第一章特殊平行四边形单元练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第一章 特殊平行四边形 单元练习 一、单选题 1．平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分内角 2．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，已知，则的大小是（   ） A． B． C． D． 3．如图，正方形ABCD的面积为4，分别取AB，BC，CD，DA的中点得到正方形；再分别取，的中点得到正方形；…．以此类推，正方形．的面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，，，Q为的中点，P为对角线上的任意一点，则的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 5．如图，菱形花坛的边长为，一个内角为，在花坛中用花盆围出两个正六边形的图形（图中粗线部分），则围出的图形的周长为（   ） A． B． C． D．以上都不对 6．如图，正方形和正方形中，点D在上，，C到直线的距离是（    ） A． B． C． D．2 7．如图1，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形，得到图2，用三个图2刚好拼出一个如图3所示的平面图形，则图1中的度数为（  ） A． B． C． D． 8．将两个边长为的小正方形剪拼成一个大正方形（如图），这个大正方形的边长是一个无理数，则的小数部分是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（   ） A． B．9或6 C．9或 D．3或 10．如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，O为坐标原点，已知，，直线经过点，当该直线平分矩形的面积时，直线的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在平行四边形中，，对角线、相交于点O．若要添加一个条件使四边形为正方形，这个条件可以是 ． 12．如图，在中，，，是的中点，则的值为 ． 13．如图，已知矩形，，平分交于点E，点F、G分别为、的中点，则的长为 ．    14．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为 ． 15．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接，现在有如下4个结论：①；②；③是直角三角形；④．在以上4个结论中，正确的有 ． 三、解答题 16．如图，在中，，D为的中点，四边形是平行四边形，相交于点O． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 17．如图，在中，，点D为AB上一点，连接CD． (1)若，则的度数为__________； (2)若，则的形状为__________； (3)若点D为AB的中点，，则__________，__________； (4)若CD为的高，，求CD的长． 18．如图，矩形中，，点E是射线上的一个动点，把沿折叠，点C的对应点为． (1)若点刚好落在对角线上时，　　　； (2)若点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长； (3)若点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 19．中国清朝末期的几何作图教科书中记载了大量几何作图题，如图，四边形是矩形，①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交，于点，；②分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点；③作射线；④分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，（在上，在下），作直线，交于点，交射线于点． (1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）； (2)依据尺规作图的痕迹，则的度数是______． 20．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且．点D为的中点，连接为的平分线，交于点E． (1)求点B和点E的坐标； (2)点P为射线上一动点，点Q为平面内任意一点， ①连接，若请求出点P的坐标； ②是否存在P，Q两点，使得四边形为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 特殊平行四边形 单元练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C C A C D D C B 1．C 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质，根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、对角线相等，只有矩形和正方形共有的性质，该选项不合题意； 、对角线互相垂直，只有菱形和正方形共有的性质，该选项不合题意； 、对角线互相平分，平行四边形，矩形，菱形，正方形都共有的性质，该选项符合题意； 、对角线平分内角，只有菱形和正方形共有的性质，该选项不合题意； 故选：． 2．C 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质． 根据矩形的性质可得，进而得出，然后利用三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∴． 故选C． 3．C 【分析】首先由勾股定理求得，即可求得正方形与正方形的面积，然后得规律：正方形的面积为． 【详解】解：正方形的面积为4， ． 又分别是AB，BC，CD，DA的中点， ． 同理可得，， ， 四边形是边长为的正方形，其面积为． 同理可得，的面积为， 四边形的面积为． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质以及勾股定理，属于规律性题目，得到规律求正方形的面积是解题的关键． 4．C 【分析】如图，连接．证明，可得，解直角三角形求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 5．A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定， 先根据菱形的性质得，再说明是等边三角形，即可得，则此题可解. 【详解】解：如图所示， ∵四边形是菱形，， ∴. ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴所围的图形的周长为. 故选：A. 6．C 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理． 作交于点H，连接，延长交于点M，利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式即可解答． 【详解】解：作交于点H，连接，延长交于点M， 正方形和正方形中，， ∴，， ∴，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 7．D 【分析】本题主要考查了菱形的性质与学生读题审题的能力，理解题意，准确识图，求出的度数是解题的关键． 根据菱形的性质可得，再由，即可求解． 【详解】解：如图，四边形均为菱形， ∴， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴． 故选：D 8．D 【分析】本题主要考查了正方形的性质和无理数的小数部分的概念．一个数可以分为整数部分和小数部分，小数部分是指去掉整数部分后剩下的部分．先根据两个边长为的小正方形剪拼成一个大正方形，得到大正方形的面积，从而求出大正方形的边长，再根据无理数的小数部分等于原数减去整数部分即可得出答案． 【详解】将两个边长为的小正方形剪拼成一个大正方形， 大正方形的面积是， ， （负值舍去） 的整数部分是2， 的小数部分是， 故选：． 9．C 【分析】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，分两种情况讨论：当或，再结合图形进一步求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， 当落在对角线上时， ，，， 设，则，， ∴， 解得：，即， 如图，当时， ∴， 同理可得：，， ∴四边形为正方形， ∴． 综上：当为直角三角形，则的长为或． 故选：C 10．B 【分析】本题考查了矩形的性质，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先连接，且相交于一点G，再结合，，求出，因为直线平分矩形的面积，则经过点，把，代入，进行计算，得，即可作答． 【详解】解：连接，且相交于一点G，则点是的中点，如图所示： ∵矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，O为坐标原点，且，， ∴， ∴， ∵直线平分矩形的面积， ∴经过点， ∵直线经过点， ∴把，代入， 得， 解得， ∴， 故选：B． 11．或（答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，由平行四边形中，，得到平行四边形是矩形，再添加菱形有的但矩形没有的性质，例如对角线互相垂直或者一组邻边相等即可得到四边形为正方形． 【详解】解：∵平行四边形中，， ∴平行四边形是矩形， ∴当或时，四边形为正方形， 故答案为：或（答案不唯一）． 12．5 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边中线定理求出的值． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理，可得： 因为是的中点，根据直角三角形斜边中线定理，所以. 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边中线定理，解题关键是先利用勾股定理求出斜边长度，再运用直角三角形斜边中线定理求出中线长度． 13． 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理．正确连接辅助线是解题关键． 连接．由矩形的性质可间接证明得出，从而可求出，再由勾股定理可求出，最后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F、G分别为、的中点， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了图形的翻折变换和正方形的性质，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活运用勾股定理． 过点作，因为，，所以，，根据勾股定理得，故，即点的坐标即可求解． 【详解】解：过点作，如图所示： 四边形是正方形，点的坐标是， ，， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， 即点的坐标为， 故答案为：． 15．①②③④ 【分析】本题考查翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是根据“”判定，故①正确；由全等三角形的性质可设，则，，利用勾股定理建立方程求出，，故②正确；由折叠的性质可设，得出，，进而得出，故③正确；先求出，再根据，可求出，故④正确. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质得，，， ∴，， 在与中 ∴ 故①正确； ∵正方形的边长为12， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中， 即 解得 ∴，， ∴， 故②正确； 由折叠的性质得，， 设 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故③正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故④正确， 故答案为：①②③④. 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质，三线合一定理，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由三线合一定理得到；再由平行四边形对边平行且相等可推出，据此可证明结论； （2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形推出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵在中，，D为的中点， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 17．(1)； (2)等腰直角三角形； (3)6， (4) 【分析】根据直角三角形两个锐角互余确定角度； 利用等腰三角形的性质判断三角形的形状； 直角三角形斜边中线定理求解； 通过勾股定理求解线段长度． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴． ∵, ∴． （2）解：∵，且， ∴是等腰直角三角形． （3）解：∵在中，点为的中点， ∴． ∵， ∴． ∵, ∴． （4）解：∵中，， ∴ ∵为的高， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定以及勾股定理和直角三角形面积的计算，解题关键是熟练掌握直角三角形的相关性质并灵活运用面积法求解线段长度． 18．(1)4 (2) (3) 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，中垂线的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）勾股定理求出的长，折叠得到，线段的和差关系求出的长即可； （2）连接，证明是等边三角形，进而得到为含30度角的直角三角形，进行求解即可； （3）分在矩形内部和在矩形外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形，， ∴，， ∴， ∵沿折叠，点刚好落在对角线上， ∴， ∴； （2）如图2，连接， ∵折叠， ∴，， ∵矩形， ∴， ∵点在的垂直平分线上，， ∴点在的垂直平分线上， ∴，则是等边三角形， ∴， ∴， 在中，，设，则：， 由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， 即的长为； （3）作的垂直平分线，交于点M，交于点N，则，，分两种情况讨论： ①当点在矩形内部时，如图3， ∵点在的垂直平分线上， ∴，， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 设，则， 由勾股定理，得：， 即， 解得， 即； ②当点在矩形外部时，如图4， 同理可得：， 设，则，， 由勾股定理，得：， 即， 解得， 即， 综上所述：的长为． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查尺规作图、垂直平分线的性质，熟悉尺规作图的步骤及垂直平分线性质是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）由题可得，为的角平分线，可得，继而得到，即可． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：在矩形中，， ， 为等腰直角三角形， 为的角平分线， ， ， 又垂直平分， 所以， ， 故答案为：． 20．(1)，； (2)①；②． 【分析】本题主要考查了一次函数上点的坐标特征，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据矩形的性质可得从而得到的坐标，再由角平分线和平行线的性质可以证出，进而得到点的坐标； （2）①利用割补法将的面积表示出来，再转化为坐标之间的关系求解即可； ②要使四边形是矩形，则为直角三角形，，设出点的坐标，利用两点距离公式和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ， ，，， ， ，， ，， ∴， ∵为的平分线， ， ， ， ∵为中点， ， ∴， 由勾股定理可得， ， ∴． （2）解：①∵四边形为矩形，点为的中点， ， ， 延长，交轴于点，如图： 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ， ∴， ， ， ， ， 把代入得：， ； ②存在，如图： ∵点是射线上的动点， ∴设， ∵， ， ， ， 要使四边形是矩形，则为直角三角形，， ，即， 解得：， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $