专题03 数列不等式的恒成立和能成立讲义2026届高考数学二轮专题复习（全国适用）

专题09 数列不等式的恒成立和能成立 知识基础：题型归纳型 一、数列不等式问题可以分为恒成立问题和存在性（有解）问题： （1）恒成立,则 （2）恒成立,则 （3）成立,则 （4）成立,则 对于不等式题型,可以转化为最值问题.对于求最值,需要分析单调性,数列可通过作差法或作商法进行判断.即对恒成立,数列单调递增.对恒成立,数列单调递减.从而分析得到数列的最值. 二、根据与数列通项有关的不等式恒成立,求参数范围 1.求解与数列有关的不等式恒成立问题,可把问题转化为关于n的不等式求解,求解时要注意n是不连续的,防止误用函数性质出错； 2.恒成立数列递增恒成立； 3.求解与数列通项有关的不等式恒成立问题,有时可分离参数转化为最值问题,求数列通项的最值常用方法是根据的符号判断数列单调性,然后再根据数列单调性求最值. 题型归纳： 题型一 证明不等式恒成立 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 例1．（24-25高三下·浙江杭州·期中）已知数列满足，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为（    ） A．403 B．404 C．405 D．406 答案 C 思路分析:利用累加法结合等比数列的项和求出数列的通项，再利用分离参数法求解即可. 解 由，得， 则， 累加得， 所以， 因为恒成立，所以恒成立，即恒成立， 因为，所以，所以，即的最大值为. 故选：C. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知对于任意的，数列都满足. (1)求数列的通项公式； (2)求证：时，. 答案 (1) (2)证明见解析 思路分析: （1）根据即可求解； （2）由（1）可知：当时，，结合等比数列的前项和公式即可证明. 解 （1）由题设有①， 当时，②， ①－②得，所以. 又当时，由得，不符合上式， 综上，数列的通项公式为. （2）由（1）可知：当时，， 所以， 所以当时，. 【感悟提升】 因为数列可以看做定义域为正整数的特殊函数，因此在很多解题思路上可以结合函数的思想来进行解决，如数列的单调性、最值以及不等式等。 放缩法分两种：先放缩再求和，先求和再放缩。记住常见的放缩形式是解决问题的关键。 变式训练：1.（2025高三·全国·专题练习）(多选)已知等比数列的公比不为1且相邻三项调整次序后可为等差数列，若，存在实数使得对任意恒成立，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 答案 BCD 思路分析:由等比数列的通项公式及等差中项的性质求得公比或，根据恒成立确定，应用等比数列前n项和得，进而得，结合已知，即可判断各项正误. 解 设等比数列的公比为，相邻三项为， 则或或， 故或或，故或， 若，则， 当为奇数时，，时，故， 当为偶数时，，时，故，与题设矛盾； 所以，此时， 当为奇数时，当为偶数时，则， 所以在上单调递增，则， 由恒成立，故.故选：BCD 2.（2025高三·全国·专题练习）已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 答案 (1)(2)证明见解析 思路分析:（1）利用数列前项和与的关系，再结合首项的值确定通项即可； （2）法一：直接放缩法，利用法二：由可得. 解 （1）因为为正项数列，①， 当时，得；当时，②， ①－②得，，得． 所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以． （2）解法1：因为， 所以当时， 当时也符合，所以原不等式成立． 解法2：因为，所以， 所以， 所以当时， ， 当时，不等式的左边也符合，所以原不等式成立． 题型二 数列求通项有关的恒成立与能成立 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 例2．（24-25高三下·全国·强基计划）(多选)已知，（，）．下列选项中正确的有（    ） A．存在λ，使存在正整数N，使时，恒成立 B．存在λ，使不存在正整数N，使时，恒成立 C．存在λ，使存在正整数N，使时，恒成立 D．存在λ，使不存在正整数N，使时，恒成立 答案 BCD 思路分析:分和情况进行讨论分析即可 解 若，则，，则正负交替，B,D选项正确； 若，令，即时，即时，即成立，即成立，显然存在正整数N，使时，. ∴，A选项错误，C选项正确． 故选：BCD． 3．（24-25高三上·山东·期末）已知正项数列的前n项和为，；数列是递增的等比数列，公比为q，且，的等差中项为10，，的等比中项为8． (1)求，的通项公式； (2)设，为的前n项和，若能成立，求实数的最大值． 答案 (1)， (2) 思路分析:（1）利用的关系式即可求得是等差数列，可得；再利用等比数列定义即可求得，可得； （2）采用分组求和并利用等差、等比数列前项和公式即可求得，不等式能成立等价于，利用单调性可求得. 解 （1）由可得， 当时，，两式相减得， ∴， 即．∵， ∴（）， 即可得是等差数列． 由，得，∴， 即． 由题意得，即，解得或． ∵是递增的等比数列， ∴，所以，得， ∴．所以和的通项公式为，． （2）由（1）得： ． 能成立，等价于能成立， 化简得能成立，即． 设，则 ， ∴是递减数列，故的最大值为． ∴，因此的最大值为． 【感悟提升】 数列数特殊的函数，数列恒成立或能成立问题就可以转化为函数的恒成立和能成立问题（注意定义域）。因此数列求参数值或者范围的问题就可以转化为求函数最值的问题。再做题中一定要注意函数的定义域。 变式训练：2.（25-26高三上·四川乐山·期末）在数列中，，，若不等式对任意恒成立，则实数λ的值可以是（   ） A．1 B．0 C． D． 答案 AB 思路分析: 根据条件，利用累加法得到，从而将问题转化成恒成立，令，利用数列的单调性得到，即可求出结果. 解 因为， 当时，， 又，所以， 又时，满足，所以， 由，得到， 令，则， 当时，，得到，当时，， 所以，又， 当为偶数时，，得到， 当为奇数时，，得到，所以， 故选：AB. 3.（2025·浙江·一模）已知数列的首项是1，其前项和是，且，. (1)求，的值及数列的通项公式； (2)若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值. 答案 (1)，， (2)4或5 思路分析:（1）用累加法得到数列通项公式； （2）求出数列前项和，列出不等式，构造函数利用导函数求最大值，并找到最大值点. 解 （1）∵，∴ 当时，， 即， 当时，也满足， ∴，∴，. （2）由（1）可知， ∴，∴ 令， ，当时，，单调递增; 当时，,单调递减; ∵, ∴当或时，取得最大值70， ∴取得最大值时，取4或5. 题型三 数列求和有关的恒成立、能成立问题求参 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 例3．（24-25高三下·福建福州·期中）(多选)已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的值可以为（   ） A． B． C．5 D． 答案 ABC 思路分析:先根据与的关系求出数列的通项，再利用分离参数法求解即可 解 由， 当时，，所以， 当时，，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则，即为， 所以对任意正整数n恒成立， 又因为，所以.故选：ABC. 4.（2025高三·江苏·专题练习）(多选)设数列满足：，为数列的前n项和；若数列满足：，且对任意的正整数n，都有成立，则有以下说法正确的是（     ） A．数列是等比数列 B．数列的最大项为或 C．t的取值范围为 D．对任意的恒成立 答案 ABD 思路分析:利用等比数列的定义结合已知条件即可判断A选项；求出，再由的正负得到数列的单调性，进而判断B选项；利用B选项中数列的单调性求出最大值，再结合一元二次不等式得解法即可判断C选项；由选项A的分析得到表达式，进而判断D选项． 解 解：对A，因为， 所以 ， 两式相减得：，即，又因为， 所以，所以是以为首项，以为公比的等比数列，故A正确； 对B，由选项A的分析知，，即，所以， 由 ，可得， 由，可得，所以 故的最大值为，故B正确； 对C，由选项B的分析知，对任意的，都有，所以，即， 则，所以，解得或， 所以t的取值范围为，故C错误； 对D，由， 所以 ， 所以，故D正确.故选：ABD． 5.（2025·河南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. (1)求的通项公式； (2)对于任意，求实数的取值范围. 答案 (1)(2) 思路分析:（1）根据等差数列通项公式结合等比中项计算求解； （2）先把转化为，再根据的单调性得出最大项，最后得出参数范围. 解 （1）设等差数列的公差为， 由已知可得， 因为，解得，又， 得，所以. （2）由（1）可知，则， 由可得， 令， ， 当时，， 当时，，则数列的最大项为，故， 即实数的取值范围为. 【感悟提升】 做这种题的关键是“转化” 思路一：可以转化为不等式组，然后进行求解； 思路二：可以转化为函数，利用函数的最值进行求解。 变式训练：3.（2025·山西临汾·二模）(多选)已知数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B．是单调递增数列 C．若为数列的前项和，则 D．若对任意，都有，则 答案 ABC 思路分析:根据累乘法可得，即可判断A,根据即可求解B，根据裂项相消法即可求解C，根据单调性，对分奇偶即可求解D. 解 由，可得， 故, 也符合， 故，，A正确， 由于，故，因此是单调递增数列，B正确， ， 故，C正确， 由可定， 当为偶数时，则恒成立，由于单调递增，故， 当为奇数时，则恒成立，由于单调递增，故， 故对任意，都有，则，故D错误， 故选：ABC 4.（25-26高三上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 答案 (1)证明见解析 (2)①；② 思路分析:（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证． （2）运用错位相减求和法求，根据数列单调性处理不等式恒成立，进而求出实数的取值范围． 解 （1）证明：因为， 所以． 因为，所以． 又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列． （2）①由（1）可得，则， ， ， 两式相减得：， 即， 所以，则． ②因为不等式对任意的正整数恒成立， 所以对任意的正整数恒成立， 即， 设在为增函数， 所以. 故实数的取值范围为 5.（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）已知数列的前项为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且. (1)求，； (2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值. 答案 (1)， (2) 思路分析: （1）根据与的关系求解，结合等比数列的求和公式及题设分，两种情况求解； （2）转化问题为对任意的恒成立，进而利用不等式组求得的最小值，即可求解. 解 （1）由， 当时，， 当时，，满足上式，所以. 由，正项等比数列的首项为1， 当公比时，，，不满足； 当公比，且时，，解得，此时.综上所述，. （2）由，，则， 即对任意的恒成立， 当时，，当时，设数列在第项取得最小值， 则，解得， 而，则，此时取得最小值， 由于，即，则实数的最大值为. 6.（24-25高三下·云南·期末）已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 答案 (1)证明见解析(2)①；② 思路分析:（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证． （2）运用错位相减求和法求，根据数列单调性处理不等式恒成立（此处注意根据的奇偶分类讨论），进而求出实数的取值范围． 解 （1）证明：因为， 所以． 因为，所以． 又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列． （2）①由（1）可得，则， ，， 两式相减得：， 即， 所以，则． ②因为不等式对任意的正整数恒成立， 即对任意的正整数恒成立， 当为偶数时，因为在为增函数， 所以； 当为奇数时，对任意的正整数恒成立，所以，解得． 综上，实数的取值范围为． 2026高考模拟热身训练 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆沙坪坝·期末）已知数列的前项和为，若对任意的正整数，都有，则称为“和谐数列”，若数列为“和谐数列”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 思路分析:讨论与的情况，对的情况，计算，由，可得结果. 【详解】解：当时，显然满足； 当时，， 由可得，即， 由恒成立，可得. 综上可知， 故选：B. 2．（2025·广东·一模）已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 思路分析:首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和，最后利用函数的单调性求出结果. 【详解】数列满足，① 当时，，② ①②得，，故， 则， 则， 由于恒成立， 故， 整理得：， 因随的增加而减小， 所以当时，最大，且为， 即. 故选：D 3．（25-26高三上·辽宁·期末）在等比数列中．则能使不等式成立的正整数的最大值为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 思路分析:首先可得，即可得到时，，时，，再根据下标和性质得到，，，，即可得到，从而得解. 【详解】解：因为，所以公比，则， 时，，时，， 又，所以，，，， 则， 又当时，， 所以能使不等式成立的最大正整数是． 故选：C． 4．（2025·上海松江·一模）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 思路分析:由已知可得数列为等差数列，首项为8，公差为-2，由等差数列的前n项和公式可得，由二次函数的性质可得或5时，取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得k的取值范围． 【详解】解：由已知可得， 由，所以数列为等差数列，首项为8，公差为-2， 所以， 当n=4或5时， 取得最大值为20， 因为有且只有两个正整数n满足， 所以满足条件的和， 因为， 所以实数k的取值范围是． 故选：C． 二、多选题 5．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，那么下列选项正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列的通项公式为 C． D． 【答案】ABD 思路分析:根据题设的关系，可判断是否为等比数列，进而可得的通项公式，应用分组求和及等比数列前n项和得，再写出通项，应用裂项法求，即可判断各选项的正误. 【详解】由题设知：，则且，即是等比数列； ∴，且， 又， ∴. 故选：ABD. 6．（25-26高三·全国·专题练习）设数列的前项和为，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称数列为“数列”．则以下数列为“数列”的是（    ） A．是等差数列，且，公差 B．是等比数列，且公比满足 C． D．， 【答案】BC 思路分析:求出数列的前项和，然后判断对，有无正实数，使得成立. 【详解】A中，若是等差数列，，公差， 则，是关于的二次函数，当时，，对于任意的，不存在实数，使得恒成立，所以数列不是“数列”． B中，若是等比数列，且公比满足， 则， 所以数列是“数列”． C中，， 所以 ， 则数列是“数列”． D中，在数列中，，， 当是奇数时，， 数列中奇数项构成常数列，且各项均为1； 当是偶数时，，即任意两个连续偶数项和为0， 则对于任意的，，不存在实数，使得恒成立． 所以数列不是“数列”． 故选：BC． 7．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知等比数列的前n项和为满足，数列满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．设，，则的最小值为12． C．若对任意的恒成立，则 D．设若数列的前n项和为，则 【答案】CD 思路分析:A.利用等比数列的前n项和公式的特点；B.由，利用对勾函数的性质求解判断；C.由对恒成立求解判断；D.由求解判断. 【详解】由为等比数列，其前n项和，则，故A不正确； 由，，令，则当，时，， 当，时则，故B不正确； 由，可得，则，若对恒成立， 即对恒成立， 令，则 当时，；当时，，当时，，则，则，故C正确； ，则 ，故D正确. 故答案为：CD 三、填空题 8．（24-25高三上·山东滨州·阶段练习）已知等差数列满足，，则数列的通项公式 ；若数列的前n项和为，则使的最大正整数n为 ． 【答案】 5 【分析】利用等差数列的通项公式列方程组，求出首项与公差，即得数列的通项公式，再利用错位相减法求数列的前n项和，最后解不等式即可. 思路分析:解析设等差数列的公差为d，由已知可得 ，解得， 故数列的通项公式为. 由，有 两式相减得： 所以，由，得，故最大正整数n为5. 故答案为：；5. 9．（24-25高三·全国·课后作业）已知数列满足，，若集合中有3个元素，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 思路分析:构造数列得到是等比数列，公比为2，求出，从而得到，研究出当时，，故单调递减，求出数列中最大的四个值为，从而求出实数t的取值范围. 【详解】，故，即是等比数列，公比为2，首项为， 所以， 故集合， 即， 令，则， ， 其中， 当时，，故单调递减， 所以数列中最大的四个值为，对应的为， 故实数t的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 10．（2025·河北唐山·二模）已知为等差数列的前项和，，． （1）求； （2）记数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）由已知等差数列的前n项和求基本量，写出即可； （2）利用裂项求和法求，应用放缩法证明不等式. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， ∴由题意，有，得，． ∴． （2）， ∴，． 11．（24-25高三下·上海闵行·期末）已知函数的图象与轴正半轴的交点为，． （1）求数列的通项公式； （2）令（为正整数），问是否存在非零整数，使得对任意正整数，都有？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，. 【分析】（1）把点A带入即可 （2）根据（1）的计算出、，再解不等式即可 【详解】（1）设，得，． 所以 ； （2），若存在，满足恒成立 即：， 恒成立   当为奇数时， 当为偶数时， 所以， 故： . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数列不等式的恒成立和能成立 知识基础：题型归纳型 一、数列不等式问题可以分为恒成立问题和存在性（有解）问题： （1）恒成立,则 （2）恒成立,则 （3）成立,则 （4）成立,则 对于不等式题型,可以转化为最值问题.对于求最值,需要分析单调性,数列可通过作差法或作商法进行判断.即对恒成立,数列单调递增.对恒成立,数列单调递减.从而分析得到数列的最值. 二、根据与数列通项有关的不等式恒成立,求参数范围 1.求解与数列有关的不等式恒成立问题,可把问题转化为关于n的不等式求解,求解时要注意n是不连续的,防止误用函数性质出错； 2.恒成立数列递增恒成立； 3.求解与数列通项有关的不等式恒成立问题,有时可分离参数转化为最值问题,求数列通项的最值常用方法是根据的符号判断数列单调性,然后再根据数列单调性求最值. 题型归纳： 题型一 证明不等式恒成立 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 例1．（24-25高三下·浙江杭州·期中）已知数列满足，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为（    ） A．403 B．404 C．405 D．406 2．（2025高三·全国·专题练习）已知对于任意的，数列都满足. (1)求数列的通项公式； (2)求证：时，. 【感悟提升】 因为数列可以看做定义域为正整数的特殊函数，因此在很多解题思路上可以结合函数的思想来进行解决，如数列的单调性、最值以及不等式等。 放缩法分两种：先放缩再求和，先求和再放缩。记住常见的放缩形式是解决问题的关键。 变式训练：1.（2025高三·全国·专题练习）(多选)已知等比数列的公比不为1且相邻三项调整次序后可为等差数列，若，存在实数使得对任意恒成立，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2025高三·全国·专题练习）已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 题型二 数列求通项有关的恒成立与能成立 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 例2．（24-25高三下·全国·强基计划）(多选)已知，（，）．下列选项中正确的有（    ） A．存在λ，使存在正整数N，使时，恒成立 B．存在λ，使不存在正整数N，使时，恒成立 C．存在λ，使存在正整数N，使时，恒成立 D．存在λ，使不存在正整数N，使时，恒成立 3．（24-25高三上·山东·期末）已知正项数列的前n项和为，；数列是递增的等比数列，公比为q，且，的等差中项为10，，的等比中项为8． (1)求，的通项公式； (2)设，为的前n项和，若能成立，求实数的最大值． 【感悟提升】 数列数特殊的函数，数列恒成立或能成立问题就可以转化为函数的恒成立和能成立问题（注意定义域）。因此数列求参数值或者范围的问题就可以转化为求函数最值的问题。再做题中一定要注意函数的定义域。 变式训练：2.（25-26高三上·四川乐山·期末）在数列中，，，若不等式对任意恒成立，则实数λ的值可以是（   ） A．1 B．0 C． D． 3.（2025·浙江·一模）已知数列的首项是1，其前项和是，且，. (1)求，的值及数列的通项公式； (2)若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值. 题型三 数列求和有关的恒成立、能成立问题求参 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 例3．（24-25高三下·福建福州·期中）(多选)已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的值可以为（   ） A． B． C．5 D． 4.（2025高三·江苏·专题练习）(多选)设数列满足：，为数列的前n项和；若数列满足：，且对任意的正整数n，都有成立，则有以下说法正确的是（     ） A．数列是等比数列 B．数列的最大项为或 C．t的取值范围为 D．对任意的恒成立 5.（2025·河南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. (1)求的通项公式； (2)对于任意，求实数的取值范围. 【感悟提升】 做这种题的关键是“转化” 思路一：可以转化为不等式组，然后进行求解； 思路二：可以转化为函数，利用函数的最值进行求解。 变式训练：3.（2025·山西临汾·二模）(多选)已知数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B．是单调递增数列 C．若为数列的前项和，则 D．若对任意，都有，则 4.（25-26高三上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 5.（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）已知数列的前项为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且. (1)求，； (2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值. 6.（24-25高三下·云南·期末）已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 2026高考模拟热身训练 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆沙坪坝·期末）已知数列的前项和为，若对任意的正整数，都有，则称为“和谐数列”，若数列为“和谐数列”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·一模）已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·辽宁·期末）在等比数列中．则能使不等式成立的正整数的最大值为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 4．（2025·上海松江·一模）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，那么下列选项正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列的通项公式为 C． D． 6．（25-26高三·全国·专题练习）设数列的前项和为，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称数列为“数列”．则以下数列为“数列”的是（    ） A．是等差数列，且，公差 B．是等比数列，且公比满足 C． D．， 7．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知等比数列的前n项和为满足，数列满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．设，，则的最小值为12． C．若对任意的恒成立，则 D．设若数列的前n项和为，则 三、填空题 8．（24-25高三上·山东滨州·阶段练习）已知等差数列满足，，则数列的通项公式 ；若数列的前n项和为，则使的最大正整数n为 ． 9．（24-25高三·全国·课后作业）已知数列满足，，若集合中有3个元素，则实数t的取值范围是 ． 四、解答题 10．（2025·河北唐山·二模）已知为等差数列的前项和，，． （1）求； （2）记数列的前项和为，证明：． 11．（24-25高三下·上海闵行·期末）已知函数的图象与轴正半轴的交点为，． （1）求数列的通项公式； （2）令（为正整数），问是否存在非零整数，使得对任意正整数，都有？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $