3的正六边形的边心距为 10．等边三角形面积为a，外接圆面积为 11．在正六边形中，若最长对角线长为4，最短对角线长为 12．对角线条数和边数相同的正多边形的中心角的余弦值为 13．一个正多边形的边长为2，中心角为，则这个正多边形的周长是 ． 14．如果一个正六边形的边心距的长度为，那么它的半径的长度为 ． 15．以锐角中正切值和余切值相等的锐角为中心角的正多边形的对角线条数为 ． 16．如图，是正八边形的两条对角线，则 ． 17．如图，六边形是的内接正六边形，记的周长为，正六边形的周长为，则的值为 ． 18．正六边形是所有边相等、所有内角相等的六边形．在正六边形的边上取三点，若三点构成的三角形为等边三角形，则称该组成的图形为“优美图形”，等边三角形的边长为“优美边长”．如图，“优美图形”中正六边形的边长为3，则“优美边长”的取值范围为 ． 三、解答题 19．如图，等边三角形 的边长为 ，求它的中心角、半径和边心距． 20．如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 21．已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 22．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON （1）求图1中∠MON的度数 （2）图2中∠MON的度数是　　，图3中∠MON的度数是　　 （3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____ 23．如图，已知圆O是正六边形外接圆，直径，点G、H分别在射线上（点G不与点C、D重合），且，设． (1)如图①，当直线经过弧的中点Q时，求：的正弦值； (2)如图②，当点G在边上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)连接，如果与相似，求的长． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.6 正多边形与圆 教学目标 1. 了解正多边形的有关概念，如中心角、边心距等； 2. 学会计算正多边形的中心角、边心距； 3. 掌握正多边形与圆的综合应用． 教学重难点 1.重点 （1）会求正多边形的有关概念； （2）锐角的三角比在正多边形与圆的应用； （3）正多边形与圆的有关作图。 2.难点 （1）新定义题；新数学情景题；分类讨论思想； （2）正多边形与圆的综合应用。 知识点1 正多边形与圆 一、正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点： 　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 三、正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 四、正多边形的画法 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 　　②正六、三、十二边形的作法。 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 【即学即练】 1．正四边形的边心距与边长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形与圆，设正四边形的边长是，根据正四边形的边心距的含义可得边心距，从而可得答案. 【详解】解：如图：为正四边形的边心距，则， 设正四边形的边长是， ∴，，， ∴， ∴正四边形的边心距与边长之比为：． 故选A． 2．如图，点O为正六边形的中心，连接．若正六边形的边长为4，则点O到的距离的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，求正多边形的中心角，连接，则，可证明是等边三角形，，则可得到，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴点O到的距离的长为2， 故选：B． 3．青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求正多边形中心角度数，掌握正n边形中心角的计算公式是解题的关键． 用除以正多边形的边数，计算即可． 【详解】解： 故选：C． 4．已知正六边形的半径为4，则它的面积是（　　） A． B．12 C． D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形面积的计算，解决此题的关键把正六边形分成六个全等的等边三角形；根据正六边形的性质把六边形分成6个等边三角形，进而得到答案； 【详解】解：如图所示；正六边形，其中心为G，连接点G与各顶点，过G作于F， 由正六边形的性质可知：正六边形分成6个全等的等边三角形， ∵， ∴， 根据勾股定理可知：， ∴ ∴， 故选：C． 5．如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】见解析 【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形ABCD为所作． ∵BD垂直平分AC，AC为的直径， ∴BD为的直径， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴四边形ABCD是的内接正方形． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定． 题型01 求正多边形中心角的度数 【典例1】．正六边形的中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的中心角，注意准确掌握定义是关键． 据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角． 【详解】解：正六边形的中心角的度数是， 故选：C． 【变式1】．正十边形的中心角的度数为（　　） A．30 B． C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的个数（多边形的边数），就得到中心角的度数． 【详解】正十边形中心角的度数为， 故选：B． 【变式2】．将一个正八边形绕着其中心旋转后与原图形重合，旋转角的大小不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形中心角的度数为，先求出正八边形中心角的度数，即可解答． 【详解】解：正八边形的中心角为， ∵， ∴旋转角的大小可能是，，， ∵不是的整数倍， ∴旋转角的大小不能是， 故选：B． 【变式3】．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求正多边形的中心角的度数，根据中心角的计算公式进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 题型02 求正多边形中心角的三角比 【典例1】．正十二边形中心角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】先计算中心角为，再根据特殊角的三角函数计算，解答即可． 本题考查了中心角的计算，特殊角的三角函数值，熟练掌握中心角，特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得正十二边形中心角为， 故， 故答案为：． 【变式1】．正二十四边形中心角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】由题意知，正二十四边形中心角的度数为，如图，中，，在上取点，连接，使，则，设，则，，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，正二十四边形中心角的度数为， 如图，中，， 在上取点，连接，使， ∴， 设，则，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角，三角形外角的性质，余弦，正弦，勾股定理等知识．熟练掌握正多边形的中心角，三角形外角的性质，余弦，正弦，勾股定理是解题的关键． 【变式2】．正四十八边形中心角的十倍角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】由正四十八边形中心角的十倍为，如图，中，，，则，在上取点，连接，使，则，设，则，，，由勾股定理得，，然后根据余弦定义求解即可． 【详解】解：由题意知，正二十四边形中心角的度数为， 如图，中，，，则， 在上取点，连接，使， ∴， 设，则，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角，三角形外角的性质，余弦，正弦，勾股定理等知识．熟练掌握正多边形的中心角，三角形外角的性质，余弦，正弦，勾股定理是解题的关键． 题型03 由中心角求正多边形的边数 【典例1】．若一个圆的内接正多边形的中心角为，则该正多边形的边数是（　　） A．14 B．18 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形和圆的有关知识．根据正多边形的中心角为计算即可． 【详解】解：∵内接正多边形的中心角为，且， ∴该正多边形的边数是20． 故选：D． 【变式1】．若一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数为（   ） A．七 B．八 C．九 D．十 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，掌握正多边形的中心角相等以及计算公式成为解题的关键． 根据正多边形的中心角计算公式为：中心角边数，求解即可． 【详解】解：设正多边形的边数为． 由题意可得：，解得：． 故选B． 【变式2】．如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正边形的每个中心角都等于是解题的关键． 连接，由正六边形与正方形可得，，进而可得，再由“正边形的每个中心角都等于”即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 正六边形与正方形， ，， ， 是正n边形的一个中心角， ， 故选：． 题型04 求正多边形的边长或圆的半径 【典例1】．半径为2的圆内接正方形的边长是（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接正方形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是明确圆的直径与正方形对角线的关系，并利用勾股定理计算正方形边长． 先根据圆的半径求出直径，圆内接正方形的对角线等于圆的直径；再设正方形边长为未知数，利用勾股定理建立方程；最后求解方程得到正方形边长． 【详解】解：已知圆的半径为2，则圆的直径为，即圆内接正方形的对角线长为4． 设正方形的边长为，根据勾股定理，正方形对角线的平方等于两条边长平方之和，可得，即 ，化简得，解得：（边长为正数，舍去负根）． 故选：D． 【变式1】．边长为a的正十边形的半径是（   ） A．； B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数，正多边形的性质，根据题意画出图形，过点O作交与点M，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，，最后根据余弦的定义求解即可得出答案． 【详解】解：如图，正十边形的中心角， 过点O作交与点M， ∴，，． ∴， ∴ 故选：A． 【变式2】．如图，正十边形的外接圆半径为，则这个正十边形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，正多边形中心角公式，直角三角形特殊角的三角比等，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，根据其推论可知还平分中心角，得到，，再根据正多边形的中心角公式：设正多边形的边数为，则中心角为，求出中心角，则得到，最后根据直角三角形特殊角的三角比即可求出． 【详解】过点作于点， 则， 此多边形是正十边形． 在中， 故选：C． 【变式3】．如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质，由正六边形内接于，则，从而证明是等边三角形，然后根据等边三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：． 题型05 边心距 【典例1】．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角的度数是 ，半径是 ，边心距是 ，它的每一个内角是 ．正n边形的一个外角度数与它的 角的度数相等． 【答案】 60° 1 120° 中心 【分析】根据题意画出图形，六边形ABCDEF是正六边形，OH⊥AB，由正多边形的中心角＝ 即可解答；在△ABO中，已知正多边形的中心角，根据三角函数的知识以及等边三角形的知识，即可求出其半径及其边心距；由正多边形的内角＝ ，即可确定正多边形的内角. 【详解】根据题意画出图形，六边形ABCDEF是正六边形，OH⊥AB. 正六边形的中心角＝＝60°，即∠AOB＝60°. ∵AO＝BO， ∴△ABO是等腰三角形， ∵△ABO是等腰三角形，∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AO＝AB＝1，即半径是1. △ABO是等边三角形，∴∠OAH＝60°， ∴OH＝AO×sin60°＝ . 正六边形的内角为 ＝120°. 正n边形外角度数为 ＝ ，正n边形中心角度数为，正n边形的一个外角度数与它的中心角的度数相等． 所以 【点睛】本题主要考查正多边形，属基础题，熟记正多边形的性质是解答本题的关键. 【变式1】．边长为2的等边三角形的边心距是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设是边长为2的等边三角形，作的外接圆，圆心为点O，连接，作于点D，由，得，而，则，由，求得即可． 【详解】解：如图，是边长为2的等边三角形，作的外接圆，圆心为点O，连接，作于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴边长为2的等边三角形的边心距是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查正多边形和圆、等边三角形的性质、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识点，正确地添加辅助线是解题的关键． 【变式2】．若正六边形外接圆的半径为4，则它的边心距为（　 　） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．解答时要注意以下问题：①熟悉正六边形和正三角形的性质；②作出半径和边心距，构造出直角三角形，利用解直角三角形的知识解答． 已知正六边形的边长，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和外接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵正六边形外接圆的半径为4， ∴此正六边形中，则 ． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ． 故选：D． 题型06 边心距的应用 【典例1】．等边三角形的边心距、半径和高的比是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆与正多边形．根据题意可以表示正三角形的边心距、半径和高，从而求得它们的比值． 【详解】解：如图所示，为等边三角形，O为外心，连接并延长交于点D，连接，则， ∵是等边三角形， ∴， 则，平分和， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】．已知是的内接正三角形，的半径是，则边心距的值为 ． 【答案】6cm 【分析】先在图上作出边心距对应的线段，连接，在直角中，，求出的长即可． 【详解】解：过作于，连接，则长为边心距； 在直角中，，cm 【点睛】本题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，掌握基本概念是解题的关键． 【变式2】．已知正多边形的边长为a，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正多边形的边心距是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，掌握相关知识是解题的关键． 根据题意可得这个正多边形的一个外角为，求得它的中心角为，于是得到正六边形的边长与正六边形的半径组成等边三角形，进而可得边心距． 【详解】解：正多边形的一个外角是其内角的一半， 设外角为，则内角为， ， ， 这个正多边形的边数是， 它的中心角为， 正六边形的边长与正六边形的半径组成等边三角形， 它的边长为， 作， 则， ∴ 此正多边形的边心距是， 故答案为：． 题型07 正多边形与圆的综合应用 【典例1】．如图．点O是正五边形的中心，是正五边形的外接圆，的余弦值为 ． 【答案】 【分析】连接，先求出，，，，再根据圆周角定理，可得，从而得到，作的平分线交于点F，可得 ，，设，则，证明，可得，过点F作于点G，则，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点O是正五边形的中心，是正五边形的外接圆， ∴，，，， ∴， ∴， 同理， ∴， 作的平分线交于点F，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：（负值舍去）， ∴， 过点F作于点G，则， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了圆内接正五边形和圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握圆内接正五边形的中心角的求法是解题关键． 【变式1】．如图，、和分别为⊙内接正方形，正六边形和正边形的一边，则是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形边数与中心角的关系是解题的关键．分别求出和，从而得到，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，，， ∵和分别是正方形和正六边形的一边， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：12． 【变式2】．已知同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为，则该圆的半径为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查正多边形与圆，三角形的面积公式，设该圆半径为，根据等边三角形的性质得到；，根据三角形的面积公式得到正三角形的面积；根据勾股定理得到，求得圆的内接正六边形，解方程即可得到结论． 【详解】解：设该圆半径为， 如图1，∵为等边三角形， ∵， ∴；， ∴内接正三角形的面积； 如图2，∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴圆的内接正六边形的面积， ∵一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：4． 【变式3】．如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，连接，其中一个正六边形的外接圆与交于点A．若外接圆的半径为2，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理，令两个全等的正六边形重合的边为，连接，，令与交于点，则，，，，证明出为等边三角形，得出，求出即可得解． 【详解】解：如图：令两个全等的正六边形重合的边为，连接，，令与交于点， 则，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4】．已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是 ． 【答案】或 【分析】本题考查正多边形与圆，如图，分两种情况，当角的顶点在圆上时，如，弦为时，此时恰好是正五边形的一个内角，进行求解即可，当角的顶点在圆外部时，即交的两边，截取的两条弦为时，进行求解即可． 【详解】解：如图，当角的顶点在圆上时，如交的两边，截取的两条弦为，此时恰好是正五边形的一个内角， ∴； 当角的顶点在圆外部，即交的两边，截取的两条弦为时， 则：， ∴， ∴； 综上：这个角的大小是或； 故答案为：或． 题型08 解答题 【典例1】．如图，在圆内接正六边形中，半径，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距． 【答案】正六边形的中心角为，边长为4，边心距为． 【分析】连接，在圆内接正六边形中，可得，从而得到为等边三角形，可得正六边形的边长为4 ，再由勾股定理，求出边心距，即可求解． 【详解】解：连接， ∵六边形为正六边形， ∴． ∵ ， ∴为等边三角形． ∴， ∵六边形是正六边形， ∴ ， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴． ∴正六边形的中心角为，边长为4，边心距为． 【点睛】本题主要考查了圆内接多边形的定义，正多边形的定义，正多边形的边心距的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式1】．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 【答案】周长，面积 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法． 【详解】解：正六边形的周长； 连接，过点O作于点G， ∵该六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， 正六边形的面积． 【变式2】．如图，已知正六边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1的正六边形内部作一点，连接，使得． (2)在图2的正六边形内部作一点，连接，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正六边形的性质、锐角三角函数等知识，掌握正六边形的性质是解答的关键． （1）连接、，设交点为M，根据正六边形的性质可得，利用可得点M即为所求； （2）连接，，设交点为N，可得，，，则，由可得结论． 【详解】（1）解：如图1，点M为所求作； （2）解：如图2，点N即为所求作： 【变式3】．如图，正六边形内接于，半径为．    (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，根据正六边形的性质可得，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而可求解． （2）连接，，由为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解． 【详解】（1）解：连接，，如图：   六边形是正六边形， ， 又，是的半径，且半径为， ， 是等边三角形， ． （2）连接，，如图：    则为的直径， ，， 由（1）得：， 在中，， ， G为的中点， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理及圆周角，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 【变式4】．如图，正六边形内接于，半径为4． (1)求点O到的距离； (2)求正六边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是正多边形与圆、锐角三角函数的应用． （1）连接、，作于H，先求出，再由三线合一定理得到，最后根据余弦的定义计算即可； （2）先解直角三角形得到，则，再根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算． 【详解】（1）解：连接、，作于H， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O到的距离为； （2）解：在中，， ∴， ∴正六边形的面积． 一、单选题 1．一个圆的半径为4，则该圆的内接正方形的边长为（    ）． A．2 B． C． D．8 【答案】C 【分析】通过添加辅助线构造直角三角形，进而运用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：根据题意可画出图形，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，即， ∴（负值舍去）， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接正方形，勾股定理，解题的关键是熟练运用圆内接正多边形解决问题． 2．若一个正n边形(n为大于2的整数）的半径为r，则这个正n变形的边心距为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，然后由三角函数及正多边形与圆的关系进行求解即可． 【详解】解：由题意可得如图： 假设AB为正n多边形的一条边，OC⊥AB， ， OA=r， ； 故选D． 【点睛】本题主要考查解直角三角形及正多边形与圆，熟练掌握三角函数及正多边形与圆是解题的关键． 3．⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据题意可以求出这个正n边形的中心角是60°，即可求出边数. 【详解】⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等， 则这个正n边形的中心角是60°， n的值为6， 故选C 【点睛】考查正多边形和圆，求出这个正多边形的中心角度数是解题的关键. 4．圆半径长为，对于圆的内接正六边形，下列说法错误的是（   ） A．中心角是 B．内角是 C．边心距为 D．边长为 【答案】D 【分析】根据正六边形的性质，计算它的中心角、内角、边心距以及边长即可． 【详解】解：如图，正六边形内接于，连接，，过点作于点， ∴，， 即中心角是，故选项A不符合题意； ∵正六边形内接于， ∴， 即正六边形的内角为，故选项B不符合题意； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 即正六边形的边长为，故选项D符合题意； ∵， ∴， ∴， 即正六边形的边心距为，故选项C不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形和圆，考查了正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一性质，勾股定理等知识点．掌握正六边形的性质是解题的关键． 5．如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，那么这个正多边形的边数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．无法确定 【答案】B 【分析】如图，画出简图，根据切线的性质可得∠OCA=90°，根据∠AOC的余弦可得∠AOC=45°，即可得出此多边形的中心角为90°，即可求出多边形的边数． 【详解】如图，OA、OC分别为此多边形的外接圆和内切圆的半径，AB为边长， ∴OC⊥AB， ∴∠OCA=90°， ∵外接圆半径是其内切圆半径的倍， ∴cos∠AOC==， ∴∠AOC=45°， ∴∠AOB=90°，即此多边形的中心角为90°， ∴此多边形的边数=360°÷90°=4， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形和圆及三角函数的定义，熟练掌握余弦的定义并熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 6．如图，六边形是正六边形，点是边的中点，，分别与交于点，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的边长为a，MN是△PCD的中位线，求出△PBM和△PCD的面积即可． 【详解】解：设正六边形的边长为a，连接AC交BE于H点，如下图所示： 正六边形六边均相等，且每个内角为120°， ∴△ABC为30°，30°，120°等腰三角形， ∴BE⊥AC，且，且， ∵AF∥CD，P为AF上一点， ∴， MN为△PCD的中位线， ∴， 由正六边形的对称性可知：， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形与圆，三角形的面积，三角形的中位线定理，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型． 二、填空题 7．正八边形的中心角等于 度． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．根据正多边形中心角公式是即可解题． 【详解】解：正八边形的中心角等于； 故答案为：． 8．正二十四边形中心角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】由题意知，正二十四边形中心角的度数为，如图，中，，在上取点，连接，使，则，设，则，，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，正二十四边形中心角的度数为， 如图，中，， 在上取点，连接，使， ∴， 设，则，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角，三角形外角的性质，余弦，正弦，勾股定理等知识．熟练掌握正多边形的中心角，三角形外角的性质，余弦，正弦，勾股定理是解题的关键． 9．边长为3的正六边形的边心距为 【答案】 【分析】此题考查了正多边形和圆，在正六边形中，连接，作于点M，证明是等边三角形，则，由得到，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：在正六边形中，连接，作于点M， ∵正六边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： 即边长为3的正六边形的边心距为， 故答案为： 10．等边三角形面积为a，外接圆面积为 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外接圆的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，设是等边三角形的内心，连接，，延长交于，根据等边三角形的性质求出，，则根据三角形面积计算公式得到，再证明，据此根据圆面积公式即可得到答案． 【详解】解：设是等边三角形的内心，连接，，延长交于， 是等边三角形， 也是的外心，，，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．在正六边形中，若最长对角线长为4，最短对角线长为 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆，根据正六边形的性质可得边长为，为较短对角线，，，所以可得，，再根据勾股定理即可求出的长，进而求出较短对角线的长． 【详解】解：如图， 六边形是正六边形，连接，作于点， 根据题意可知：为较短对角线， ∵六边形是正六边形，最长对角线长为4， ∴外接圆的直径为4，半径为2， ∴正六边形的边长为2， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：． 12．对角线条数和边数相同的正多边形的中心角的余弦值为 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的对角线条数公式，正多边形的中心角，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，根据题意判断出对角线条数和边数相同的正多边形是正五边形，然后构造三角形相似来求解是解题的关键．先利用正多边形的对角线条数公式求出符合题意的正多边形为正五边形，然后求出正五边形的中心角为，再作等腰，使顶角，则底角，作的角平分线，过点作于，则可得到，设，，则，，证明，得到，即，进而得到，在中，利用余弦的定义即可得解． 【详解】解：设正多边形的边数为，则对角线条数为， 根据题意得，，解得，或（舍去） 对角线条数和边数相同的正多边形是正五边形，正五边形的中心角为， 如图，作等腰，使顶角，则底角，作的角平分线，过点作于， 则， ， ，， ，， ， ，， ，， 设，，则，， ，， ， ，即， 整理得：， ，即， ， ， 在中，， 故答案为：． 13．一个正多边形的边长为2，中心角为，则这个正多边形的周长是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了多边形内角：n边形的外角和为．一个正多边形的每个内角都相等，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以中心角为就可以求出多边形的边数，即可得到结论． 【详解】解：∵多边形的边数为：， 则这个多边形是八边形， ∴这个多边形的周长， 故答案为：16． 14．如果一个正六边形的边心距的长度为，那么它的半径的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查正多边形与圆，设正六边形的中心是O，一边是，过O作与G，在直角中，根据三角函数即可求得． 【详解】解：如图，过O作与G， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：2． 15．以锐角中正切值和余切值相等的锐角为中心角的正多边形的对角线条数为 ． 【答案】20 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，正多边形和圆，根据题意得到正多边形的中心角为，进而求出正多边形的边数，再根据对角线的计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴正多边形的中心角为， ∴正多边形的边数为：， ∴正多边形的对角线的条数为：； 故答案为：20 16．如图，是正八边形的两条对角线，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了正八边形与圆，正多边形的性质应用是解题的关键．设正八边形中心为点O，连接，求出中心角，设，得到，即可得到答案． 【详解】解：设正八边形中心为点O，连接，如图， ∵多边形为正八边形， ∴中心角， 设， ∴ ∴， 故答案为： 17．如图，六边形是的内接正六边形，记的周长为，正六边形的周长为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，设正六边形的边长为a，利用含角的直角三角形的性质求出，从而得出的长，进而解决问题． 【详解】解：设正六边形的边长为a， 连接，交于H，如下图： ∵六边形是的内接正六边形， ∴，，， ∴ ∴， ∴ ∴， 由正六边形的性质知，是等边三角形， ∴， 故答案为：． 18．正六边形是所有边相等、所有内角相等的六边形．在正六边形的边上取三点，若三点构成的三角形为等边三角形，则称该组成的图形为“优美图形”，等边三角形的边长为“优美边长”．如图，“优美图形”中正六边形的边长为3，则“优美边长”的取值范围为 ． 【答案】（表示“优美边长”） 【分析】本题主要考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，确定“优美边长”最值点的位置成为解题的关键． 根据题意确定“优美边长”最值点的位置，然后分别画出图形，根据正六边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质求解即可解答． 【详解】解：如图：当等边三角形是正六边形内切圆的内接三角形时，等边三角形的边长为“优美边长”有最小值， 由正六边形的性质可得：， ∴． 如图：当等边三角形是正六边形外接圆的内接三角形时，等边三角形的边长为“优美边长”有最大值， 由正六边形的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∴“优美边长”的取值范围为（表示“优美边长”）． 故答案为：（表示“优美边长”）． 三、解答题 19．如图，等边三角形 的边长为 ，求它的中心角、半径和边心距． 【答案】等边三角形 的中心角为 ，半径为 ，边心距为 【分析】设等边三角形 的中心为点 ，过点 作 于点 ，连接 ，，再解直角三角形即可. 【详解】解：如图， 设等边三角形 的中心为点 ，过点 作 于点 ，连接 ，，则 ，，． ． ． 设 ，则 ． 在 中，， 即 ． 解得 （负值已舍去）． ，． 等边三角形 的中心角为 ，半径为 ，边心距为 ． 【点睛】本题考查的是正多边形的中心角、半径和边心距，锐角三角函数的应用，熟记概念是解本题的关键. 20．如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理： （1）连接，根据中心角的计算公式求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可； （2）勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：连接，    由题意得：， ∴； （2）由（1）知：， 又∵， ∴， 即正方形的边长为：． 21．已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用正五边形与等腰三角形的性质求解； （2）连接交于点M，四边形即为所求； （3）各边延长线的交组成的五边形即为所求． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：； （2）如图1所示，连接相交于点，菱形为所求图形， 证明：在正五边形中，每个内角都相等且等于，每条边都相等， 可得≌，从而 ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：. ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形. （3）如图，五边形即为所求． 22．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON （1）求图1中∠MON的度数 （2）图2中∠MON的度数是　　，图3中∠MON的度数是　　 （3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____ 【答案】（1）；（2），；（3）． 【分析】（1）如图（见解析），先根据圆内接正三角形的性质可得，再根据圆内接正三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据角的和差、等量代换即可得； （2）如图（见解析），先根据圆内接正方形的性质可得，再根据（1）同样的方法可得；先根据圆内接正五边形的性质可得中心角，再根据（1）同样的方法可得； （3）根据（1）、（2）归纳类推出一般规律即可得． 【详解】（1）如图，连接OB、OC，则， 是内接正三角形， 中心角， ∵点O是内接正三角形ABC的内心， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图1，连接OB、OC， 四边形ABCD是内接正方形， 中心角， 同（1）的方法可证：； 如图2，连接OB、OC， 五边形ABCDE是内接正五边形， 中心角， 同（1）的方法可证：， 故答案为：，； （3）由上可知，的度数与正三角形边数的关系是， 的度数与正方形边数的关系是， 的度数与正五边形边数的关系是， 归纳类推得：的度数与正n边形边数n的关系是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握正多边形中心角的求法是解题关键． 23．如图，已知圆O是正六边形外接圆，直径，点G、H分别在射线上（点G不与点C、D重合），且，设． (1)如图①，当直线经过弧的中点Q时，求：的正弦值； (2)如图②，当点G在边上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)连接，如果与相似，求的长． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）如图①，连接，由正六边形，可得，，证明是等边三角形，则，，，由Q为弧的中点，可得，，则，由圆周角定理可得，，如图①，作的延长线于，则，，设，则，，由勾股定理得，，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，根据，计算求解即可； （2）如图②，在上取点，使，连接，证明是等边三角形，则，，，，证明，则，即，可求，由点G不与点C、D重合，可得； （3）由题意知，分①点在边上，②点在边的延长线上，两种情况求解；①点在边上时，如图③，由题意知，，当与相似，分，两种情况求解；当时，，即，联立，计算求出满足要求的解即可；当时，，即，联立，计算求出满足要求的解即可；②当点在边的延长线上，如图④，同理（3）①，求解作答即可． 【详解】（1）解：如图①，连接， ∵正六边形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵Q为弧的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， 如图①，作的延长线于， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴的正弦值为； （2）解：如图②，在上取点，使，连接， ∵正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得，， ∵点G不与点C、D重合， ∴， ∴，； （3）解：由题意知，分①点在边上，②点在边的延长线上，两种情况求解； ①点在边上时，如图③， 由题意知，， ∴当与相似，分，两种情况求解； 当时，，即， 解得，， ∵， ∴， 解得，或，均不符合要求，舍去； 当时，，即， 解得，， ∵， ∴， 解得，或均不符合要求，舍去； ②当点在边的延长线上，如图④， 当时，，即， 解得，， 同理，解得，或，均不符合要求，舍去； 当时，，即， 解得，， 同理，解得，（不符合要求，舍去）或， 经检验，是原分式方程的解，且符合要求； 综上所述，的长为． 【点睛】本题考查了正多边形内角和，垂径定理，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，正弦，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握正多边形内角和，垂径定理，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，正弦，相似三角形的判定与性质，并分情况求解是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $