6.3 反比例函数的应用 课后练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册

6.3 反比例函数的应用 1．在物理学中压力F，压强P与受力面积S的关系是：p，则下列描述中正确的是（　　） A．当压力F一定时，压强p是受力面积S的正比例函数 B．当压强p一定时，压力F是受力面积S的反比例函数 C．当受力面积S一定时，压强p是压力F的反比例函数 D．当压力F一定时，压强p是受力面积S的反比例函数 2．某学校到天河公园的路程为5km，天天骑车从学校到公园的平均速度v（km/h）与所用时间t（h）之间的函数解析式是（　　） A．v＝5t B．v＝t+5 C．v D．v 3．如图，直角三角形ABC位于第一象限，AB＝3，AC＝2，直角顶点A在直线y＝x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（　　） A．1≤k≤5 B． C． D． 4．如图，慢慢将电线杆竖起，如果所用力F的方向始终竖直向上，则电线杆竖起过程中所用力的大小将（　　） A．变大 B．变小 C．不变 D．无法判断 5．已知矩形的面积为10，它的一组邻边长分别x，y，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是（　　） A． B． C． D． 6．如图，已知四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数的图象经过点C，且与AB交于点E．若OD＝2，则△OCE的面积为（　　） A．2 B．4 C．2 D．4 7．已知一块蓄电池的电压为定值，以此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知双曲线y（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）交于A、C两点，以AC为边作等边三角形ACD，且S△ACD＝20，再以AC为斜边作直角三角形ABC，使AB∥y轴，连接BD．若△ABD的周长比△BCD的周长多4，则k＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 9．如图，在直角坐标系中，四边形OABC为菱形，对角线OB、AC相交于D点，已知A点的坐标为（10，0），双曲线y（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC＝160（OB＞AC），有下列四个结论： ①双曲线的解析式为y（x＞0）； ②E点的坐标是（5，8）； ③sin∠COA； ④AC+OB＝12． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，点A是x轴正半轴上的任意一点，过点A作EF∥y轴，分别交反比例函数y1（y1＞0）和y2（y2＜0）的图象于点E、F，且，连接OE、OF，有下列结论：①这两个函数的图象关于x轴对称；②△EOF的面积为（k1﹣k2）；③；④当∠EOF＝90°时，，其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 11．如图所示蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的电器的限制电流不超过12A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是　 　 ． 12．A、B两地之间的高速公路长为300km，一辆小汽车从A地去B地，假设在途中是匀速直线运动，速度为vkm/h，到达时所用的时间是th，那么t是v的　 　 函数，t可以写成v的函数关系式是　 　 ． 13．由x人完成报酬共为100元的某项任务，若人均报酬y元不少于24元，且y为整数，则完成此任务的人数x的值为　 　 ． 14．如图，直线y＝﹣x+b与双曲线y（x＞0）交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于E、F两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，当b＝　 　 时，△ACE、△BDF与△ABO面积的和等于△EFO面积的． 15．如图所示，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），点P为双曲线y（x＞0）上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线段PE、PF，当PE、PF分别与线段AB交于点C、D时，AD•BC的值为　 　 ． 16．蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象经过点M（4，9），如图所示． （1）求该反比例函数的表达式． （2）当电阻R＝10Ω时，电流I是多少？ 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝mx+1与双曲线y（k＞0）相交于点A，B，已知点B（a，﹣2），点C在x轴正半轴上，点D（2，﹣3），连接OA，OD，DC，AC，四边形AODC为菱形． （1）求k和m的值； （2）请直接写出：当x取何值时，反比例函数值大于一次函数值？ （3）设P是y轴上一动点，且△OAP的面积等于菱形OACD的面积，求点P的坐标． 18．如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上，△AOB的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，P在反比例函数y的图象上． （1）求点P的坐标； （2）若OA＝OB，则： ①∠P的度数为　 　 ； ②求出此时直线AB的函数关系式； （3）如果直线AB的关系式为y＝kx+n，且0＜n＜2，作反比例函数y，过点（0，1）作x轴的平行线与y的图象交于点M，与y的图象交于点N，过点N作y轴的平行线与y＝kx+n的图象交于点Q，是否存在k的值，使得MN+QN的和始终是一个定值d，若存在，求出k的值及定值d；若不存在，请说明理由． 19．如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y的图象交于点C，D，CE⊥x轴于点E，． （1）求反比例函数的表达式与点D的坐标； （2）以CE为边作▱ECMN，点M在一次函数y＝x﹣1的图象上，设点M的横坐标为a，当边MN与反比例函数y的图象有公共点时，求a的取值范围． 20．已知双曲线y的图象过点（1，2）． （1）求k的值，并求当x＞3时y的取值范围； （2）如图1，过原点O作两条直线与双曲线y的图象交于A、C与B、D．我们把点（x，y）的横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，若A、B、C、D都是整点，试说明四边形ABCD是矩形； （3）如图2，以过原点O的线段BD为斜边作一个直角三角形，且三个顶点A、B、D都在双曲线y上，若点A的横坐标为a，点B的点横坐标为b，问：ab是否等于定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 21．已知：如图，正比例函数y1＝kx（k＞0）的图象与反比例函数y2的图象相交于点A和点C，设点C的坐标为（2，n）． （1）求k与n的值； （2）点B是x轴上的一个动点，连接AB、BC，作点A关于直线BC的对称点Q，在点B的移动过程中，是否存在点B，使得四边形ABQC为菱形？若存在，求出点B的坐标；若不存在请说明理由． 22．在平面直角坐标系xOy中，直线，过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一动点，反比例函数y（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F． （1）若点E与点P重合，求k的值； （2）若0＜k＜2，是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由． （3）连接OE、OF、EF，且△OEF的面积为△PEF面积的2倍？求点E的坐标． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B C B C C D C B 11．R≥3． 12．1、2、4． 14．2． 15．． 16．解：（1）由电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，设I（k≠0）， 把（4，9）代入得：k＝4×9＝36， ∴I． （2）当R＝10Ω时，I3.6（A）． 17．解：（1）连接AD，与x轴交于点E， ∵D（2，﹣3）， ∴OE＝2，ED＝3， ∵菱形AODC， ∴AE＝DE＝3，EC＝OE＝2， ∴A（2，3）， 将A坐标代入直线y＝mx+1得：2m+1＝3，即m＝1， 将A坐标代入反比例y得：k＝6． （2）联立直线与反比例解析式得：， 消去y得：x+1， 解得：x＝2或x＝﹣3， 将x＝﹣3代入y＝x+1得：y＝﹣3+1＝﹣2，即B（﹣3，﹣2）， 则当x＜﹣3或0＜x＜2时，反比例函数值大于一次函数值； （3）∵OC＝2OE＝4，AD＝2DE＝6， ∴S菱形AODCOC•AD＝12， ∵S△OAP＝S菱形OACD，即OP•OE＝12， ∴设P（0，p），则|p|×2＝12，即|p|＝12， 解得：p＝12或p＝﹣12， 则P的坐标为（0，12）或（0，﹣12）． 18．解：（1）过P作PC⊥x轴于C，作PD⊥y轴于点D，PE⊥AB于E，如图1， ∵AP和BP分别是∠BAF和∠ABC的平分线， ∴PC＝PE＝PD， 设PC＝a，则P（a，a）， 把P（a，a）代入y中得，a2＝4， ∴a2， ∴P（2，2）； （2）①∵OA＝OB，∠A0B＝90°， ∴∠OAB＝45°， ∴∠BAD＝135°， ∵AP和BP分别是∠BAF和∠ABC的平分线， ∴∠PAD＝67.5°，∠POA＝45°， ∴∠APO＝∠PAD﹣∠POA＝22.5°， 故答案为：22.5°； ②解：过P作PD⊥y轴于点D，设OP与AB的交点为H，如图2， ∵OA＝OB，OP平分∠AOB， ∴OP⊥AB， ∵AP平分∠BAD， ∴PH＝PD， 由（1）知P（2，2）， ∴PH＝PD＝OD＝2，OP＝2， ∴OH＝2， ∴OB＝OA4﹣2， ∴A（0，4﹣2），B（4﹣2，0）， 设直线AB的解析式为：y＝mx+n（m≠0），则 ， 解得，， ∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4﹣2； （3）把y＝1代入中，得x＝4， ∴M（4，1）， 把y＝1代入y中，得x＝﹣n， ∴N（﹣n，1）． 把x＝﹣n代入 y＝kx+n 中，得y＝﹣kn+n， ∴Q（﹣n，﹣kn+n）， ∴MN+QN＝（4+n）+|﹣kn+n﹣1|， 当MN+QN＝4+n﹣kn+n﹣1＝﹣kn+2n+3＝（﹣k+2）n+3时， ∵0＜n＜2， ∴当k＝2时，MN+QN为定值，定值d＝3．（∵k＜0，不合题意，舍去）； 当MN+QN＝4+n+kx﹣n+1＝kn+5时， ∵0＜n＜2， ∴当k＝0时，MN+QN为定值，定值d＝5．（∵k＜0，不合题意，舍去）； 综上，不论k为何值时，MN+NQ都不能为定值． 故不存在k的值，使得MN+QN的和始终是一个定值d， 19．解：（1）由题意A（1，0），B（0，﹣1）， ∴OA＝OB＝1， ∴∠OAB＝∠CAE＝45° ∵AE＝3OA， ∴AE＝3， ∵EC⊥x轴， ∴∠AEC＝90°， ∴∠EAC＝∠ACE＝45°， ∴EC＝AE＝3， ∴C（4，3）， ∵反比例函数y经过点C（4，3）， ∴k＝12， 由，解得或， ∴D（﹣3，﹣4）． （2）如图，设M（a，a﹣1）． 当点N在反比例函数的图象上时，N（a，）， ∵四边形ECMN是平行四边形， ∴MN＝EC＝3， ∴|a﹣1|＝3， 解得a＝6或﹣2或﹣1±（舍弃）， ∴M（6，5）或（﹣2，﹣3）， 观察图象可知：当边MN与反比例函数y的图象有公共点时4＜a≤6或﹣3≤a≤﹣2． 20．（1）解：∵双曲线y的图象过点（1，2）， ∴k＝2， ∵x＝3时，y， ∴x＞3时，0＜y． （2）证明：∵A，B，C，D都是整点， ∴A（1，2），B（2，1），C（﹣1，﹣2），D（﹣2，﹣1）， ∴AC2，BD2， ∴AC＝BD， ∵反比例函数是中心对称图形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． （3）解：如图2中，连接OA． ∵反比例函数是中心对称图形， ∴OB＝OD， ∵∠DAB＝90°， ∴OA＝OB＝OD， ∵反比例函数关于直线y＝x对称，OA＝OB， ∴A，B关于直线y＝x对称， ∴点A的纵坐标与点B的横坐标相同， ∴A（a，b）， ∵点A在y上， ∴ab＝2，是定值． 21．解：（1）把点C的坐标（2，n）代入y2， 解得：n＝3， ∴点C的坐标为（2，3）， 把点C（2，3）代入y1＝kx得：3＝2k， 解得：k； （2）存在，理由： ①如图1，当点B在x轴的正半轴且AB＝AC时，四边形ABQC为菱形． ∵点A与点Q关于直线BC对称， ∴AC＝QC，AB＝QB， ∴AC＝QC＝AB＝QB． ∴四边形ABQC为菱形． 由（1）中点C的坐标（2，3）， 可求得：OC， ∵点A与点C关于原点对称， ∴点A的坐标为（﹣2，﹣3）， ∴OA＝OC，AC＝2， ∴AC＝AB＝2． 过点A作AH⊥x轴于点H，则AH＝3． 在Rt△AHB中，由勾股定理得：BH， 又∵OH＝2， ∴OB＝BH﹣OH2， ∴点B的坐标为（2，0）； ②如图2，当点B在x轴的负半轴且AB＝AC时，四边形ABQC为菱形． 过点A作AT⊥x轴于点T， 同理可求得：BT， 又∵OT＝2， ∴OB＝BT+OT2， ∴点B的坐标为（2，0）， 综上，当点B的坐标为（2，0）或（2，0）时，四边形ABQC为菱形． 22．解：（1）根据题意知，P（1，2）， 若点E与点P重合，则k＝xy＝1×2＝2； （2）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF与△PEF全等， 当0＜k＜2时，如图，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H， ∵∠MHF＝∠EBM＝90°，∠HMF＝∠MEB， ∴△FHM∽△MBE， ∴， ∵FH＝1，，FM＝PF＝2﹣k， ∴，， 在Rt△MBE中，由勾股定理得， ∴， 解得，此时E点坐标为． （3）当k＞0时，存在点E使△OEF的面积为△PEF面积的2倍．理由如下： ①如图，当0＜k＜2时，， ， 则， 解得，k＝2（舍去）或，则E点坐标为：； ②k＝2时，由题知，△OEF与△PEF不存在； ③如图，当k＞2时，， ， 则， 解得k＝2（不合题意，舍去）或k＝6， 则E点坐标为：（3，2） 综上，则E点坐标为：或（3，2）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/28 18:15:00；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 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