精品解析：上海师范大学附属嘉定高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

上海嘉高2024学年第一学期高二年级数学学科期中试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 命题：申旺 审题：王莉芳 一、填空题（本题满分54分，共有12个小题，1－6每小题4分，7－12每小题5分） 1. 已知直线方程为，则此直线的倾斜角为______． 2. 若圆锥的高为10，底面圆的半径为2，则这个圆锥的体积为______． 3. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点坐标为______ 4. 正方体中，异面直线与所成角的大小为________. 5. 直线的一个法向量为，且过点，则直线的一般式方程为_________． 6. 如图，已知的直观图是直角边长为2的等腰直角三角形，，那么的面积为________． 7. 若用与球心距离为1的平面截球体所得的圆面半径为3，则球的表面积为______． 8. 一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为______． 9. 已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为________. 10. 祖暅（公元前5-6世纪），字景烁，是我国南北朝时期的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.如图将某几何体（左侧图）与已被挖去了圆锥体的圆柱体（右侧图）放置于同一平面上.以平行于平面的平面于距平面任意高d处可横截得到及两截面，若总成立，且图中圆柱体（右侧图）的底面直径为3，高为3，则该几何体（左侧图）的体积是______. 11. 如图所示，在正方体中，棱长为分别为各棱的中点，则的不同值有__________个. 12. 如图，已知、、与平面所成角分别为60°、45°、30°，平面，为垂足，又有斜足A、B、C三点在同一直线上，且，则的长等于________. 二、选择题（，共有4个小题，13－14每小题4分，15－16每小题5分） 13. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（ ） A. B. C. 与相交 D. 或 14. 下列命题正确的是（    ） A. 若直线上有无数个点不在平面内，则直线和平面平行 B. 若直线与平面相交，则直线与平面内任意直线都是异面直线 C. 若直线与平面平行，则这条直线与平面内的所有直线平行 D. 若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内 15. 设点，斜率为的直线过点且与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，给出下列两个命题： ①若，则异面直线和所成的角的余弦值为 ②若，则点到平面的距离为 则下列选项正确的是（ ） A. ①真②假 B. ①②全真 C. ①假②真 D. ①②全假 三、解答题（本大题满分78分，共有5题，） 17. 如图，在正方体中，，求： （1）证明：平面； （2）求直线到平面的距离． 18. 如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱体积是，底面直径与母线长相等． （1）求圆柱的表面积； （2）求三棱柱体积． 19. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullon，于1996年故入世界文化遗产名景（如图1）.现测量一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB长为m，母线SA长为m（如图2）.C是母线SA的一个三等分点（靠近点S）. （1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花60朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（此处π取3.14，结果精确到个位）: （2）从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度. 20. 已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． （1）求边所在直线的方程； （2）求点坐标； （3）求的角平分线所在直线的方程． 21. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为BD的中点，是边长为1的等边三角形，且. （1）求三棱锥高； （2）求直线CD和平面ABC所成角的正弦值； （3）在棱AD上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海嘉高2024学年第一学期高二年级数学学科期中试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 命题：申旺 审题：王莉芳 一、填空题（本题满分54分，共有12个小题，1－6每小题4分，7－12每小题5分） 1. 已知直线方程为，则此直线的倾斜角为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系，求解即可. 【详解】设倾斜角为，则， 由题意可得直线的斜率，所以. 故答案为：. 2. 若圆锥的高为10，底面圆的半径为2，则这个圆锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥的体积计算公式即得. 【详解】因圆锥的底面半径为2、高为，则其体积为. 故答案为：. 3. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标平面的对称特征可得. 【详解】点关于坐标平面对称点为， 所以点关于坐标平面对称的点坐标为. 故答案为： 4. 正方体中，异面直线与所成角的大小为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用异面直线所成角的定义求解即得. 【详解】正方体中，，因此异面直线与所成的角或其补角， 而，因此. 所以异面直线与所成角的大小为. 故答案为： 5. 直线的一个法向量为，且过点，则直线的一般式方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由直线的一个法向量为，可直线的斜率为， 又由直线过点，所以直线的方程为，即. 故答案为：. 6. 如图，已知的直观图是直角边长为2的等腰直角三角形，，那么的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的直观图作出的平面图，再求其面积即可. 【详解】根据的直观图作出的平面图为： 因为，所以， 又，且， 则 故答案为：. 7. 若用与球心距离为1的平面截球体所得的圆面半径为3，则球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用球的截面的性质和勾股定理求得球的半径，然后利用球的表面积公式求解即可. 【详解】用平面去截球所得截面圆的半径为3，由球心到该截面的距离为1，则球的半径， 所以球的表面积为． 故答案为：. 8. 一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为______． 【答案】18 【解析】 【分析】作出辅助线，得到三棱锥的侧高，进而求出侧面积. 【详解】如图，正三棱锥中，， 过点作⊥平面，垂足为，则，为等边的中心， 为的一条中线，则，， 故，由勾股定理得， 故，同理可知， 则此三棱锥的侧面积为. 故答案为：18 9. 已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为________. 【答案】或． 【解析】 【分析】先求，再根据夹角公式求得直线的斜率，利用点斜式即可求出直线的方程. 【详解】设直线的斜率为， 因为，且为锐角， 所以， 所以，解得， 故过点，且与直线的夹角为的直线的方程 为，即． 当直线的斜率不存在时，此时直线的方程，符合题意. 所以直线的方程为或. 故答案为：或 10. 祖暅（公元前5-6世纪），字景烁，是我国南北朝时期的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.如图将某几何体（左侧图）与已被挖去了圆锥体的圆柱体（右侧图）放置于同一平面上.以平行于平面的平面于距平面任意高d处可横截得到及两截面，若总成立，且图中圆柱体（右侧图）的底面直径为3，高为3，则该几何体（左侧图）的体积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用求解即可. 【详解】由总成立， 故该几何体（左侧图）的体积是. 故答案为： 11. 如图所示，在正方体中，棱长为分别为各棱的中点，则的不同值有__________个. 【答案】5 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，然后得到各点坐标，算出和的坐标，利用数量积即可得到答案 【详解】解：以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 正方体中，棱长为分别为各棱的中点， ,,,, ,,, ,,,, , 则，，，，，，，， ，，，，， 故， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故的值为共种不同的值. 故答案为：. 12. 如图，已知、、与平面所成角分别为60°、45°、30°，平面，为垂足，又有斜足A、B、C三点在同一直线上，且，则的长等于________. 【答案】 【解析】 【分析】设,,利用平面向量线性运算和数量积求解. 【详解】设，则， 又是底边上的中线， 则，， ， ， 所以，则， 所以，故，所以. 故答案为：. 二、选择题（，共有4个小题，13－14每小题4分，15－16每小题5分） 13. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（ ） A. B. C. 与相交 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据方向向量与法向量平行，即可判断. 【详解】由向量，得， 所以，所以. 故选：A 14. 下列命题正确的是（    ） A. 若直线上有无数个点不在平面内，则直线和平面平行 B. 若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线都是异面直线 C. 若直线与平面平行，则这条直线与平面内的所有直线平行 D. 若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间线线，线面的位置关系逐项分析即得. 【详解】对于A，若直线上有无数个点不在平面内，则直线可能与平面相交，故A错误； 对于B，若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线可能相交，也可能是异面直线，故B错误； 对于C，若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行或异面，故C错误； 对于D，根据平面的基本性质可知若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内，故D正确. 故选：D 15. 设点，斜率为的直线过点且与线段相交，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图象，结合斜率公式求得正确答案. 【详解】如图，直线的斜率， 直线的斜率， 所以当直线与线段相交时， 的斜率的取值范围是. 故选：D 16. 如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，给出下列两个命题： ①若，则异面直线和所成的角的余弦值为 ②若，则点到平面的距离为 则下列选项正确的是（ ） A ①真②假 B. ①②全真 C. ①假②真 D. ①②全假 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据异面直线的向量公式求解异面直线所成角判断①；根据点面距的向量求法求解判断②. 【详解】如图， 以点为原点，向量为轴的正方向，再作， 若，，，，，， ，，所以， 所以异面直线和所成的角的余弦值为，故①为真命题； ，设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为，且， 所以点到平面的距离为，故②为真命题. 故选：B 三、解答题（本大题满分78分，共有5题，） 17. 如图，在正方体中，，求： （1）证明：平面； （2）求直线到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明； （2）方法1，利用点到平面距离的向量求法求解；方法2，找出点C到平面的距离求解. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为平面，所以点C到平面即直线CD到平面的距离. 方法1：以D原点，分别以DA、DC、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量. 所以点C到平面的距离. 方法2：连接交于点，则， 因为平面 所以平面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 所以是点C到平面的距离， 因为，所以，即直线CD到平面的距离为. 18. 如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． （1）求圆柱的表面积； （2）求三棱柱的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆柱体积和表面积公式直接计算； （2）根据三棱柱体积公式以及正弦定理进行计算即可. 【小问1详解】 设底面圆的直径为， 由题可知,圆柱的体积， 解得，即圆柱的底面半径为1， 则圆柱的表面积为. 【小问2详解】 因为为正三角形，底面圆的半径为1， 由正弦定理，边长， 所以三棱柱的体积 19. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullon，于1996年故入世界文化遗产名景（如图1）.现测量一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB长为m，母线SA长为m（如图2）.C是母线SA的一个三等分点（靠近点S）. （1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花60朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（此处π取3.14，结果精确到个位）: （2）从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度. 【答案】（1）20347； （2）m. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件求出圆锥的侧面积即可计算作答. (2)将圆锥侧面沿母线SA剪开展在同一平面内，点A到点，连接，求出的值即可得解. 【小问1详解】 因圆锥SO的底面直径AB长为m，母线SA长为m，则此圆锥的侧面积为() 又每平方米大约需要鲜花60朵，于是得(朵)， 所以装饰这个屋顶大约需要20347朵鲜花. 【小问2详解】 将圆锥SO沿母线SA剪开展在同一平面内得如图所示的扇形，点A到点，连接，则为最小长度， 扇形弧长等于圆锥SO底面圆周长，于是得扇形圆心角， 在中，，由余弦定理得， 即，解得， 所以灯光带的最小长度为m. 20. 已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． （1）求边所在直线的方程； （2）求点的坐标； （3）求的角平分线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由边上的高所在直线方程得到边所在直线的斜率，利用点斜式写出方程即可； （2）设点B的坐标为，由点是边的中点，可得点的坐标，点B在直线上，点A在直线上，联立方程组即可求得的值，从而得解． （3）求得直线的方程，设的角平分线上任意一点的坐标为，利用点到直线的距离公式可得，求解即可. 【小问1详解】 因为边上的高所在直线方程为， 所以边所在直线的斜率为，且经过点， 所以边所在直线的方程为， 即所在直线的方程为； 【小问2详解】 设点B的坐标为，因为边上的高所在直线方程为， 又因为点是边的中点，所以点A的坐标为， 由边所在直线的方程为， 所以，即， 由，得，所以点B的坐标为. 【小问3详解】 由（2）可得点A的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即， 设的角平分线上任意一点的坐标为， 又直线所在直线的方程为， 则，所以， 所以或， 即或，又因为，， 所以的角平分线所在直线的方程为． 21. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为BD的中点，是边长为1的等边三角形，且. （1）求三棱锥的高； （2）求直线CD和平面ABC所成角的正弦值； （3）在棱AD上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得出线面垂直，即可得到为三棱锥的高，再由其体积公式代入计算，即可得到结果； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及线面角的公式代入计算，即可求解； （3）根据题意，将线段比值设为向量关系，借助向量表示点，然后分别求出两个平面的法向量，用法向量表示出已知条件，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 ∵，为的中点，∴， 又∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面， 则为三棱锥的高， 又是边长为1的等边三角形， 则， 且，则， 即三棱锥的高为1. 【小问2详解】 分别取CB、CD的中点为F、G，连结OF、OG， ∵为的中点，是边长为1的等边三角形， ∴是直角三角形，，，， ∵CB、CD的中点为F、G， ∴，，， 由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形， 以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为轴， 如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，， ∴，，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则，，，， ， ∴直线和平面所成角的正弦值等于. 【小问3详解】 在棱上存在点，使二面角的大小为. 设， 由（2）知，，， ，， ， 是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，则， 即， 取，，， ∵二面角的大小为， ∴，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以，， 所以在棱上存在点，使二面角的大小为，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $