3.2.1从平面向量到空间向量课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的概念、表示及特殊向量（零向量、单位向量等），通过回顾平面向量的定义、模、表示方法等知识，类比构建从平面到空间的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于融入数学史素材（如欧拉、高斯等数学家简介），结合天平拉力、长方体顶点向量等实例，通过判断题辨析概念，发展学生数学抽象与逻辑推理素养。总结系统梳理知识，学生易构建体系，教师可直接用于课堂提升效率。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第三章 空间向量与立体几何 第2节 空间向量与向量运算 2.1从平面向量到空间向量 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、了解向量由平面向空间推广的过程 2、了解空间向量的概念 3、掌握一些特殊向量 1、空间向量的概念 2、特殊向量 1、空间向量的概念 2 新 课 引 入 数学王子——高斯 同学们，我们来一起回顾一下平面向量的相关内容： 既有大小,又有方向的量称为向量. 1、什么叫做向量？ 2、向量有哪些表示方法？ 有向线段表示、大写字母表示、小写字母表示、坐标表示 3、什么叫做向量的模？ 向量的大小,记作||,又称作向量的模 4、什么叫做零向量？什么叫做单位向量？ 长度为0的向量称为零向量，记作。 模等于1个单位长度的向量称为单位向量. 5、什么叫做相等向量？什么叫做相反向量？什么叫做共线向量？ 长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量。 长度相等、方向相反的两个向量叫做相反向量。 若两个非零向量,的方向相同或相反,则称这两个向量为共线向量或平行向量。 3 新 课 引 入 韦 达 本节课，我们类比着平面向量来学习空间向量的有关知识。 4 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 在空间中，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量. 空间向量 在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤盘中放入质量为1kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力就是三个___________。  空间向量 5 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 空间向量的长度（模） 空间向量的大小叫作空间向量的长度或模. 1、空间向量的模是不小于零的实数。 2、空间向量不能比大小，空间向量的模可以比大小。 6 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 空间向量的表示方法 1、用有向线段表示 2、用两个大写字母表示 3、用一个小写字母表示 有向线段的方向表示向量的方向，有向线段的长度表示向量的模。 A B Q P 起点字母在前，终点字母在后。 小写字母上面加箭头，如 , , 7 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 数学中所研究的向量，与向量的起点无关，称之为自由向量 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量. 与相等，记作：= 方向相反且模相等的向量互为相反向量。 向量的相反向量用-表示. 相反向量 8 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，称这两个向量互为共线向量(或平行向量). 向量、向量互为共线向量,记作∥ 共线向量(或平行向量) 我们把平行于同一平面的向量，叫作共面向量. 共面向量 相等向量和相反向量都是共线向量的特殊情况. 1、共线向量是共面向量的一种特例. 2、空间中，任意两个向量总是共面的，但任意三个向量可能是共面 的，也可能是不共面的. 3、能平移到同一平面内的三个向量叫作共面向量 9 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 模为0的向量称为零向量。 零向量 1、零向量的起点与终点重合 2、零向量的方向为任意方向 3、零向量与任意向量平行 模等于1个单位长度的向量称为单位向量. 单位向量 10 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、判断正误： （1）空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小（ ） （2）若向量、满足||＞||,则（ ） （3）向量的模是一个正实数（ ） （4）空间向量就是空间中的一条有向线段（ ） √ × × × 11 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、判断正误： （1）同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比 较大小。（ ） （2）任意两个空间向量都可以比较大小。（ ） （3）与实数类似，对于两个向量、,有=， ，三种大小关系。（ ） （4）空间非零向量就是空间中的一条有向线段。（ ） （5）在空间中，任意一个向量都可以进行平移.（ ） √ √ × × × 12 典 例 引 路 柯 西 例2、判断正误： （1）若空间向量、满足||=||，则= （ ） （2）若空间向量、、满足=、=，则= (　 　) （3）两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同． (　 　) （4）相等向量其方向必相同(　 　) （5）方向相同且模相等的两个向量是相等向量(　 　) （6）向量与向量是相等向量 （ ） （7）方向相反的两个向量是相反向量（ ） × × × √ √ √ √ 13 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、判断正误： (1)||=||是=的必要不充分条件（ ） (2)若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同( ) (3)平行且模相等的两个向量是相等向量( ) (4)不相等的两个空间向量的模必不相等( ) (5)向量与向量的长度相等（ ） (6)任一向量与它的相反向量不相等( ) × × × × √ √ 14 典 例 引 路 牛 顿 例3、判断正误： (1)在空间中，互为相反向量的两个向量必共线(    ) (2)共线的单位向量都相等 ( ) (3)若||=||,与共线 ( ) (4)共面向量一定平行 ( ) × × × √ 15 同 步 练 习 黎 曼 练3、判断正误： (1)若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可 以平行，也可以重合(　 　) (2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个 向量不共线． (　 　) (3)在空间中，任意两个向量都共面．(　 　) √ √ √ 16 典 例 引 路 狄利克雷 例4、判断正误： （1）只有零向量的模等于0 ( ) （2）零向量的方向是任意的 ( ) （3）零向量与任意向量平行 ( ) （4）将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们 的终点构成一个圆 ( ) √ √ √ × 17 同 步 练 习 庞加莱 练4、判断正误： (1)零向量没有方向( ) (2)由于 方向不定，故 不能与任何向量平行( ) (3)空间中任意两个单位向量必相等( ) × × × 18 典 例 引 路 皮 亚 诺 例5、如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3,AD=2,AA1=1,则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（     ） A.单位向量有8个 B.与相等的向量有3个 C.的相反向量有4个 D.模为的向量有4个 解：由题可知单位向量有、、、、、、、 共8个， 故A正确； 与相等的向量有、、共3个，故B正确； 向量的相反向量有、、、，共4个，故C正确； 模为的向量有、、、、、、、，共8个，故D错误． ABC 19 同 步 练 习 莱布尼兹 练5、如图，在正方体ABCD-A’B’C‘D’中 (1)向量、、与向量相等么？ (2)向量、、与向量是相反向量吗？ 解:（1）由于向量与向量的方向相同、长度相等，因而它们均与相等． （2）由于向量与向量 的长度相等，但方向相反，因而它们均是的相反向量． 20 全 课 总 结 一、空间向量、模的概念 二、空间向量的表示 三、相等向量、相反向量 四、共线向量、共面向量 五、零向量、单位向量 21 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 22 $