专题01 数列概念的六大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

专题01 数列的概念 题型一：数列通项公式的简单应用 题型二：递推公式的应用 题型三：前项和公式与通项的关系 题型四：数列单调性的判断 题型五：求数列的最大项与最小项 题型六：周期数列 题型一：数列通项公式的简单应用 1．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，被2除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则（    ） A．161 B．171 C．181 D．191 2．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串按一定移动圆环的次数决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要少移动的次数，数列满足且则解下5个环所需要最少移动的次数为（    ） A．7 B．10 C．16 D．31 3．已知数列满足，，则（    ） A． B． C．2 D．1 4．已知斐波那契数列满足，记，，则 ．（用M，N表示） 5．若数列满足，则（    ） A．6 B．14 C．22 D．37 6．已知数列中，，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．已知数列{an}中，，. (1)写出数列的前5项； (2)猜想数列的通项公式； (3)画出数列的图象． 8．数列满足，则数列的第2023项为 . 题型二：递推公式的应用 9．已知数列满足，且，则（    ） A．69 B．63 C．67 D．65 10．已知数列的首项为，且，则 ． 11．（多选）唐代诗人罗隐有咏“蜂”诗云：“不论平地与山尖，无限风光尽被占．采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜？”蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家，蜂巢的结构十分的精密，其中的蜂房均为正六棱柱状．如图是蜂房的一部分，若一只蜜蜂从蜂房出发，想爬到第号蜂房，只允许自左向右（不允许往回走），记该蜜蜂爬到第号蜂房的路线数为数列，则（    ） A． B． C． D． 12．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，满足，那么等于（   ） A． B． C． D． 13．已知数列满足且，则（    ） A．3 B． C．-2 D． 14．斐波那契数列，又称黄金分割数列，被誉为最美的数列，若数列满足，，则称数列为斐波那契数列，则 ． 15．已知数列的前项和为，设，，则（    ） A． B． C． D．1012 16．数列满足，若，则等于（    ） A． B． C． D． 题型三：前项和公式与通项的关系 17．已知数列的前项和为，则 ． 18．已知数列的前项和，且，则数列的通项公式为 ． 19．已知数列的前项和为，则的通项公式为 ． 20．已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 21．已知的前n项和为，，当时，，则的值为（   ） A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 22．已知数列的前项和，第项满足，则 ． 23．（1）已知数列的前n项和，求的通项公式； （2）已知数列中，，，求数列的通项公式． 24．已知数列的前n项和为，且，则数列通项公式 ． 题型四：数列单调性的判断 25．已知数列满足，若对于任意都有，则实数a的取值范围是 . 26．已知的通项公式为（），若数列为递减数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．已知数列中，（且）．若对任意的，都有成立，的取值范围是 ． 28．数列的通项公式为，则“为递增数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 29．已知数列满（），且对任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．已知数列满足，若，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．数列的通项公式为，已知其为单调递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 32．已知数列满足，若为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：求数列的最大项与最小项 33．已知数列的通项公式为，则数列中的最小项的值为 ．（用具体数字作答） 34．已知数列的通项公式为. (1)判断是不是数列中的项； (2)试判断数列中的项是否都在区间内． 35．在数列中，，请回答下列问题： (1)这个数列共有几项为负？ (2)这个数列从第几项开始递增？ (3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由． 36．已知数列的通项公式为，则数列的最大项为第 项. 37．已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．4 38．数列、满足：，，，则数列的最大项是（    ） A．第7项 B．第9项 C．第11项 D．第12项 39．已知数列的通项公式为，试判断数列的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项． 40．已知数列的通项公式为． (1)写出这个数列的前5项． (2)这个数列有没有最小的项？如果有，是第几项？ 题型六：周期数列 41．在数列中，，（），则的前2022项和为（    ） A．589 B．590 C． D． 42．设数列满足，且，则（    ） A．-2 B． C． D．3 43．数列满足：，则的值为 . 44．在数列中，为的前项和，则的值可以为（    ） A．0 B．3 C．4 D．5 45．已知数列满足，，则（    ） A．2 B． C．-1 D．2023 46．已知数列满足，且，若，则的值可能为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 47．数列满足，且，则数列的前2024项的和（    ） A． B． C． D． 48．数列满足，则 . 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列的概念 题型一：数列通项公式的简单应用 题型二：递推公式的应用 题型三：前项和公式与通项的关系 题型四：数列单调性的判断 题型五：求数列的最大项与最小项 题型六：周期数列 题型一：数列通项公式的简单应用 1．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，被2除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则（    ） A．161 B．171 C．181 D．191 【答案】B 【分析】由题意可知是10的倍数，则，代入求值即可. 【详解】由题意可知既是2的倍数，也是5倍数， 即是10的倍数，则， 故. 故选：B. 2．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串按一定移动圆环的次数决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要少移动的次数，数列满足且则解下5个环所需要最少移动的次数为（    ） A．7 B．10 C．16 D．31 【答案】C 【分析】根据数列递推公式代入求解即可； 【详解】 ， 故选：C. 3．已知数列满足，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据数列的递推公式和首项依次求出若干项，即可发现项的周期性，从而得解. 【详解】由，因，则，，，，，， 由此不难发现，数列的项具有周期性，且最小正周期为3，故 故选：B. 4．已知斐波那契数列满足，记，，则 ．（用M，N表示） 【答案】 【分析】根据题意分析可得，，进而可得，即可得结果. 【详解】因为， ，可得， 所以， 可得， 又因为， 所以， 可得， 则， ， 所以，. 故答案为：. 5．若数列满足，则（    ） A．6 B．14 C．22 D．37 【答案】D 【分析】根据条件求出，即可得出结果. 【详解】∵， ∴，，， ∴. 故选：D. 6．已知数列中，，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据递推公式代入即得 【详解】因为，， 所以， 故选： D 7．已知数列{an}中，，. (1)写出数列的前5项； (2)猜想数列的通项公式； (3)画出数列的图象． 【答案】(1)1，，，， (2) (3)图见解析 【分析】（1）直接代入计算即可； （2）根据前5项猜想； （3）画出点集即可. 【详解】（1），， ，，. （2）猜想：. 下面证明其通项为，，显然，则， 则， 累乘得，所以对也适合，则. （3）图象如图所示： 8．数列满足，则数列的第2023项为 . 【答案】/ 【分析】根据递推关系可通过计算前面，发现数列是周期为4的周期数列，进而由周期性即可求解. 【详解】由已知可得， 所以数列为周期数列，且， 所以， 故答案为： 题型二：递推公式的应用 9．已知数列满足，且，则（    ） A．69 B．63 C．67 D．65 【答案】C 【分析】根据题意，结合数列的递推关系式，求得，，即可求解. 【详解】由数列满足，且， 可得， ， 所以． 故选：C. 10．已知数列的首项为，且，则 ． 【答案】 【分析】求出，得到数列是以4为周期的周期数列，从而求出. 【详解】由题可得， 所以数列是以4为周期的周期数列，故． 故答案为： 11．（多选）唐代诗人罗隐有咏“蜂”诗云：“不论平地与山尖，无限风光尽被占．采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜？”蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家，蜂巢的结构十分的精密，其中的蜂房均为正六棱柱状．如图是蜂房的一部分，若一只蜜蜂从蜂房出发，想爬到第号蜂房，只允许自左向右（不允许往回走），记该蜜蜂爬到第号蜂房的路线数为数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据递推关系可得，即可代入求解ACD,结合，相减即可判断B. 【详解】依题意可知，该蜜蜂爬到第1号蜂房的路线数为1，第2号蜂房的路线数为2，第3号蜂房的路线数为3，第4号蜂房的路线数为5，第5号蜂房的路线数为8，…，第号蜂房的路线数为，即， 所以，，，，，，A正确； 由于，则，两式相减可得，所以，B错误； 由于，C正确； ，D错误． 故选：AC 12．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，满足，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数列满足，逐项递推，即可得到结果. 【详解】由于， 则 . 故选：C. 13．已知数列满足且，则（    ） A．3 B． C．-2 D． 【答案】B 【分析】由已知可得数列递推式，求出其前面几项，可得数列的周期，由此可求得答案. 【详解】由题意数列满足，则， 故由，得， 由此可知数列的周期为4， 故， 故选：B 14．斐波那契数列，又称黄金分割数列，被誉为最美的数列，若数列满足，，则称数列为斐波那契数列，则 ． 【答案】/0.5 【分析】由题设递推关系得到，利用裂项相消法运算求解. 【详解】因为，则， 可得， 则 ， 所以. 故答案为： 15．已知数列的前项和为，设，，则（    ） A． B． C． D．1012 【答案】C 【分析】由已知推得，进而得出的前几项，观察可得的周期，根据数列的周期性，求和即可得出答案. 【详解】易知，由得. 又， 所以，，， 故数列是以3为最小正周期的周期数列， 所以. 故选：C. 16．数列满足，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设递推式可得数列具有周期性，周期为4，进而求解即可. 【详解】由， 因为，所以，， ，，， 所以数列具有周期性，周期为4， 所以． 故选：C. 题型三：前项和公式与通项的关系 17．已知数列的前项和为，则 ． 【答案】66 【分析】由，代入计算即可. 【详解】因为. 故答案为：66. 18．已知数列的前项和，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】借助与的关系计算即可得. 【详解】因为①， 则当时，②， ①②得，则， 当时，，符合上式， 故. 故答案为：. 19．已知数列的前项和为，则的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由与的关系，代入计算，即可得到结果. 【详解】易知，当时，， 化简得，当依然成立，故． 故答案为： 20．已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用得出，再应用累乘法得出通项公式，代入即可求值. 【详解】由题得，即， 所以， 将上面个式子两端分别相乘， 可得， 即， 所以． 故选：B. 21．已知的前n项和为，，当时，，则的值为（   ） A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 【答案】D 【分析】根据题意结合与之间的关系分析可得，结合题意利用并项求和运算求解. 【详解】由题意可知：当时，可得， 因为，则，即， 当时，则， 两式相减可得，即， 可得，，， 所以． 故选：D. 22．已知数列的前项和，第项满足，则 ． 【答案】 【分析】利用之间关系可得数列的通项公式，然后解不等式即可. 【详解】当时，； 当时，， ， 当时，符合上式， 所以的通项公式为， 所以， 由解得， 因为为正整数，所以， 故答案为：. 23．（1）已知数列的前n项和，求的通项公式； （2）已知数列中，，，求数列的通项公式． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据之间的关系进行求解即可； （2）运用累乘法进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，，符合上式， 所以的通项公式是． （2）因为，所以当时，， 所以，，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘， 得，即， 所以． 当时，，符合上式． 所以数列的通项公式是． 24．已知数列的前n项和为，且，则数列通项公式 ． 【答案】 【分析】利用结合已知条件求解. 【详解】当时，； 当时，， 因为不符合上式， 所以. 故答案为： 题型四：数列单调性的判断 25．已知数列满足，若对于任意都有，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用数列单调性，分、讨论可得答案. 【详解】对任意的，都有， 数列单调递减，可知. 当时，若，单调递减， 而时，单调递减， 只需，解得，； 当时，若，单调递增，应舍去. 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为：. 26．已知的通项公式为（），若数列为递减数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调数列的定义，，即可求的取值范围. 【详解】 ， 由数列为递减数列，则， 即恒成立，即， 当时，的最小值为， 即. 故选：C 27．已知数列中，（且）．若对任意的，都有成立，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由数列对应函数的单调性，结合最值问题，即可求解. 【详解】，已知对任意的，都有成立， ，函数在区间和单调递减， 结合函数的单调性可得，得， 因此实数的取值范围为. 故答案为： 28．数列的通项公式为，则“为递增数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据为递增数列，得到，进而求出，得到答案. 【详解】，为递增数列， 故， 故， 由于，故， 因为，， 故“为递增数列”是“”的必要不充分条件. 故选：B 29．已知数列满（），且对任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列单调性结合二次函数的性质分析求解. 【详解】由题意可知：，且开口向上，对称轴为， 可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 30．已知数列满足，若，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据建立不等式，不等式转化为对一切恒成立，求出即可. 【详解】据题设知，对一切恒成立， 所以对一切恒成立， 即对一切恒成立． 又当时，， 所以，所以所求实数k的取值范围是． 故选:． 31．数列的通项公式为，已知其为单调递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用数列的单调性的定义及不等式恒成立的解决方法即可求解. 【详解】因为， 所以. 因为数列为单调递增数列， 所以在恒成立， 所以，即可. 令，，则， 由一次函数知，当时，取得最大值为,即. 所以的取值范围为. 故选：B. 32．已知数列满足，若为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】为递增数列，则，可得的范围． 【详解】若为递增数列，则， 则有，对于恒成立． ，对于恒成立，． 故选：A． 题型五：求数列的最大项与最小项 33．已知数列的通项公式为，则数列中的最小项的值为 ．（用具体数字作答） 【答案】 【分析】利用作差法判断数列的单调性，即可求得答案. 【详解】由题意得， 故， 当时，，故， 当时，，故， 即得， 故数列中的最小项为， 故答案为： 34．已知数列的通项公式为. (1)判断是不是数列中的项； (2)试判断数列中的项是否都在区间内． 【答案】(1)不是数列中的项 (2)数列中的项都在区间内 【分析】（1）因式分解得，再令，求出，根据是否为正整数即可得解； （2）分离常数求出的范围即可. 【详解】（1）， 由，解得， 又因为，所以不是数列中的项； （2）， 因为，所以，所以， 所以， 所以数列中的项都在区间内. 35．在数列中，，请回答下列问题： (1)这个数列共有几项为负？ (2)这个数列从第几项开始递增？ (3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由． 【答案】(1)共有项为负 (2)从第项开始数列递增 (3)有，最小值为 【分析】（1）由求得正确答案. （2）利用差比较法进行判断. （3）根据二次函数的性质确定正确答案. 【详解】（1）由， 解得，，所以数列前项为负数， 也即共有项为负数. （2）因为， 当，即从第项开始数列开始递增. （3）， 根据二次函数的性质知，当时，取得最小值， 即数列中有最小值，最小值为. 36．已知数列的通项公式为，则数列的最大项为第 项. 【答案】 【分析】 通过列举法进行观察，然后利用差比较法比较求得正确答案. 【详解】依题意，， 则， 当时，， 所以当时，， 所以数列的最大项为第项. 故答案为： 37．已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．4 【答案】C 【分析】利用差比较法确定正确答案. 【详解】；；，， 当时，，所以， 所以数列中的最大项的项数或. 故选：C 38．数列、满足：，，，则数列的最大项是（    ） A．第7项 B．第9项 C．第11项 D．第12项 【答案】B 【分析】利用累加法得到，即可得到，然后列不等式求即可. 【详解】时，，，，，将上式累加，得，解得（对于同样成立），故， 令，即， 解得，，故，即第九项最大. 故选：B. 39．已知数列的通项公式为，试判断数列的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项． 【答案】详见解析 【分析】由判断判断单调性后即可得最值. 【详解】解：， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 所以在时单调递增，在时单调递减； 所以数列的最大项为， 又，当，， 所以数列的最小项为. 40．已知数列的通项公式为． (1)写出这个数列的前5项． (2)这个数列有没有最小的项？如果有，是第几项？ 【答案】(1)答案见解析； (2)有最小项，为第四项. 【分析】（1）根据通项公式写出对应项； （2）根据通项公式对应二次函数性质判断是否有最小项即可. 【详解】（1）由题设，，， ，. （2）由，对应二次函数开口向上且对称轴为， 所以有最小项，为第四项. 题型六：周期数列 41．在数列中，，（），则的前2022项和为（    ） A．589 B．590 C． D． 【答案】C 【分析】通过递推式计算出前几项，找到数列的周期，利用周期性求解即可. 【详解】因为，（），所以，， ，，而，所以数列是以4为周期的周期数列， 所以的前2022项和. 故选：C 42．设数列满足，且，则（    ） A．-2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】判断出数列的周期为4，即可求解. 【详解】因为，， 所以，，，， 显然数列的周期为4，而，因此. 故选：A. 43．数列满足：，则的值为 . 【答案】 【分析】根据数列的通项公式逐个代入，当代入到第五个时，发现出现重复，则数列存在周期，利用周期的特点求值即可. 【详解】解：∵，， ∴当时，， 当时，， 依此类推，，，， ∴数列为周期数列，周期， ∴. 故答案为：. 44．在数列中，为的前项和，则的值可以为（    ） A．0 B．3 C．4 D．5 【答案】ACD 【分析】利用列举法判断为以6为周期的数列，又，进而可得的值只能为，计算即可. 【详解】， ， 为以6为周期的数列，且， 而，被6除的余数只能为， 所以的值只能为，， 故ACD正确，B错误. 故选：ACD. 45．已知数列满足，，则（    ） A．2 B． C．-1 D．2023 【答案】A 【分析】由递推公式可得，数列的奇数项构成一个周期为3的周期数列，从而求出答案. 【详解】由题意得，，，，……， 故数列的奇数项构成一个周期为3的周期数列， 故. 故选：A 46．已知数列满足，且，若，则的值可能为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【分析】由递推公式，写出数列前几项，得到数列的周期，可求可能的值. 【详解】数列的递推公式为，由， 则有， ，则是以4为周期的周期数列， ，有，，故的值可能为2024． 故选：D. 47．数列满足，且，则数列的前2024项的和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知数列是以4为周期的周期数列，结合周期性运算求解. 【详解】因为，且， 令，可得；令，可得； 令，可得；令，可得； 可知数列是以4为周期的周期数列， 则，且， 所以. 故选：C. 48．数列满足，则 . 【答案】/ 【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项. 【详解】由题设， 所以是周期为3的数列，则. 故答案为： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $