练案17 第三章 第二讲 第二课时 导数与函数的极值、最值-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习练案

练案[17] 第二课时导数与函数的极值、最值 的A组基础巩固男 8.(2025·江苏镇江期中)已知函数f(x)=(x-1)2(x 4)+4的导函数为'(x),则 () 一、单选题 A.(x)只有两个零点 1.(2025·江苏南通海安质检)函数f(x)=x(x-3)2的 B.f'(4-x)=f(x) 极大值为 C.x=1是f(x)的极小值点 A.-4 B.0 C.1 D.4 D.当x≥0时，f(x)≥0恒成立 2.已知函数f(x)和g(x)的 9.(2025·陕西适应性检测)已知函数f(x)=mlnx+ 导函数∫'(x),g'(x)图象 f'(x)l 分别如图所示，则关于函 '(x) 父+在x=1处取得极大值-1，则下列结论正确的是 数y=g(x)-f(x)的判断 (参考数据：ln2=0.7) () 正确的是 ( A.n=2 A.有3个极大值点 B.m=-3 B.有3个极小值点 C.f(x)在x=2处取得极小值 C.有1个极大值点和2 D.x)在区间[分，4]的最小值为3h2-子 个极小值点 D.有2个极大值点和1个极小值点 10.(2025·山东百师联盟期中联考)设函数f八x)=x3 3.(2024·西安中学高三第四次月考)函数∫(x)=e+ x2+ax-1,则 () cosx+1在区间[-π，π]上的最大值、最小值分别为 A.当a=-1时，f(x)的极大值大于0 ( R当a≥时)无极值点 A.eΞ+1,3 B.e,3 C.3a∈R,使f(x)在R上是减函数 C.e号+1,2 D.e",2 D.Ha∈R,曲线y=f(x)的对称中心的横坐标为 4.(2025·皖豫天一大联考)若函数f八)=2+x+ e 一在 定值 三、填空题 x=2时取得极小值，则(x)的极大值为 )11.(2025·黑龙江双鸭山一中期中)已知函数f(x)= B.1 c (x-c)2e在x=2处有极大值，则c的值为 D.e 12.函数f(x)=12x-11-2lnx的最小值为 5.(2023·海南八校联盟)已知函数f(x)=3lnx-x2+四、解答题 (a-号》：在区间(1,3)上有最大值，则实数a的取值13.(2025·山西大同期中)已知函数f(x)=22-3x+ 范围是 aln(x+2)的图象在点(0，f(0))处的切线与直线x+ A(-2列 B(2 y=0平行. (1)求a; c(分) (合 (2)求f(x)在区间[-1,4]上的最大值.（参考数据： ln6≈1.79) 6.(2025·河北石家庄二中模拟)若函数f(x)=(1-x) ·(x2+ax+b)的图象关于点(-2,0)对称，x1,x2分 别是八x)的极大值点与极小值点，则x2-x=( A.-5 B.23 C.-25 D.5 二、多选题 7.(2025·河南新乡名校期中)已知函数)=号+ 之2+低+6的极小值点为1，极小值为石，则() A.a=-2 B.b=-1 C.f(x)有3个零点 D.直线y=5与f(x)的图象有2个公共点 —313 14.(2025·江苏宿迁期中)已知函数f(x)=x3+ax2-x5.(2025·高考综合改革适应性演练)已知函数f(x)= +1,(a∈R,x∈R). alnx b一 (1)当a=-1时，求函数f(x)的单调增区间： (2)设函数f(x)在区间(-2，-1)内存在极值点，求 (1)设a=1,b=-2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切 a的取值范围. 线方程； (2)若x=1是(x)的极小值点，求b的取值范围. B组能力提升 1.（2025·河北邯郸一中月考)若函数f(x)=ae-sinx 在x=0处有极值，则a的值为 A.-1 B.0 C.1 D.e 2.(2023·贵州黔东南州联考)已知函数f(x)=lnx- 兰，若两数)在[1，]上的最小值为则a的值为 ( A.-/e B-号 c-3 D.e 们C组拓展应用（选作）男 3.(2025·江苏宿迁期中)在同一平 面直角坐标系内，函数y=f(x)及 (2025·辽宁期中联考)已知函数(x)=a(22-x) 其导函数y=∫'(x)的图象如图所 +(x-2)e'(a∈R) 示，已知两图象有且仅有一个公兰 (1)求f(x)的极值点； 0 共点，其坐标为(0,1)，则（) (2)若Vx∈[2，+)，有f(x)≥0，求实数a的取值 A.函数y=f(x)·e的最大值为1 范围. B.函数y=f(x)·e的最小值为1 C.函数y=的最大值为1 ex D.函数y=的最小值为1 4.（2025·北京师大附中月考)设函数f(x)=x2-2x+ aln x. (1)当a=-4时，求f(x)的极值； (2)当a>0时，判断f(x)的单调性. -314所以，a的取值范围为(-0,22] -，1) 1 (1,2) 2 (2,+0) (2)①当a≤2万时，f'(x)=上+2x-a≥2万-a≥0在 f'(x) 0 0 × (0,+0)恒成立， f（x) 极大值e 极小值0 则f代x)在(0，+∞)单调递增； ②当a>2万时f=+2-a22,号知-8>0， 则函数的极大值为f代1)=-+=e故选D, 5Bf'(x)=3 -2x+a- ,由题意易知 '()>0即 令f(x)=0,解得x=--8 2=0+a-8 f'(3)<0. 4 4 且0<x1<x2 当x1<x<2f'(x)<0; 20, 1。 当0<x<x1或x>2时f'(x)>0: 11 解得-<a< 2故选B a-2<0, 所以，f(x)在区间(x1,x2)单调递减，在区间(0，x1)和(x2,+∞） 单调递增 6.C由题意可得f代-2)=3(4-2a+b)=0, 因为函数图象关于点(-2,0)对称，且f(1)=0,所以f(-5) 综上所述，当a≤22时，f(x)在(0，+o)单调递增： =0, 当a>2万时(x)在区间(a--8,a+瓜-8 即f-5)=6(25-5a+b)=0, 4 4 单调递 减，在区间(0,48）和（+8，+m）单调 联立-2a+40,解得=10， Lb-5a+25=0, la=7. 4 4 故fx)=(1-x)(x2+7x+10)=-x3-6x2-3x+10, 递增。 则f'(x)=-3x2-12x-3=-3(2+4x+1), 练案[17] 结合题意可知x1,:2是方程x2+4x+1=0的两个实数根，且 x1>2,x1+x2=-4,x1·x2=1,故为2-1=-1x-为1= A组基础巩固 -√/(x1+)2-4x名=-√(-4)2-4×1=-25 1.Df(x)=(x-3)2+2(x-3)=3(x-1)(x-3),故选D. 7.AC 由题意得f'(x)=x2+x+a,则f'(1)=2+a=0,得a= x -0,1) (1,3) (3,+0) -2,A正确：由1)=行+号-2+6=石，得6=1，B错误： f'(x) + 0 0 + f'(x)=x2+x-2=(x-1)(x+2),易知fx)在(-0，-2)， f(x) 极大值4 极小值0 习 (1,+∞)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，则f(x)的极大值 2.D由已知结合函数的单调 为-2)=号所以)有3个零点，直线y=5与x)的图象 性与极值的关系进行分析即 f'(x)l 仅有1个公共点，C正确，D错误 可求解.结合函数图象可知， 8'(x) 8.ABDf'(x)=3(x-1)(x-3)=0,x=1或3，fx)在(-∞，1) 当x<a时，f'(x)<g'(x),此 单调递增，(1,3)单调递减，(3，+∞)单调递增，f(x)极大值= 时y'=g'(x)-f'(x)>0,函 1)=4,f(x)被小做=f3)=0,f代x)有且仅有两个零点，A正 数单调递增，当a<x<0时 确：f'(x)关于x=2对称，B正确；x=1是极大值点，C错误；x≥ f'(x)>g'(x),此时y'= 0时，f(0)=0f代x)≥0恒成立，D正确， g(x)-f'(x)<0,函数单调 递减，当0<x<b时f'(x)<g'(x),此时y'=g'(x)-f'(x)> 9.BCD fx)=mlnx+x+ x 0,函数单调递增，当x>b时，f'(x)>g'(x),此时y'=g'(x)- x2 f'(x)<0,函数单调递减，故函数在x=a,x=b处取得极大值， 放r()=坚+1=t” 由题意f1)=1+n=-1,f(1)=12+m-n=0, 在x=0处取得极小值.故选D. 解得n=-2,m=-3,故A错误，B正确； 3.B因为f代-x)=e+cosx+1=f(x),所以f(x)为偶函数，当 x≥0时，f代x)=e+cosx+1,f'(x)=e-sinx.易知当x≥0时， 故fx)=-3nx+x-2 e≥1，sinx≤1，则f(x)=e-sinx≥0，f(x)在[0，π]上单调递 增，所以f(x)m=fπ)=e,f(x)n=f0)=3,故选B. f-1+--2.0 令f'(x)>0可得0<x<1或x>2,令f'(x)<0可得1<x<2, 4D由函数代x)=2+bx+ e 故f(x)在(0,1)与(2，+∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减， 求导可得f(x)=[x+(6-2)x+1-b 故f(x)在x=2处取得极小值，故C正确； (x2+bx+1)2 由C)在（分1）上单调递增，在(1,2）上单调递减，在(2. 由题意可得f'(2)=0,则4+2(b-2)+1-b=0,解得b=-1, 4)上单调递增. 所以2湖1(-分)广+子0， e 又f(）=-3+分-4=3h2-子， f(x)=e-3x+2-x-10x-2 (x2-x+1)2(x2-x+1)2 2)=-32+2-子=-3h2+1>32-子放D正确放 令f'(x)=0,解得x=1或2，列表如下： 选BCD. -583 10.BD当a=-1时，fx)=x3-x2-x-1, 所以f代x)在区间[-1,4]上的最大值为f(-1)和f(4)中的较 求导得f'(x)=32-2x-1, 大者 令f()=0得=-号或x=1, 7 因为f代-1)=2f代4)=4n6-4, 列表如下： 所以-1）-f4)=5-4n6>0, 2 (1,+0 即f-1)>f4), f'(x) 0 0 × 故八)在区间[-1,4]上的最大值为子 14.[解析](1)当a=-1时，fx)=x3-x2-x+1, f八x) 极大值-号 极小值-2 则f(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1), A错误； 令f()>0,解得<-写或>1， f()=3x-2x+a,当a≥号时， 故)的单调塔区间为(-0，-兮），(1，+0)。 △=4-12a≤0，即f'(x)≥0恒成立 (2)f'(x)=3x2+2ax-1, 函数(x)在R上单调递增，fx)无极值点，B正确； 则f(x)在区间(-2，-1)内存在极值点等价于f(x)=0在 要使f代x)在R上是减函数， (-2,-1)有解， 则f'(x)=3x2-2x+a≤0恒成立， 即2a=-3x在(-2，-1)有解， 而不等式3x2-2x+a≤0的解集不可能为R,C错误； 1 由号+)=（号-）-（号-）+a(号- .y= x -3x在(-2，-1)单调递减，则可得y=↓-3x在 x -1+x2-2+ax-1=2a-58 5a-27 (-2,-1)的值域为(2，号）， 得前线)=)的对称中心的坐标为（兮，号器），D正确， 则2<2a<号，解得1<a<号 B组能力提升 故选BD. 1.Cf'(x)=ae-cosx,若函数f(x)=ae-sinx在x=0处有极 11.4f'(x)=(x-c)(x-c+2)e, 值，则f'(0)=a-1=0,解得a=1,经检验a=1符合题意.故 令f'(x)>0,解得xe（-o,c-2)U(c,+∞)； 选C 令f'(x)<0,解得x∈(c-2,c); 最在02列)上单调逢：在c-20上2Af)=+是-兰 单调递减， 若a≥0，则f'(x)>0fx)在[1，e]上递增 因此在x=c-2处有极大值，即c-2=2,c=4. 12.1函数f八x)=2x-11-2nx的定义域为(0，+o) )n=1)=-a=子期a=子，矛循 ①当x>2时)=2x-1-2nx 若a<0,则由f'(x)=0得x=-a. 若1<-a<e,即-e<a<-l, 所以f(x)=2-2-2x-山， x 则x)=f(-a)=h(-m）+1=之，解得a=-E,符合题 当)<x<1时f'()<0,当x>1时'()>0， 意，故选A 事实上，若-a≥e,即a≤-e,f'(x)≤0，f(x)在[l,e]上递减， 所以fx)m=f(1)=2-1-2n1=1; ne)=1-日-多解得a=-号矛盾； ②当0<x≤2时， 若-a≤1，即a≥-1f'(x)≥0，f(x)在[1，e]上递增f(x)min= )=1-2x-2nx在(0,2]上单调递减。 )=-a=是解得a=子矛盾。 所以=f(分)=-2n =2ln2=ln4>lne=1.综 3.C由题意可知，两个函数图象都在x轴上方，任何一个为导函 数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为y 上，f(x)mn=1. f'(x),实线部分为y=f(x),故y'=f'(x)·e*+f(x)·e= +2x>-2. 13.[解析](1)由题意得f'(x)=x-3+a (f'(x)+fx)·e>0恒成立，故y=f代x)·e在R上单调递 由点(0f(0)处的切线与直线x+y=0平行知f(0)=-1,即 增，则A,B显然错误y='()e=)c-f'(),由图 (e*) e -3+号=-1，所以a=4 象可知xe(-0,0),y=(x)=边>0恒成立，故y= e e (2)由(1)知f)=32-3+4n(x+2)f”()= 单调递增，当xe(0,+0),y=()<0,y=)单调 e (x+1)-2,x>-2. x+2 递减，所以函数y=在x=0处取得极大值，也为最大值， e 当xe（-1,2)时，f'(x)<0f(x)在(-1,2)单调递减， 当x∈(2,4)时，f”(x)>0,f(x)在(2,4)单调递增. f0=1,C正确，D错误.故选C -584 4.[解析](1)由已知，f代x)的定义域为(0，+∞)， 则f(x)在(b,1)上单调递增，在(0，b),(1,+∞)上单调递减， f）=2x-2+-2-2+0 得x=1是f代x)的极大值点，不满足题意； 当a=-4时，令f'(x)=0,得2x2-2x-4=0, 若b=1,则f(x)=-x-)<0,f(x)在(0，+0)上单调递 x2 又x>0,所以x=2. 减，无极值，不满足题意； 当0<x<2时，f'(x)<0;当x>2时f'(x)>0. 若b>1,令f'(x)>0=xe(1,b) 因此，当x=2时，f代x)有极小值，极小值为f(2)=-4ln2,f(x) 令f'(x)<0=xe(0,1)U(b,+o), 无极大值. 则f代x)在(1，b)上单调递增，在(0,1)，(b,+∞)上单调递减， (2)由已知f(x)的定义域为(0，+0)， 得x=1是f(x)的极小值点，满足题意； f'(x)=2x-2+-2x2-2x+a 综上，x=1是f(x)的极小值点时，b>1. C组拓展应用（选作） 令g(x)=2x2-2x+a(x>0), 则e()在(0，]上递减，在（宁，+x）上递增。 [解折】《(1)因为代到=（宁-）+(c-2)eaeR), 则f'(x)=a(x-1)+(x-2+1)e=(x-1)(e+a), 因此，6)有最小值：（宁）=a-宁 当a≥0时，e+a>0,由f'(x)>0可得x>1, ①当a≥时，0方≥0，则f()≥0，此时，函数fx)在(0， 由f"(x)<0可得x<1, 此时，函数fx)的减区间为(-0,1)，增区间为(1，+0)， +o)上单调递增 所以，函数八x)的极小值点为x=1,无极大值点； ②当0<a<2时，令f()>0, 当-e<a<0时，0<-a<e,则ln(-a)<1, 由f(x)>0可得x<ln(-a或x>l,由f'(x)<0可得ln(-a) 可解得0<x<1-=2,或x>1+个-2@ <x<1, 2 2 此时，函数f代x)的增区间为(-o,ln(-a))、(1,+o),减区间 此时，函数到在(0,1上）和(+2红，+）上 2 为(ln(-a),1), 单调造增：(-2a,1+2面)上单调漫减 所以，函数f(x)的极大值点为x=ln(-a),极小值点为x=1; 2 当a=-e时f(x)=(x-1)(e-e), 综上：a≥时，)在(0，+0)上单调递增： 当x<1时，e<e,则f'(x)=(x-1)(e-e)>0, 当x>1时，e>e,则f'(x)=(x-1)(e-e)>0, 0<a<分时)在(0，上-2)布(+2远，+）】 此时，函数f代x)在R上单调递增，无极值点； 当a<-e时，-a>e,则n(-a)>1, 上单满觉增：(=2,1+2画)上单朔港我。 由f'(x)>0可得x<1或x>n(-a),由f'(x)<0可得1<x< 2 n(-a), 5.[解析](1)当a=1,b=-2时，fx)=nx- 2 -x, 此时，函数f(x)的增区间为(-o,1)、(n(-a),+o),减区间 其中>0.则/)=士+是-1-+2， 为(1，ln(-a)), x 所以，函数f代x)的极大值点为x=1,极小值点为x=ln(-a). 令f(x)=2-+2=2, 综上所述，当a<-e时，函数f(x)的极大值点为x=1,极小值 x 点为x=ln(-a); 化简得3x2-x-2=(x-1)(3x+2)=0, 当a=-e时，函数f代x)无极值点； 解得x=1(负值舍去)， 当-e<a<0时，函数f代x)的极大值点为x=ln(-a),极小值点 又此时代1)=-3，则切线过点(1，-3)，结合切线方程斜率 为x=1; 为2， 当a≥0时，函数f代x)的极小值点为x=1,无极大值点. 则切线方程为y+3=2(x-1),即2x-y-5=0. (2)由题可得f代x)定义域为(0，+∞)， （2)因为)=ag2+(e-2)e=(x-2)(e+分）， r)是÷1 对任意的x≥2，有f代x)≥0， x2 因x=1是f代x)的极小值点， 所以，e+2≥0， 则f(1)=-1+a-b=0→a=b+1, 则f(x)=二+b+1)x-b=-（x-)(x-) 即a≥-2e x 若b≤0，令f'(x)>0→x∈(0,1)， 令g(x)=-2g,其中x≥2， 令f'(x)<0=x∈(1，+∞)， 则g(x)=-2c(x-山<0， 则f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， x 得x=1是(x)的极大值点，不满足题意； 所以，函数g(x)在[2，+∞)上单调递减， 若0<b<1,令f(x)>0→xe(b,1), 则g(x)ms=g(2)=-e2,故a≥-e2, 令f'(x)<0→x∈(0，b)U(1,+∞)， 因此，实数a的取值范围是[-e2,+∞) -585-