专题02 数列放缩（裂项放缩、均值不等式、导数切线放缩）讲义-2026届高考数学二轮专题复习（全国适用）

专题02 数列放缩（裂项放缩、均值不等式、导数切线放缩） 递推公式基础：题型归纳型 题型归纳目录： 题型一、分式(含负数幂)型裂项放缩 （1）； （2）； （3）； （4） （5） 注：凡是分母上是某个等差数列相邻或相隔固定项相乘的形式都可以进行裂项，在此基础上放大或缩小，便可达到放缩的效果. 题型二、含根式型裂项放缩 方法提炼：若数列的通项是含根式的，譬如，，…， 则可将放缩成一个可以根式裂项相消求和的式子．下面就是根式裂项放缩中比较常用常见的放缩式： （1）； （2）； 综合（1）（2），则 （3）； （4） （5） 题型三、含指数型裂项放缩 （1） （2） （3）； （4）． （5）； 题型四、数列通项均值不等式放缩 方法提炼：如果数列的某些项的和符合基本不等式的形式，可以直接利用基本不等式来进行放缩，这种放缩方式称为基本不等式放缩． 题型五、数列与导数结合的放缩 方法提炼：利用导数产生数列放缩：由不等式可得： 类型一：累加法+指数函数切线放缩. 类型二：构造常熟列+对数切线放缩. 题型一 分式(含负数幂)型裂项放缩 例1．（25-26高三上·江苏·期末）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 答案 (1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析. 思路分析:（1）根据已知得到，应用等比数列的定义判断证明即可； （2）利用分组求和、等比数列前n项和公式求和； （3）对进行放缩得，应用裂项相消法证明结论. 解 （1）由题可得，，所以， 又，则，则， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，所以， 所以. （3）由（2），则， 所以．令，则， 的前项和为； 令，则， 的前项和为， 所以，因为，所以，当时等号成立， 而，所以. 【感悟提升】 （1）； （2）； （3）； （4） （5） 注：凡是分母上是某个等差数列相邻或相隔固定项相乘的形式都可以进行裂项，在此基础上放大或缩小，便可达到放缩的效果. 变式训练：1.（2025·辽宁·模拟预测）已知数列，为数列的前项和，且满足，． (1)求的通项公式： (2)证明：． 答案 (1) (2)证明见解析 思路分析:（1）由可得出，两式作差推导出，然后求通项公式； （2）利用放缩法推导出，再结合等比数列求和公式可证得结论成立； 解 （1）因为，进而，两式作差可得： ，即， 所以为常数列， 又，则，故数列的通项公式为． （2）由（1），则，其中，8，…，， 结合等比数列求和公式，有： ， 当时，，综上所述，. 题型二 含根式型裂项放缩 1． 例2．的整数部分是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 答案：B 思路分析: ， ， 解 则 . 又 则 . 故，即整数部分为4. 3.求证： 思路分析: ，利用裂项像小法证不等式左边，再利用均值不等式及放缩可得，相加相消即可证明不等式右边. 解 因为 累加相消，可得.故得证. 【感悟提升】 方法提炼：若数列的通项是含根式的，譬如，，…， 则可将放缩成一个可以根式裂项相消求和的式子．下面就是根式裂项放缩中比较常用常见的放缩式： 2． 变式训练：2.已知正项数列的前n项和为，且满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)设数列的前n项和为，证明： 解 （1）当时，由， 所以数列是等差数列； （2），由（1）可知数列是等差数列，且公差为， 所以，又因为数列是正项数列， 所以，即， . 题型三 含指数型裂项放缩 例3．（25-26高三上·浙江温州·期中）已知正项数列满足． (1)求证：是等比数列 (2)设，记数列的前项和为，求证：． 答案 (1)证明见解析(2)证明见解析 思路分析:（1）根据题设整理可得，进而求证即可； （2）由（1）得，结合指数函数的性质可得，进而求和即可求证. 解 （1）由，则， 由于，则， 所以，则， 又， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列. （2）由（1）得，，则， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 则，即， 所以. 【感悟提升】 （1） （2） （3）； 变式训练：3.已知，若，为的前n项和，证明： 解 ,,, ， ， . 题型四 数列通项均值不等式放缩 例4．（2025高三·全国·专题练习）设，求证：. 思路分析:利用，得，再应用等差数列前n项和公式及放缩，即可证. 解 由题设，令，，，，. 因为，所以， 即，得证. 【感悟提升】 如果数列的某些项的和符合基本不等式的形式，可以直接利用基本不等式来进行放缩，这种放缩方式称为基本不等式放缩． 变式训练：4.已知数列满足（且，且，，），求证：． 解 :因为，所以， 所以 所以 所以． 5. 设求证 思路分析：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中，等的各式及其变式公式均可供选用。 解 此数列的通项为 ，， 即 题型五 数列与导数结合放缩 例5．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知． (1)求的通项公式； (2)令，为的前项之积，求证：． 答案 (1)；(2)证明见解析. 思路分析:（1）根据已知可得，且，由等差数列的定义写出通项公式即可； （2）利用导数证明，进而得到， 可得，累加即可证. 解 （1）由，又由题意知，， 左右同时除以得， 所以，则， 故是以3为首项，3为公差的等差数列， 所以，可得； （2）令函数，求导得， 在上单调递增，，即， 取，则，于是， 由（1）知，, ， 所以. 【感悟提升】 利用导数产生数列放缩：由不等式可得： 类型一：累加法+指数函数切线放缩. 类型二：构造常熟列+对数切线放缩. 变式训练：5.（2025高三·全国·模拟训练）已知在数列中，，. (1)求数列的通项； (2)求证：； (3)求证： 思路分析:（1）利用构造数列法求数列的通项； （2）对数列的通项进行变形，利用分组求和的方法表示出，将所证不等式转化为，用求证即可； （3）将所证不等式转化为，用求证即可. 解 （1）因为，所以， 可得，因此， 即是一个以为首项，为公差的等差数列， 所以， 故，. （2）因为， 要证明， 即证明， 因为，令，得，即， 所以，原不等式得证. （3）要证明， 即证明， 因为， 即， 证明①成立即可. 由，得， 令，则，， 所以， ， 又，所以，即①式成立， 综上得原不等式成立. 6.（24-25高三下·广西来宾·阶段练习）已知函数． (1)当时，证明：； (2)证明：． 思路分析:（1）由题干条件直接构造函数求导求得其单调性和最值即可证明； （2）利用第（1）问的结论，令，其中，则， 可代入第（1）问得到的不等式，进行累加即可证明左半部分，右半部分同理构造出函数不等式进行证明. 解 （1）要证，只需证，故令， 则恒成立，即在上单调递增， 故，即当时，； （2）先证明左半部分：， 由（1）知当时，，令，其中，则， 代入上述不等式，得，即， 对该不等式的取值从到进行累加即得； 再证明右半部分：， 由左半部分的证明过程可知，只需证明，即只需证， 故令，则恒成立， 即在上单调递减，所以，即当时，， 令，其中，则，代入上述不等式， 得，即， 对该不等式的取值从到进行累加即得， 故. 2026高考模拟热身训练 1．（25-26高三上·江苏·期中）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 答案 (1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 思路分析：（1）根据已知得到，应用等比数列的定义判断证明即可； （2）由（1）得到数列的通项公式，利用分组求和、等比数列前n项和公式求和； （3）由（2）得到数列的通项公式，对进行放缩得，应用裂项相消法证明结论. 解 （1）由题可得，，所以， 又，则，则， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，所以， 所以. （3）由（2），则， 所以． 令，则， 的前项和为； 令，则， 的前项和为， 所以，因为，所以，当时等号成立， 而，所以. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知首项为3的正项数列的前n项积为. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，证明：. 答案 (1)(2)证明见解析 思路分析：(1)首先利用两边平方的方法将的指数化为整数，再利用递推关系消掉，再两边取对数进行化简，即可得到一个常数列，进而求解； (2)令，分离常数化简数列的通项公式，再利用分组求和和放缩的方法去求数列的和，即可得证. 解（1），，， ，即， 两边取常用对数得，则， ，且， 数列为常数数列，，. （2）由(1)知，令， ， 又， ， . 3．（2023高三·全国·专题练习）已知数列满足，． (1)证明：． (2)设为数列的前n项和，证明：． 思路分析：（1）先判定数列为正项数列，再由已知变形得，从而得数列是递减数列，则，讨论时，有，累加得，即证； （2）结合（1）变形得，裂项放缩得，累加求和再证即可. 解（1）由已知条件易知，且（*）， ∴，因此． 数列是递减数列，故， 当，时，，由（*）式知， 累加可得，即． 经验证：当时，也成立． 因此，当时，． （2）将（1）中（*）式平方可得． 累加可得， ∴． 因此，当，时， ． 只需证，即证． 平方并整理得， 即．再次平方，即证，显然成立． 经验证：当时，也成立．∴． 4．（2023·天津和平·三模）已知等比数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (3)记，求证：. 【答案】(1)(2)(3)详见解析. 思路分析：（1）根据和的关系即可求解；（2）根据等差数列前项和公式求出代入化简即可解决；（3）求出，进行适当放缩后用裂项相消求和解决. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 当时，有，则  ① 当时，，两式相减可得：， 整理得，可知，代入①可得， 所以等比数列的通项公式为（）. （2）由已知在与之间插入个数，组成以为首项的等差数列， 所以， 则， 设，则是递增数列， 当为偶数时，恒成立，即，所以； 当为奇数时，恒成立，即，所以； 综上所述，的取值范围是. （3）证明：由（1）得， 则有 . ,原不等式得证. 5．（2022·浙江温州·三模）数列满足，. (1)证明：； (2)若数列满足，设数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 思路分析：（1）首先从函数的角度证明不等式的右边成立，再运用数学归纳法或求通项的方法证明不等式右边成立，在利用求通项的方法时，需要给出数列的单调性说明才能证得结果； （2）根据（1）运用放缩法，将进行放缩，进而表示出，再运用不等式的性质证得结论成立. 【详解】（1）证明：右边：， 左边：法一（数学归纳法）： ，， 当时， 假设当时，成立 即，即成立 则当时， 综上所述，. 法二（求通项）： ，， 两边同时取对数得： 数列是以首项为，公比为的等比数列， 数列单调性证明： 思路1：由复合函数的单调性，知单调递增，； 思路2：，； 思路3：，； 综上所述，. （2）证明：法一：放缩到裂项 因为，所以， 由（1）知 所以 所以 所以， 又，所以，所以. 法二：放缩到等比 ， 所以， 所以，所以 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数列放缩（裂项放缩、均值不等式、导数切线放缩） 递推公式基础：题型归纳型 题型归纳目录： 题型一、分式(含负数幂)型裂项放缩 （1）； （2）； （3）； （4） （5） 注：凡是分母上是某个等差数列相邻或相隔固定项相乘的形式都可以进行裂项，在此基础上放大或缩小，便可达到放缩的效果. 题型二、含根式型裂项放缩 方法提炼：若数列的通项是含根式的，譬如，，…， 则可将放缩成一个可以根式裂项相消求和的式子．下面就是根式裂项放缩中比较常用常见的放缩式： （1）； （2）； 综合（1）（2），则 （3）； （4） （5） 题型三、含指数型裂项放缩 （1） （2） （3）； （4）． （5）； 题型四、数列通项均值不等式放缩 方法提炼：如果数列的某些项的和符合基本不等式的形式，可以直接利用基本不等式来进行放缩，这种放缩方式称为基本不等式放缩． 题型五、数列与导数结合的放缩 方法提炼：利用导数产生数列放缩：由不等式可得： 类型一：累加法+指数函数切线放缩. 类型二：构造常熟列+对数切线放缩. 题型一 分式(含负数幂)型裂项放缩 例1．（25-26高三上·江苏·期末）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 【感悟提升】 （1）； （2）； （3）； （4） （5） 注：凡是分母上是某个等差数列相邻或相隔固定项相乘的形式都可以进行裂项，在此基础上放大或缩小，便可达到放缩的效果. 变式训练：1.（2025·辽宁·模拟预测）已知数列，为数列的前项和，且满足，． (1)求的通项公式： (2)证明：． 题型二 含根式型裂项放缩 1． 例2．的整数部分是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3.求证： 【感悟提升】 方法提炼：若数列的通项是含根式的，譬如，，…， 则可将放缩成一个可以根式裂项相消求和的式子．下面就是根式裂项放缩中比较常用常见的放缩式： 2． 变式训练：2.已知正项数列的前n项和为，且满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)设数列的前n项和为，证明： 题型三 含指数型裂项放缩 例3．（25-26高三上·浙江温州·期中）已知正项数列满足． (1)求证：是等比数列 (2)设，记数列的前项和为，求证：． 【感悟提升】 （1） （2） （3）； 变式训练：3.已知，若，为的前n项和，证明： 题型四 数列通项均值不等式放缩 例4．（2025高三·全国·专题练习）设，求证：. 【感悟提升】 如果数列的某些项的和符合基本不等式的形式，可以直接利用基本不等式来进行放缩，这种放缩方式称为基本不等式放缩． 变式训练：4.已知数列满足（且，且，，），求证：． 5. 设求证 题型五 数列与导数结合放缩 例5．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知． (1)求的通项公式； (2)令，为的前项之积，求证：． 【感悟提升】 利用导数产生数列放缩：由不等式可得： 类型一：累加法+指数函数切线放缩. 类型二：构造常熟列+对数切线放缩. 变式训练：5.（2025高三·全国·模拟训练）已知在数列中，，. (1)求数列的通项； (2)求证：； (3)求证： 6.（24-25高三下·广西来宾·阶段练习）已知函数． (1)当时，证明：； (2)证明：． 2026高考模拟热身训练 1．（25-26高三上·江苏·期中）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知首项为3的正项数列的前n项积为. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，证明：. 3．（2023高三·全国·专题练习）已知数列满足，． (1)证明：． (2)设为数列的前n项和，证明：． 4．（2023·天津和平·三模）已知等比数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (3)记，求证：. 5．（2022·浙江温州·三模）数列满足，. (1)证明：； (2)若数列满足，设数列的前n项和为，证明：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $