专题01 等比、等差数列中an和Sn的性质应用讲义-2026届高考数学二轮专题复习（全国适用）

专题02 等比、等差数列中an和Sn的性质应用 重点题型目录： 公式基础：题型归纳型 1、 等差数列性质： ①等差中项：任意两数的等差中项是; 注意：若则；、是公差分别为，的等差数列，则也是等差数列 ②通项公式法：（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（常数列也是等差数列）→若不为，则是等差数列充分条件）; ③前项和公式: → 可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件; ④当时，是单调递增的，当时，是单调递减的; ⑤非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能是等比数列） ⑥成等差数列 2、 等比数列性质： 若，则； ①等比中项：任意两数不一定有等比中项，除非有，则等比中项一定有两个 即．推广： ②通项公式法：；验证（为非零常数）. 若成等差数列 （其中），则成等比数列 ③前项和公式： ；(和不为零)成等比数列 ④等比数列中，若，则数列是单调递增的； 若，则数列是单调递减的； 若，则数列是常数列； 若，则数列是摆动数列. ⑤、是公比分别为，的等比数列，则 也是等比数列 ⑥正数列成等比的充要条件是数列（）成等差数列. 题型一 等差、等比数列的下标性质 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 例1．(1)（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若数列是等差数列，且，则（   ） A．1 B． C． D． (2)（24-25高三上·天津滨海新·期末）已知，若2是与等比中项，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 (3)（24-25高三上·天津西青·阶段练习）“数列为等差数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 (4)（25-26高三上·湖南·开学考试）在等比数列中，，，则（   ） A． B． C．数列是以4为公比的等比数列 D．数列的前项和为 (5)（25-26高三上·上海·阶段练习）已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若，，则的值是 ． (6)（25-26高三上·上海·阶段练习）若为等差数列，，则它的前12项和为 ． (7)（2025高三·全国·专题练习）已知在等差数列中，，则 ． (8)（2025高三·全国·专题练习）若等比数列中的，是方程的两个根，则 ． (9)．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知等比数列的公比，且，则 ． (10)．（2025·河北·模拟预测）已知是等比数列，，是函数的两个零点，则 . 【感悟提升】 等差数列中：（1）若，则；（2）若，则； 等比数列中：（1）若，则；（2）若，则； 题型二 等差、等比数列的函数性质 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 例3．(1)（24-25高三上·北京海淀·期中）已知等比数列的公比为，若为递增数列且，则（　　） A． B． C． D． (2)（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知数列的通项公式是，那么这个数列是（　　） A．摆动数列 B．递减数列 C．递增数列 D．常数列 (3)(2025·辽宁沈阳·模拟预测)设数列是等比数列，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (4)（25-26高三上·北京·开学考试）为等差数列的前项和，则“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 (5)（2025·广东·模拟预测）已知数列的各项均为正数，数列是常数列，则数列（    ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．先递增后递减 D．先递减后递增 (6)（2025·山西·三模）(多选)已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（     ） A．是递增数列 B．在的所有前项和中，前五项和最小 C．在的所有前项积中，前五项积最小 D．在的所有前项积中，前四项积最大 (7)（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）已知数列的前项和（、为常数），则“”是“为递增的等差数列”的 条件. (8)（24-25高二上·天津河北·期末）已知数列的通项公式，对任意的正整数，都有恒成立，则实数的取值范围为 . (9)（24-25高二上·福建三明·期末）已知数列满足，，令，数列的前n项和为，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． (10)（2025·北京·模拟预测）记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项和，已知 ， 其中 为某个常数，给出下列四个结论: ① 存在 使得 是非常数列的等比数列； ②存在 使得 是非常数列的等差数列； ③存在 使得 是递减数列； ④ 存在 使得 是递减数列. 其中所有正确结论的序号是 . 【感悟提升】 题型三 等差等比数列的判定与证明 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 例3．(1)（23-24高三下·上海·期中）下面关于等差､等比数列的说法正确的是（   ） A．前项和的数列是等差数列 B．证明数列是等比数列时，只需证明 C．若是等差数列，则也一定成等差数列 D． (2)（2025·江西鹰潭·一模）数列满足，，给出下列四个结论： ①存在正整数，且，使得； ②存在，使得，，成等比数列； ③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列； ④ 其中所有证确结论的是（   ） A．②③ B．③④ C．①②④ D．①③④ (3)（23-24高三上·新疆阿克苏·阶段练习）已知数列的前项和为，． (1)证时：为等比数列． (2)求数列的前项和． (4)（24-25高三下·四川成都·模拟）已知数列和满足， (1)求的通项公式； (2)若记的前n项和为，试证： ． ． (5)（24-25高三上·上海普陀·阶段练习）已知数列{an}、{bn}满足：a1=，an+bn=1，bn+1=. （1）求a2，a3； （2）证数列为等差数列，并求数列{an}和{bn}的通项公式； （3）设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，求实数λ为何值时4λSn＜bn恒成立. 题型四 等差、等比数列的片段和性质 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 例4．(1)．（24-25高高三上·广东揭阳·期末）已知数列是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． (2)．（25-26高三上·江苏苏州·阶段练习）已知，分别为等差数列，的前n项和，，设点A是直线外一点，点P是直线上一点，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． (3)．（24-25高三上·江苏苏州·期中）若等差数列的前n项和为，且，则的值为（    ） A． B． C． D．2 (4)．（24-25高三下·河南南阳·期末）已知等比数列的前项和为，则（    ） A．14 B．18 C．20 D．30 (5)．（25-26高三上·江苏苏州·期末）记等差数列的前项和为．若，则（   ） A．28 B．48 C．64 D．84 (6)．（24-25高三·云南昆明·阶段练习）已知是等差数列，且满足，则S20=（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【感悟提升】 设等差数列和的前n项和分别为，则，． 题型五 两个等差数列的前n项和之比 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 例5．(1)．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知等差数列 的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． (2)．（25-26高三上·河北秦皇岛·阶段练习）已知为等差数列的前项和，若且则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 (3)．（24-25高三上·陕西·阶段练习）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数k的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 (4)．（25-26高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A． B．2 C． D． (5)．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为且，则（    ） A． B． C． D．17 (6)．（25-26高三上·江苏苏州·阶段练习）设等差数列的前项和分别为．若，则（   ） A． B． C． D．2 (7)．（25-26高三上·山东·开学考试）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 (8)．（24-25高三上·辽宁·期中）已知，分别为等差数列，的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型六 等差、等比数列奇偶项之和 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 例6．(1)．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． (2)．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ） A． B．2 C． D． (3)．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（    ） A． B． C． D． (4)．（2025·安徽·模拟预测）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 (5)．（25-26高二上·广东深圳·期末）等差数列共有项，其中奇数项之和为，偶数项之和为，则的值是 A． B． C． D． (6)．（24-25高三上·安徽池州·期末）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 (7)．（24-25高三上·山西太原·阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（    ）. A．11 B．12 C．13 D．14 (8)．（24-25高三下·四川眉山·阶段练习）(多选)设是数列的前项和，则下列说法正确的是（   ） A．若等差数列的项数为，为所有奇数项的和，为所有偶数项的和，则 B．若是等差数列，则是与的等差中项 C．若是等比数列，则是与的等比中项 D．若数列是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是 (9)．（24-25高三上·江苏·阶段练习）(多选)下列结论中正确的有（    ） A．若为等差数列，它的前项和为，则数列也是等差数列 B．若为等差数列，它的前项和为，则数列，，，也是等差数列 C．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则 D．若各项均不为0的等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则 (10)．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）(多选)下列结论中正确的有（  ） A．若 为等差数列，它的前n项和为 Sn，则数列 也是等差数列 B．若为等比数列，则 也是等比数列 C．若各项均不为的等差数列的项数为，它的偶数项和为 奇数项和为 则 D．已知等差数列的公差为，则 (11)．（24-25高二下·广西南宁·期中）(多选)已知为数列的前项和，则下列结论成立的有（    ） A．若正项数列为等比数列，则数列为等差数列 B．若数列为等差数列，，则 C．已知等差数列共有项，其中所有奇数项之和为290，所有偶数项之和为261，则 D．若数列的通项公式为，则该数列的前100项和 (12)．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 【感悟提升】 （1）设等差数列的公差为d，的前n项和分别为， 若数列共有项，则，； 若数列共有项，则，． （2）若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： 若项数为，则，若项数为，则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等比、等差数列中an和Sn的性质应用 重点题型目录： 公式基础：题型归纳型 1、 等差数列性质： ①等差中项：任意两数的等差中项是; 注意：若则；、是公差分别为，的等差数列，则也是等差数列 ②通项公式法：（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（常数列也是等差数列）→若不为，则是等差数列充分条件）; ③前项和公式: → 可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件; ④当时，是单调递增的，当时，是单调递减的; ⑤非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能是等比数列） ⑥成等差数列 2、 等比数列性质： 若，则； ①等比中项：任意两数不一定有等比中项，除非有，则等比中项一定有两个 即．推广： ②通项公式法：；验证（为非零常数）. 若成等差数列 （其中），则成等比数列 ③前项和公式： ；(和不为零)成等比数列 ④等比数列中，若，则数列是单调递增的； 若，则数列是单调递减的； 若，则数列是常数列； 若，则数列是摆动数列. ⑤、是公比分别为，的等比数列，则 也是等比数列 ⑥正数列成等比的充要条件是数列（）成等差数列. 题型一 等差、等比数列的下标性质 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 例1．(1)（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若数列是等差数列，且，则（   ） A．1 B． C． D． 答案 D 解 因为是等差数列，所以，，解得，故．故选：D (2)（24-25高三上·天津滨海新·期末）已知，若2是与等比中项，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 答案 B 思路分析: 根据2是与的等比中项可得，的等量关系，然后直接利用基本不等式可求的最小值即可． 解 ∵2是与的等比中项， ∴，∴，即，结合可得，， ∴ ， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为，故选：B. (3)（24-25高三上·天津西青·阶段练习）“数列为等差数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案 A 解:如果数列是等差数列，根据等差数列的下标性质可得一定有， 反之成立，不一定有数列是等差数列， 比如满足，但是数列不是等差数列， 所以“数列为等差数列”是“”的充分不必要条件. 故选：A. (4)（25-26高三上·湖南·开学考试）在等比数列中，，，则（   ） A． B． C．数列是以4为公比的等比数列 D．数列的前项和为 答案 BCD 解 由等比数列的性质可知，又，， 所以，所以，A错误； 设等比数列的公比为，由，解得，则， 所以，B正确； 由上可知，，设，则， 所以数列是以4为公比的等比数列，C正确； 设数列的前项和为，则，D正确. 故选：BCD. (5)（25-26高三上·上海·阶段练习）已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若，，则的值是 ． 【答案】 【详解】由于数列是等比数列， 则，，， 由于数列是等差数列， 则，，， 则， 故答案为：. (6)（25-26高三上·上海·阶段练习）若为等差数列，，则它的前12项和为 ． 【答案】 【详解】根据题意可知前12项和为， 又易知， 所以前12项和为. 故答案为：. (7)（2025高三·全国·专题练习）已知在等差数列中，，则 ． 【答案】36 【详解】因为， 则， 所以. 故答案为：36 (8)（2025高三·全国·专题练习）若等比数列中的，是方程的两个根，则 ． 【答案】/ 【详解】由题意得． 因为，，…，，， 所以． 因为，所以， 则． 故答案为：. (9)．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知等比数列的公比，且，则 ． 【答案】 【详解】由等比数列的公比，且， 则 ， 所以. 故答案为：. (10)．（2025·河北·模拟预测）已知是等比数列，，是函数的两个零点，则 . 【答案】 【详解】，是函数的两个零点，即是方程的两根. 所以，，可知，均为负数， 又，且与，同号，故. 故答案为： 【感悟提升】 等差数列中：（1）若，则；（2）若，则； 等比数列中：（1）若，则；（2）若，则； 题型二 等差、等比数列的函数性质 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 例3．(1)（24-25高三上·北京海淀·期中）已知等比数列的公比为，若为递增数列且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为等比数列为递增数列且， 所以，则，即，故选：C. (2)（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知数列的通项公式是，那么这个数列是（　　） A．摆动数列 B．递减数列 C．递增数列 D．常数列 【答案】C. 【详解】因为， 所以数列是递增数列，故选：C (3)(2025·辽宁沈阳·模拟预测)设数列是等比数列，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，，虽然有，但是数列为摆动数列，并不是递增数列，所以不充分； 反之当数列是递增数列时，则必有，因此是必要条件，故选：B． (4)（25-26高三上·北京·开学考试）为等差数列的前项和，则“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】充分性判断：设数列首项，公差， 则通项公式为，其前项和，显然数列为递减数列，又，显然数列为递增数列， 所以“数列为递增数列”无法推出“数列为递增数列”，故充分性不成立. 必要性判断：设数列首项，公差， 则通项公式为，是一个常数列，其前项和，显然数列为递增数列，又，也是一个常数列，显然不是递增数列， 所以“数列为递增数列”无法推出“数列为递增数列”， 故必要性不成立.所以“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选：D. (5)（2025·广东·模拟预测）已知数列的各项均为正数，数列是常数列，则数列（    ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．先递增后递减 D．先递减后递增 【答案】A 【详解】设（k为常数），所以， 因为，所以，令，则， 所以，所以单调递减，所以，所以， 所以， 所以，所以数列为递增数列．故选：A. (6)（2025·山西·三模）(多选)已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（     ） A．是递增数列 B．在的所有前项和中，前五项和最小 C．在的所有前项积中，前五项积最小 D．在的所有前项积中，前四项积最大 【答案】ABD 【详解】对于A，，即是等差数列，且为递增数列，故A正确； 对于B，由均为负数，时，，故B正确； 对于C，由均为负数，时，，所以，当时，， 且为递增数列，所以前项积没有最小值，故C错误； 对于D，由，且此时最大，由于，时，， 所以，当时，，故D正确.故选：ABD． (7)（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）已知数列的前项和（、为常数），则“”是“为递增的等差数列”的 条件. 【答案】充要 【分析】由时，求出，再证明为等差数列，要使为递增的等差数列则即可，再结合充分条件和必要的条件定义即可得出答案. 【详解】当时，， 当时，， 令时，，所以， ， 所以为公差为的等差数列， ，为公差，所以为递增的等差数列， 为递增的等差数列，则，解得：， 所以“”是“为递增的等差数列”的充要条件.故答案为：充要. (8)（24-25高二上·天津河北·期末）已知数列的通项公式，对任意的正整数，都有恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由可得任意的正整数恒成立，解出的范围即可. 【详解】由题，对任意的正整数，都有恒成立， ，即恒成立， 对任意的正整数恒成立，，即. 故答案为：. (9)（24-25高二上·福建三明·期末）已知数列满足，，令，数列的前n项和为，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由条件关系可得,证明数列是等比数列,由此可求,再利用错位相减法求数列的和，最后分奇偶讨论恒成立求参数范围. 【详解】因为，所以， 所以，即， 又当时，， 故数列是以3为首项3为公比的等比数列， ，. 上两式相减得， ， 对任意，恒成立，则， 当n为偶数，则恒成立， 令，则， 所以是关于的减函数，得， 所以； 当n为奇数，则， 因为是关于的减函数，得， 所以是关于的增函数，得， 所以.综上可得.故答案为：. (10)（2025·北京·模拟预测）记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项和，已知 ， 其中 为某个常数，给出下列四个结论: ① 存在 使得 是非常数列的等比数列； ②存在 使得 是非常数列的等差数列； ③存在 使得 是递减数列； ④ 存在 使得 是递减数列. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】②③④ 【分析】已知，可表达，则由，可得出与的关系，从而判断①和③，由与的关系，假设存在 使得 是非常数列的等差数列，则，验证是否存在，使关系恒成立从而判断②，由递减数列的定义验证判断④. 【详解】由已知，，则， 当时，，则， 整理该式，可得，则， 当时，数列不是等比数列，时，公比为1，不存在 使得 是非常数列的等比数列，①错误； 当时，，此时，只需满足即可，数列递减，存在 使得 是递减数列，③正确； 设存在 使得 是非常数列的等差数列，则，且，则，即， 整理可得（，当时，等式成立，②正确； 因为，则，则， 若时，数列 是递减数列，④正确. 故答案为： ②③④. 【感悟提升】 题型三 等差等比数列的判定与证明 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 例3．(1)（23-24高三下·上海·期中）下面关于等差､等比数列的说法正确的是（   ） A．前项和的数列是等差数列 B．证明数列是等比数列时，只需证明 C．若是等差数列，则也一定成等差数列 D． 【答案】C 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，数列的前项和， 则有，数列不是等差数列，A错误； 对于B，证明数列是等比数列时，还需要考虑是否为，B错误； 对于C，由等差数列的性质，若是等差数列，则也一定成等差数列，C正确；对于D，当时，该等式不成立，D错误. 故选：C. (2)（2025·江西鹰潭·一模）数列满足，，给出下列四个结论： ①存在正整数，且，使得； ②存在，使得，，成等比数列； ③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列； ④ 其中所有证确结论的是（   ） A．②③ B．③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】对于①，求得，判断；对于②，利用反证法，推出矛盾，判断；对于③，利用递推公式得到，求出存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列，判断；对于④，因为，则，算出，判断. 【详解】对于①，由题意知数列中的项：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，…， 可得，故①正确； 对于②，若存在，使得，，成等比数列， 则，又，即，解得， 由，， 得，且为整数， 所以，这与相邻两项为整数矛盾，故②错误； 对于③，因为，，， 所以，所以，则，，成等差数列， 故存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列，故③正确； 对于④，因为，则， 则 ，故④正确；故选：D. (3)（23-24高三上·新疆阿克苏·阶段练习）已知数列的前项和为，． (1)证时：为等比数列． (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）当时，由，得，而，即， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列. （2）由（1）得，即， 因此， 所以 . (4)（24-25高三下·四川成都·模拟）已知数列和满足， (1)求的通项公式； (2)若记的前n项和为，试证： ． 【答案】(1)(2)证明见解析 思路分析:（1）根据两递推关系分别相加、相减，可得等比、等差数列，求出通项公式，再相加即可得出的通项公式； （2）求出的，显然不等式成立，当时，根据放缩不等式及裂项相消求和法证明. 【详解】（1）数列和满足，① ．② 由①+②得： 所以，即 所以数列是为首项，为公比的等比数列． 所以③． 同理①﹣②得， 即（常数）， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． 所以．④ ③+④得，所以． （2）由数列的前n项和为， 所以＝ ．＝， 所以＜， 因为 即时，都有成立； 当， 综上，成立． (5)（24-25高三上·上海普陀·阶段练习）已知数列{an}、{bn}满足：a1=，an+bn=1，bn+1=. （1）求a2，a3； （2）证数列为等差数列，并求数列{an}和{bn}的通项公式； （3）设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，求实数λ为何值时4λSn＜bn恒成立. 【答案】（1）；（2）证明见解析，，（3）λ≤1 思路分析:（1）由给出的，循环代入和可求解，； （2）由得，结合，去掉与得到与的关系式，整理变形后可证得数列是以4为首项，1为公差的等差数列，求出其通项公式后即可求得数列和的通项公式； （3）首先利用裂项求和求出，代入，通过对分类讨论，结合二次函数的最值求使恒成立的实数的值． 【详解】（1）解：，，， ，，， ∴； （2）证明：由， ， ，即，， 数列是以4为首项，1为公差的等差数列， ，则， ； （3）解：由， ， ， 要使恒成立，只需恒成立， 设， 当时，恒成立； 当时，由二次函数的性质知不满足对于任意恒成立； 当时，对称轴，在，为单调递减函数， 只需， ，∴时，恒成立， 综上知：时，恒成立． 题型四 等差、等比数列的片段和性质 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 例4．(1)．（24-25高高三上·广东揭阳·期末）已知数列是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，设，为非零实数，则， 因为数列是等差数列， 所以，…，是以为首项，为公差的等差数列，所以，解得，所以， 故选：A (2)．（25-26高三上·江苏苏州·阶段练习）已知，分别为等差数列，的前n项和，，设点A是直线外一点，点P是直线上一点，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据等差数列前项和公式的二次函数特性，且， 不妨设， 则， 又三点共线，则，所以.故选：A (3)．（24-25高三上·江苏苏州·期中）若等差数列的前n项和为，且，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C. 【详解】设等差数列的公差为， 化为：，故选：C (4)．（24-25高三下·河南南阳·期末）已知等比数列的前项和为，则（    ） A．14 B．18 C．20 D．30 【答案】D 【详解】是等比数列，， 成首项为2，公比为2的等比数列，，故.故选：D. (5)．（25-26高三上·江苏苏州·期末）记等差数列的前项和为．若，则（   ） A．28 B．48 C．64 D．84 【答案】B 【详解】设首项为，公差为，由题意得， 则，解得，， 可得，故B正确.故选：B (6)．（24-25高三·云南昆明·阶段练习）已知是等差数列，且满足，则S20=（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【详解】设等差数列的首项为，公差为，， ，，解得：，则. 故选：C 【感悟提升】 设等差数列和的前n项和分别为，则，． 题型五 两个等差数列的前n项和之比 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 例5．(1)．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知等差数列 的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，条件可化为，设，， 则， ，则.故选：A. (2)．（25-26高三上·河北秦皇岛·阶段练习）已知为等差数列的前项和，若且则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】B 【详解】由题意可得，，化简， 所以，.故选：B. (3)．（24-25高三上·陕西·阶段练习）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数k的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由等差数列的求和公式，得到，，求得，即可求解. 【详解】因为，所以，同理可得， 则， 当时，为整数，即满足条件的k的个数为5.故选：C. (4)．（25-26高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由题知，所以.故选：C. (5)．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为且，则（    ） A． B． C． D．17 【答案】A 【详解】因为，且，所以，所以为等比数列． 因为，所以， 因为，所以，即的公比． 所以．故选：A． (6)．（25-26高三上·江苏苏州·阶段练习）设等差数列的前项和分别为．若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】由题意得， 因为，所以，故A正确. 故选：A (7)．（25-26高三上·山东·开学考试）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由等差数列的性质可得，要使为整数，即为整数，计算即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得， 因为，所以， 因为，要使为整数，即为整数， 所以，共个， 即使得为整数的正整数的个数是. 故选：C (8)．（24-25高三上·辽宁·期中）已知，分别为等差数列，的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列前项和的性质可求解，结合向量共线的性质 【详解】由题意可知三点共线，且，故， 由于可得则，其中为非零实数， 故， 故，故，得，故选：A 题型六 等差、等比数列奇偶项之和 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 例6．(1)．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】项数为的中奇数项共有项, 其和为 项数为的中偶数项共有项, 其和为 所以解得故选: A. (2)．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】当时，，又， 即前10项分别为， 所以数列的前10项中，，所以，故选：C． (3)．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知，， 所以，所有奇数项的和为， 于是可得.故选：A. (4)．（2025·安徽·模拟预测）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】A 【详解】根据题意，数列为等比数列，设， 又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则， 故；故选： (5)．（25-26高二上·广东深圳·期末）等差数列共有项，其中奇数项之和为，偶数项之和为，则的值是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】等差数列共有项，偶数项之和， 奇数项之和，因此， 所以.故选：A (6)．（24-25高三上·安徽池州·期末）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】D 【详解】设，则， 又因为，所以， 所以.故选: D (7)．（24-25高三上·山西太原·阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（    ）. A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，∴， 设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，即， ∴，∵,∴解得，又前3项之积，解得，∴.故选:B. (8)．（24-25高三下·四川眉山·阶段练习）(多选)设是数列的前项和，则下列说法正确的是（   ） A．若等差数列的项数为，为所有奇数项的和，为所有偶数项的和，则 B．若是等差数列，则是与的等差中项 C．若是等比数列，则是与的等比中项 D．若数列是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是 【答案】ABD 【分析】A选项，利用等差数列的性质和求和公式分别求出、，两式作差可判断A正确；B选项，利用等差数列的求和公式求出的通项公式，由可判断为等差数列，根据等差数列的性质可判断B正确；C选项，令时，求出、、，即可根据等比数列中的项不能为0判断C错误；D选项，根据题意得，利用累加法及等比数列的求和公式求出的通项公式即可判断D正确. 【详解】A选项，奇数项有项，首项为，末项为，所以， 偶数项有项，首项为，末项为，所以， 所以，A选项正确； B选项，设等差数列的首项为，公差为，则，， 因为，所以数列为等差数列，因为，所以是与的等差中项，故B正确； C选项，因为是等比数列，设其公比为q，当时，，等比数列中的项不能为0，此时不是与的等比中项，故C错误； D选项，，当时， ， 满足上式，所以，故D正确.故选：ABD (9)．（24-25高三上·江苏·阶段练习）(多选)下列结论中正确的有（    ） A．若为等差数列，它的前项和为，则数列也是等差数列 B．若为等差数列，它的前项和为，则数列，，，也是等差数列 C．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则 D．若各项均不为0的等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则 【答案】AD 【详解】对于A，，数列是等差数列，故正确； 对于B，，，是等差数列，故错误； 对于C，，， 所以，故错误；对于D，，，所以，故正确；故选：AD. (10)．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）(多选)下列结论中正确的有（  ） A．若 为等差数列，它的前n项和为 Sn，则数列 也是等差数列 B．若为等比数列，则 也是等比数列 C．若各项均不为的等差数列的项数为，它的偶数项和为 奇数项和为 则 D．已知等差数列的公差为，则 【答案】ABC 【分析】写出的表的式再根据等差数列的定义可判断A；利用等比数列的定义可判断B；利用等差数列求和公式及下标和的性质可判断C，利用整体思想可判断D. 【详解】对于A，若是等差数列，设数列的公差为， 则， 所以， 所以数列是公差为的等差数列，故A正确； 对于B，若是等比数列，则，设数列的公比为，则， 所以数列是公比为的等比数列，故B正确； 对于C，若各项均不为0的等差数列的项数为， 则，故C正确； 对于D，若等差数列的公差为，， 则， ， 所以，故D错误. 故选：ABC (11)．（24-25高二下·广西南宁·期中）(多选)已知为数列的前项和，则下列结论成立的有（    ） A．若正项数列为等比数列，则数列为等差数列 B．若数列为等差数列，，则 C．已知等差数列共有项，其中所有奇数项之和为290，所有偶数项之和为261，则 D．若数列的通项公式为，则该数列的前100项和 【答案】ABC 【详解】对于A：设正项数列为等比数列的公比为，所以， 所以， 则， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B：数列为等差数列，设公差为，则，， 又，即，化简可得， 则，，所以，故B正确； 对于C：设等差数列的所有奇数项之和为，所有偶数项之和为， 由题知， ， 两式相减，可得，故C正确； 对于D：， 则， 所以，故D错误； 故选：ABC (12)．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 【答案】2 【分析】根据已知有，结合等比数列的性质得，再应用等比数列的通项公式求首项. 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则， 所以，则.故答案为：2 【感悟提升】 （1）设等差数列的公差为d，的前n项和分别为， 若数列共有项，则，； 若数列共有项，则，． （2）若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： 若项数为，则，若项数为，则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $