数列专题检测-2026届高三数学一轮复习

2026届高考数学一轮复习数列专题检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）（人教A（2019）版） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知数列的前项和，则（   ） A．6 B．11 C．12 D．2 2．记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．59 B．61 C．63 D．65 3．已知等差数列的前n项和为，则取得最小值时，n的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．已知等比数列，若，则（    ） A． B． C． D． 5（2024全国甲）等差数列的前项和为，若，（    ） A． B． C．1 D． 6．已知数列的前项和为且，则（    ） A． B． C． D．17 7．已知数列满足：，数列满足，则数列的前50项的和为（   ） A． B． C． D．50 8（2025天津） ，则数列的前项和为（ ） A. 112 B. 48 C. 80 D. 64 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D．的最小值是4 10．已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B．数列是等差数列 C． D． 11．已知数列满足，，则下列结论正确的是（   ） A．为等比数列 B． C．的前n项和 D．的前n项和 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分） 12（2025上海）己知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 13（2024新课标全国Ⅱ）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 14．已知在数列中，，，则通项 ． 四、解答题（本大题共5小题， 共 77 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知等比数列满足：，，且公比． (1)求数列的通项公式； (2)若该数列的前项和，求的值． 16．若数列的前n项和为，且满足． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式 17．已知数列满足. (1)证明：为等比数列； (2)求数列的前项和． 18．记为数列的前项和，已知． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 19（2024全国甲）记为数列的前项和，且． (1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和为． 解析 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知数列的前项和，则（   ） A．6 B．11 C．12 D．2 答案：A 分析：方法1：计算即可； 方法2：根据前项和可知数列为等差数列，再根据等差数列求解第三项； 解析：方法1：． 方法2：等差数列的前项和为， 因为，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列． 于是． 故选：A． 2．记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．59 B．61 C．63 D．65 答案：D 分析：本题可利用等差数列前项和公式，结合已知条件列出方程组求出等差数列的首项和公差，进而求出． 解析：设等差数列的首项为，公差为，根据等差数列前项和公式， ，化简为， ，化简为， 联立解得，则． 故选：D． 3．已知等差数列的前n项和为，则取得最小值时，n的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 答案：A 分析：根据通项公式，由可得等差数列的前8项为负数，从第9项开始为正数，即可得结果. 解析：因为为等差数列，， 所以等差数列的前8项为负数，从第9项开始为正数，所以取得最小值时为8. 故选：A. 4．已知等比数列，若，则（    ） A． B． C． D． 答案：A 分析：根据等比数列通项公式下标和性质直接求解即可. 解析：因为，所以． 故选：A． 5（2024全国甲）等差数列的前项和为，若，（    ） A． B． C．1 D． 答案：D 分析：可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 解析：方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 6．已知数列的前项和为且，则（    ） A． B． C． D．17 答案：A 分析：根据等比数列的定义判断为等比数列，进而根据性质求解得，即可由求和公式求解. 解析：因为，且，所以，所以为等比数列． 因为，所以， 因为，所以，即的公比． 所以． 故选：A． 7．已知数列满足：，数列满足，则数列的前50项的和为（   ） A． B． C． D．50 答案：A 分析：由得，令，即，进而求得，利用累加法即可求，即可得，最后利用裂项相消法即可求解. 解析：由有，令，则， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，故， 即，故 ，当时，符合题意，即. 又由有， 设数列的前项和为，. 故选：A. 8（2025天津） ，则数列的前项和为（ ） A. 112 B. 48 C. 80 D. 64 答案：C 分析：先由题设结合求出数列通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解. 解析：因为，所以当时，， 当时，，经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为，则数列的前项和为 数列的前项和为 .故选：C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D．的最小值是4 答案：ACD 分析：利用基本量法求出公差后可求通项，再利用等差数列的性质判断A，利用通项公式求出判断B，利用前项和公式判断C，利用单调性求出的最小值后判断D. 解析：设等差数列的公差为，则，， 又，，，， . A选项，，正确； B选项，，错误； C选项，，，正确； D选项，， 易知在上为单调递增， 所以当时有最小值为4，正确. 故选：ACD. 10．已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B．数列是等差数列 C． D． 答案：ACD 分析：令直接代入计算可得A正确，根据的关系式以及等比数列定义即可求得数列为等比数列，可得B错误，再求得数列的通项公式可得C正确，结合分组求和以及等比数列前项和公式计算可得D正确. 解析：对于A，由可得， 即，所以，因此A正确， 对于B，由可得，即， 显然不是定值， 因此数列不是等差数列，即B错误； 对于C，结合B分析由可知， 即数列是以为首项，公比为2的等比数列， 因此可得，所以，即C正确； 对于D， ，即D正确. 故选：ACD 11．已知数列满足，，则下列结论正确的是（   ） A．为等比数列 B． C．的前n项和 D．的前n项和 答案：ACD 分析：对于A，由已知可得，结合等比数列的定义即可求解判断；对于B，求出，作差得，即可判断；对于C，结合等比数列求和公式利用分组求和思想求解即可判断；对于D，根据裂项相消法求和即可判断. 解析：对于A，由题意，数列满足，可得， 可得，即，又， 所以数列为首项为，公比为的等比数列，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以，即，故B错误； 对于C，因为，所以的前n项和，故C正确； 对于D，因为， 所以的前n项和，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分） 12（2025上海）己知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 答案: 分析:直接根据等差数列求和公式求解. 解析：根据等差数列的求和公式，.故答案为： 13（2024新课标全国Ⅱ）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 答案：95 分析：利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案. 解析：因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 14．已知在数列中，，，则通项 ． 答案： 分析：利用待定系数法构造新数列，得到，从而利用等比数列性质求出答案. 解析：利用待定系数法构造新数列， ， 又，则， 所以． 令，是以为首项，公比的等比数列． ．即，． 当时成立，所以． 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题， 共 77 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知等比数列满足：，，且公比． (1)求数列的通项公式； (2)若该数列的前项和，求的值． 分析:（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比，即可求数列的通项公式． （2）利用等比数列的前项和公式求解. 解析：（1）， 由条件知，是方程的两根， 解得或． 又，所以，， 所以，， 从而． （2）令，得，故. 16．若数列的前n项和为，且满足． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式 分析：（1）根据的关系式，对等式进行化简，可得到，进而证明结果. （2）结合（1）的结果根据等差数列的通项公式求出，进而可求出. 解析：（1）证明：当时，且． ， 即． 即．又． 故数列是以首项为，公差为的等差数列． （2） 由（1）知， 当时，， 当时，不适合上式， 故 17．已知数列满足. (1)证明：为等比数列； (2)求数列的前项和． 分析：（1）根据数列递推式化简得，将其转化成，利用等比数列的定义即可证得结论； （2）根据（1）推得的等比数列写出通项公式，再利用分组求和法与等比数列的求和公式计算即得. 解析：（1）因为，所以， 则． 又因为，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）的结论，可知，即， 则 ． 18．记为数列的前项和，已知． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 分析：（1）利用即可得，构造等比数列即可求解； （2）由（1）得代入，进而得，利用裂项相消法即可求解. 解析：（1）令时，，即得， 时，①，②， 由①-②得，， 又由， 又， 所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列， 所以； （2）因为． 所以 ． 19（2024全国甲）记为数列的前项和，且． (1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和为． 分析：（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 解析：（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $