练案16 第三章 第二讲 第一课时 导数与函数的单调性-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习练案

练案[16] 第二讲导数在研究函数中的应用 第一课时导数与函数的单调性 们A组基础巩固 6.(2024·陕西西安三模)若函数f(x)=x2-ax+nx在 区间(1，e)上单调递增，则a的取值范围是() 一、单选题 A.[3,+0) B.(-∞，3] 1.函数f(x)=xnx+1的单调递减区间是 C.[3,e2+1] D.[3,e2-1] ( B( 7.(2023·河南许昌、平顶山期中)已知f(x)是偶函数， 在(-∞，0)上满足f'(x)>0恒成立，则下列不等式 c(o.) D.(e,+o) 成立的是 () A.f(-3)<f(4)<f(-5) 2.已知函数f(x)=x(e-e),则f(x) B.f(4)<f(-3)<f(-5) A.是奇函数，且在(0，+∞)上单调递减 C.f-5)<f(-3)<f4) B.是奇函数，且在(0，+∞)上单调递增 D.f(4)<f(-5)<f(-3) C.是偶函数，且在(0，+∞)上单调递减 D.是偶函数，且在(0，+∞)上单调递增 8已知a=h2+好6=2e也，则ad,e之间 T 3.(2024·广东广州一模)已知函数y=f(x)的图象如图 的大小关系为 () 所示，则其导函数y=∫'(x)的图象可能是 ( A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a 二、多选题 v=f(x) 9.(2024·河北衡水月考)下列不等式成立的是() A2h2 B.√2ln3<√3n2 c.5ln4<4n5 D.T>eln T 10.(2025·黑龙江龙东地区联考)若函数x)= -xnx+x在区间(0，+∞)上存在单调递减区间，则 实数a可以是 () A.0 R c D.1 11.已知函数f(x)的定义域为R,其 导函数∫'(x)的图象如图所示，则 对于任意x1,x2∈R(x1≠x2).下列 结论正确的是 () 4.已知fx)=nx,则 A.f(x)<0恒成立 B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 A.f2)>fe)>f3) B.f3)>f(e)>f(2) C.f(3)>f(2)>f(e) D.f八e)>f(3)>f2) c作)小)2 2 5.（2025·江西赣州十八县（市、区）期中联考)“-6< f(x1)+f(x2) 2 a<6”是“函数f(x)=x3+a2+2x+1在定义域R 三、填空题 上单调递增”的 ( 12.(2025·山东新高考适应性考试)函数y=sinx+ A.充分不必要条件 2x(xe[0,π])的最大值为 B.必要不充分条件 13.(2025·重庆名校联盟联考)若函数f(x)=2x2-nx C.充要条件 在其定义域的一个区间(2k-1,2k+1)内不单调，则 D.既不充分也不必要条件 实数k的取值范围是 —311 四、解答题 :5.已知函数f(x)=x2+alnx. 14.已知x)=号-(1+o)x+ln,其中a为实数，讨 (1)当a=-2时，求函数f(x)的单调递减区间； 2 论f(x)的单调性. (2)若函数g(x)=f(x)+二在[1，+∞)上单调，求实 数a的取值范围. B组能力提升 1.（2025·江苏扬州期中)已知函数f(x)=sinx-ax在 区间[0，号]上单调递增，则实数a的取值范围是 6.已知函数(x)=lnx-24 2x (1)若f(x)在(0，+∞)上单调递减，求实数a的取值 A[分，+】 (] 范围； (2)若a=1,试问过点(0,1)向曲线y=f(x)可作几条 c[+】 切线？ 2.已知函数f'(x)是函数x)的导函数1)=。，对任 意实数都有(x)-'(x)>0,设(x)=,则不等 式F(x)<之的解集为 A.(-0,1) B.(1,+∞) C.(1,e) D.(e,+o) 3.(2025·黑龙江龙东地区联考)已知∫'(x)是f(x)定义 在(0，+0)上的导函数，同时”()<1，对任 意a>b>0,则必有 的C组拓展应用（选作）身 A.af(b)+a<bf(a)+b (2025·广东广州花都区调研)已知函数f(x)=lnx+ B.bf(b)-b<af(a)-a x2-ax. C.bf(a)-a<af(b)-b (1)若f(x)在区间(0，e]单调递增，求a的取值范围； D.af(a)+b<bf(b)+a (2)讨论f(x)的单调性. 4.（2025·安徽黄山屯溪一中期 中)已知函数(x)与其导函数 ∫'(x)的图象的一部分如图所 示，则关于函数g()=f的 ex 单调性说法正确的是() A.在(-1,1)单调递减 B.在(0,2-√3)单调递减 C.在[2-5,1]单调递减 D.在[1,2]单调递减 —312练案[16] 当x>e时，f'(x)<0,函数f(x)单调递减， A组基础巩固 因为号<2<c,所以(3)<f2). L.Cf(x)的定义域为(0，+o), 即2h子<h2,故选项A正确： f'(x)=1+Inx, 令f'(x)<0,得0<x< 因为2<5<e,所以f2)<f代5)， e 即2ln5>5ln√2，故选项B不正确； 所以x)的单调递减区间为0，》 因为e<4<5, 所以f(4)>f(5),即5ln4>41n5, 2.D因为f(x)=x(e-e),xeR,定义域关于原点对称，且 故选项C不正确. f-x)=-x(e-e)=x(e-e*)=f(x),所以f(x)是偶 同理e<,则f(e)>f(π)，即π>eln,故选项D正确， 函数， 10.AB由已知得f'(x)=ax-(nx+1)+1=ax-lnx, 当x>0时，f'(x)=e-e+x(e+e)>0, 因为f(x)在(0，+∞)上存在单调递减区间， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增. 3.A由图可知，当x>0时，f(x)单调递减，f'(x)<0,由此排除 则x-hx<0在(0，+0)上有解，即a<在0，+)上有解。 BD选项；当x<0时，从左向右，f(x)是递增、递减、递增，对应 导数的符号为+，-，+，由此排除C选项，所以A选项正确.故 令g(x)=血，则g()=1-血x, 选A. 当0<x<e时g'(x)>0,g(x)递增，x>e时，g'(x)<0,g(x递减， 4.Df(x)的定义域是(0，+0)， f(x)=1-血￥，令f'(x)=0,得x=e 所以g)=g(e)=是，所以a<。放选AB x- :11.BD由导函数的图象可知，导 所以当xe(0,e)时f'(x)>0,f代x)单调递增，当xe(e,+o) 函数f"(x)的图象在x轴下方， 时f'(x)<0fx)单调递减，故当x=e时x)m=fe)= 即f'(x)<0,故原函数为减函 e 数，并且递减的速度是先快后 面2竖-a)9所以e)>3)> 慢，所以f(x)的图象如图所 示，f(x)<0恒成立，没有依 f2). x.o 据，故A不正确； 5.A由题意，若函数f(x)=x3+a2+2x+1在定义域R上单调 递增，则f'(x)=3x2+2ax+2≥0，即4=4a2-4×3×2≤0，解得 B表示(x1-x2）与[f(x1)- f)]异号，即f(x)为减函 -6≤a≤6.因为“-6<a<6"是“-√6≤a≤6”的充分不 数.故B正确； 必要条件，所以是充分不必要条件.故选A C,D左边的式子意义为x1,:2中点对应的函数值，即图中点B 6.B因为函数f代x)=x2-ar+nx在区间(1，e)上单调递增， 的纵坐标值， 所以f(x)=2x-a+上≥0在区间(1，e)上恒成立， 右边式子代表的是函数值的平均值，即图中，点A的纵坐标值， 显然有左边小于右边， 即a≤2x+】在区间(1，e)上恒成立， 故C不正确，D正确。 12.2πy=sinx+2x(x∈[0，T]),y'=cosx+2>0,即函数y= 令g()=2x+(1<x<e). sinx+2x是单调递增的，.当x=π时取得最大值ya=2π 则g()=2-5-2￥--5x+10(2x-D>0, a[分) 函数fx)=2x2-lnx的定义域是(0，+o), 所以g(x)在(1，e)上递增，又g(1)=3, 所以2k-1≥0，即≥分因为()=4-子 所以a≤3.所以a的取值范围是(-o,3].故选B. 7.Axe(-∞，0)时，f'(x)>0即f'(x)<0, 所以()在（分，+如）上单调递增， ∴.f(x)在(-∞，0)上单调递减，又f(x)为偶函数 .f(x)在(0，+∞)上单调递增， 由矿()=0，可得x=分若函数x)=2-nx在区间(2k ∴.f3)<f(4)<f5),∴.f-3)<f(4)<f代-5)，故选A -1,2k+1)内不单调 8.B令代x)=血+1，则f'(x)==ln,令f()>0,解得0<x 则2h-1<<2k+1,解之可得-千<k<子 <1,所以f(x)在(0,1)上单调递增， 令f'(x)<0,解得x>1,所以fx)在(1，+∞)上单调递减， 又因为≥分，所以时≤<子 a=h2+好-2血2+.血4=4. 14.[解析]由题意知f(x)的定义域为(0，+o), 4 4 b-2-he+l-Re),c-+1=Km), f'(x)=x-(a+1)+g=2-(a+1)x+a=(x-1)x-@ e e (x>0), 因为1<e<π<4，所以f(e)>fπ)>f4),即b>c>a.故选B. ①当a≤0时，由f'(x)<0得0<x<1; 9.AD设fx)=n(x>0),则f'(x)=-血，所以当0<x<e 由f'(x)>0得x>1. 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增； 时，f'(x)>0,函数f代x)单调递增； ②当0<a<1时，由f'(x)<0得a<x<1; —581 由f'(x)>0得0<x<a或x>1. :5.[解析](1)由题意知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，当a=-2 所以f(x)在(0，a)和(1，+∞)上单调递增，在(a,1)上单调 时'(x)=2x-2=2(x+1)x-) 递减； x ③当a=1时f'(x)≥0恒成立， 由f'(x)<0得0<x<1,故f(x)的单调递减区间是(0,1). 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增； (2)由题意得g(x)=2x+4-2 ④当a>1时，由f'(x)<0得1<x<a; 由f'(x)>0得0<x<1或x>a. ①若g(x)为[1，+0)上的单调增函数，则 所以fx)在(0,1)和(a,+o)上单调递增，在(1，a)上单调 g'(x)≥0在[1，+∞)上恒成立， 递减； 即a≥2-2x2在[1，+0)上恒成立， 综上所述， 当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调 设g(=2-22,e1,+w) 递增； 易知p(x)在[1，+o)上单调递减， 当0<a<1时f(x)在(0，a)和(1，+o)上单调递增，在(a,1) .在[1，+0）上，p(x)m=p(1)=0 上单调递减； ∴.a≥0. 当a=1时，f(x)在(0，+o)上单调递增； ②若g(x)为[1，+)上的单调减函数， 当a>1时，f(x)在(0,1)和(a,+o)上单调递增，在(1，a)上 则g(x)≤0在[1，+∞)上恒成立，易知其不可能成立，不符合 单调递减 题意 B组能力提升 综上，实数a的取值范围是[0，+∞) 1.B因为f代x)=sinx-ax,则f'(x)=cosx-a,因为函数fx)= smx-ax在区间[0，号]上单调递增，则对任意的xe[0, 6[解析】《(1))=n-2a=n-+在(0， 2x +∞)上单调递减， 号]f'(x)=c0sx-a≥0恒成立，则a≤(cosx)m=oms号= f'(x)=-)-g=二+2-20≤0恒成立. x-2 2x2 分因此，实数a的取值范围是(-“，]·放选B .2a≥(-x2+2x)mx, 又当x>0时，t(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1（当且仅当x 2.B根据题意，F(x)= er =1时取等号)，.2a≥1， 其导数F()=f'(x)·c-fx)·(e e 即实数a的取位范国为[宁，+ =f'(x)-fx) (②)若a=1,则)=n-之+(x>0). 1 又由fx)-f'(x)>0,则有F'(x)<0, 即函数F(x)在R上为减函数， 设过点(0,1)与曲线f代x)相切的直线与fx)的切点坐标为(0%)， 又由1)=L,则F)=山= e e e2 则0-1=f'()(-0),即h。2+-1= 不等式()<是等价于F)<F, -,整理得n+2-2=0, 2x0 则有x>1,则不等式的解集为(1，+0) 3.D由于fx)的定义域为(0，+o), 令(x)=1nx+2-2(x>0), 且/(x)<1=,故()+)-1<0， 则h(x)=1-2=-2 因此(fx)-x)'=f'(x)+f(x)-1<0, 令h'(x)=0,得x=2, 因此y=xf(x)-x为单调递减函数，由于a>b>0, “.h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，+o)上单调递增， 故afa)-a<bf(b)-b, 即a时f(a)+b<f(b)+a,故选D. 又h(分）=2-n2>0,(2)=h2-1<0,4e)=号>0， 4.B从图象可以看出过点(2,0)的为f(x)的图象，过点(1,0)的 ·h(x)与x轴有两个交点， 为导函数f'(x)的图象 ∴.过点(0,1)向曲线y=f(x)可作2条切线 g(x)=f(x)-f(x) C组拓展应用（选作） e 当xe(-1,2-3)时，f'(x)-f(x)<0,故g'(x)<0,g(x)= [解析】(1)函数x)的定义城为0，+)()=+2x-a, 在x(-1,2-万)上单调递减， f(x)在区间(0，e]单调递增，即当xe(0,e]时，f(x)≥0恒 成立， 当xe[2-5,2]时f'(x)-f(x)≥0，故g(x)≥0， g(x)-f在x[2-万，2]上单调递增， 亦即a≤+2x在区间(0，e]恒成立； e A、C、D错误，B正确，故选B. 因为+2x≥2,5（当且仅当x=号时取等号）， 582 所以，a的取值范围为(-0,22] -，1) 1 (1,2) 2 (2,+0) (2)①当a≤2万时，f'(x)=上+2x-a≥2万-a≥0在 f'(x) 0 0 × (0,+0)恒成立， f（x) 极大值e 极小值0 则f代x)在(0，+∞)单调递增； ②当a>2万时f=+2-a22,号知-8>0， 则函数的极大值为f代1)=-+=e故选D, 5Bf'(x)=3 -2x+a- ,由题意易知 '()>0即 令f(x)=0,解得x=--8 2=0+a-8 f'(3)<0. 4 4 且0<x1<x2 当x1<x<2f'(x)<0; 20, 1。 当0<x<x1或x>2时f'(x)>0: 11 解得-<a< 2故选B a-2<0, 所以，f(x)在区间(x1,x2)单调递减，在区间(0，x1)和(x2,+∞） 单调递增 6.C由题意可得f代-2)=3(4-2a+b)=0, 因为函数图象关于点(-2,0)对称，且f(1)=0,所以f(-5) 综上所述，当a≤22时，f(x)在(0，+o)单调递增： =0, 当a>2万时(x)在区间(a--8,a+瓜-8 即f-5)=6(25-5a+b)=0, 4 4 单调递 减，在区间(0,48）和（+8，+m）单调 联立-2a+40,解得=10， Lb-5a+25=0, la=7. 4 4 故fx)=(1-x)(x2+7x+10)=-x3-6x2-3x+10, 递增。 则f'(x)=-3x2-12x-3=-3(2+4x+1), 练案[17] 结合题意可知x1,:2是方程x2+4x+1=0的两个实数根，且 x1>2,x1+x2=-4,x1·x2=1,故为2-1=-1x-为1= A组基础巩固 -√/(x1+)2-4x名=-√(-4)2-4×1=-25 1.Df(x)=(x-3)2+2(x-3)=3(x-1)(x-3),故选D. 7.AC 由题意得f'(x)=x2+x+a,则f'(1)=2+a=0,得a= x -0,1) (1,3) (3,+0) -2,A正确：由1)=行+号-2+6=石，得6=1，B错误： f'(x) + 0 0 + f'(x)=x2+x-2=(x-1)(x+2),易知fx)在(-0，-2)， f(x) 极大值4 极小值0 习 (1,+∞)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，则f(x)的极大值 2.D由已知结合函数的单调 为-2)=号所以)有3个零点，直线y=5与x)的图象 性与极值的关系进行分析即 f'(x)l 仅有1个公共点，C正确，D错误 可求解.结合函数图象可知， 8'(x) 8.ABDf'(x)=3(x-1)(x-3)=0,x=1或3，fx)在(-∞，1) 当x<a时，f'(x)<g'(x),此 单调递增，(1,3)单调递减，(3，+∞)单调递增，f(x)极大值= 时y'=g'(x)-f'(x)>0,函 1)=4,f(x)被小做=f3)=0,f代x)有且仅有两个零点，A正 数单调递增，当a<x<0时 确：f'(x)关于x=2对称，B正确；x=1是极大值点，C错误；x≥ f'(x)>g'(x),此时y'= 0时，f(0)=0f代x)≥0恒成立，D正确， g(x)-f'(x)<0,函数单调 递减，当0<x<b时f'(x)<g'(x),此时y'=g'(x)-f'(x)> 9.BCD fx)=mlnx+x+ x 0,函数单调递增，当x>b时，f'(x)>g'(x),此时y'=g'(x)- x2 f'(x)<0,函数单调递减，故函数在x=a,x=b处取得极大值， 放r()=坚+1=t” 由题意f1)=1+n=-1,f(1)=12+m-n=0, 在x=0处取得极小值.故选D. 解得n=-2,m=-3,故A错误，B正确； 3.B因为f代-x)=e+cosx+1=f(x),所以f(x)为偶函数，当 x≥0时，f代x)=e+cosx+1,f'(x)=e-sinx.易知当x≥0时， 故fx)=-3nx+x-2 e≥1，sinx≤1，则f(x)=e-sinx≥0，f(x)在[0，π]上单调递 增，所以f(x)m=fπ)=e,f(x)n=f0)=3,故选B. f-1+--2.0 令f'(x)>0可得0<x<1或x>2,令f'(x)<0可得1<x<2, 4D由函数代x)=2+bx+ e 故f(x)在(0,1)与(2，+∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减， 求导可得f(x)=[x+(6-2)x+1-b 故f(x)在x=2处取得极小值，故C正确； (x2+bx+1)2 由C)在（分1）上单调递增，在(1,2）上单调递减，在(2. 由题意可得f'(2)=0,则4+2(b-2)+1-b=0,解得b=-1, 4)上单调递增. 所以2湖1(-分)广+子0， e 又f(）=-3+分-4=3h2-子， f(x)=e-3x+2-x-10x-2 (x2-x+1)2(x2-x+1)2 2)=-32+2-子=-3h2+1>32-子放D正确放 令f'(x)=0,解得x=1或2，列表如下： 选BCD. -583