练案11 第二章 第六讲 对数与对数函数-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习练案

又因为f代-x)=-f代x) l1og号t在(0，+∞)上单调递减，g(x)在(-∞，-2)上单调递减， 所以函数y=f(x)在(-∞，-2)上单调递增.选D. 1 -0-2* b+ b+2*, 4.D f(x)=logos(x-4x2+6)=logos[(x2-2)2+]logo.s2= 2 -1,所以f(x)有最大值，且最大值为-1，但无最小值 将a=1代入理同，2-名 5.D结合函数y=5,y=logx,y=lgx的图象易知0<a=5a7 2 3 <5°=1，b=lg号2>log行=L,c=lg4<1g1=0, 当x≠0时，有b·2+1=b+2*, 即(b-1)(2-1)=0, 6.D由函数y=a的图象可判断出a>1. 又因为当x≠0时，有2-1≠0， 当a>1时，y=logx的图象经过定点(1,0)，且为增函数， 所以b-1=0,所以b=1. 因为y=logx与y=log（-x)的图象关于y轴对称， 经检验符合题意，所以a=1,b=1. 所以y=log（-x)的图象经过定点(-1,0)，为减函数. 而f代x)=log(-x+1)可以看作y=log.(-x)的图象向右平移 (2)由(1)知，函数)=2=-1+2)+2=-1+ 2 1+2* 1个单位长度得到的. 1+2 +2 因为y=1+2为增函数，且1+2>0， 所以fx)=log（-x+1)的图象经过定点(0,0)，为减函数. 则函数f(x)是减函数 7.C由已知，函数y=f(x)与函数y=2”互为反函数，则f(x)= (3)因为存在te[0,4],使fk+t)+f(4t-2t)<0成立，且函 l1og2x.由题设，当x>0时，g(x)=log2x-x,则g(8)=log28-8= 数fx)是定义在R上的奇函数， 3-8=-5.因为g(x)为奇函数，所以g(-8)=-g(8)=5. 8.C因为N=a×10“(1≤a<10,neZ),则lgW=n+lga(0≤ 所以不等式可转化为f代k+2)<f(2-4t), ga<1),所以104≤M<105,两边取常用对数得34≤31lgM 又因为函数f(x)是减函数， 所以k+2>2r-4,所以k>-4t, <35,于是计≤gM<7,即1.09<gM<1.13,所以n=13.故 令g(t)=t2-4t=(t-2)2-4, 选C. 由题意可知，问题等价转化为k>g(t)min, 9.ABC对于A,2log号10+log号0.25=log号(102×0.25)=lg号5 又因为g(t)m=g(2）=-4,所以k>-4, =-2,A错误： 即实数k的取值范围为(-4，+0) 对于B,1og,27×1ogs8x1og5=g3xg2xg5。 3×3 C组拓展应用（选作） -g2×1g5×g3=2×2×2 [-子0）)=3r+m-1是定义在[-1,1上的倒我 冬，B错误： 函数”， 对于C,lg2+g50=lg100=2,C错误； ∴.存在xo∈[-1,1]满足f代-xo)=-f(xo), .30+m-1=-3*0-m+1, 对于D,2-)-(:)2=-1-(分）=-， .2m=-30-30+2, D正确.故选ABC. 构造函数y=-30-30+2,o∈[-1,1]， 0Ac因为(3)‘>(3)，(3)>（兮广，所以(3）广> 令=3e[号3]。 (兮)，故A正确： 则y=1+2=2-(+）在[，1小上单调递，在 因为a立<b位，b位<b厅，所以a立<b厅，故B错误；因为loga> (1,3]上单调递减， log1b,logb>log1b,所以log1a>log4b,故C正确； 当t=1时，函数取得最大值0. 因为og.2<log.3,bg.3<log,3, 当=了或3时，函数取得最小值-专， 所以g。7<g弓，故D错误故选AC m的取值范围为[-子，0小， 1l.BCfx)=lnx+ln(2-x),定义域为(0,2)f(x)=n[x(2 x)]=m(-x2+2x),令t=-x2+2x,y=lnt,t=-x2+2x, 又：m0,m的取值范围为[-子，0） x∈(0,2)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，∴.f(x)在 (0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故A不正确；f(x)m 练案[11] =f1)=0,故B正确；：f1+x)=ln(1+x)+ln(1-x),f1 A组基础巩固 -x)=ln(1-x)+ln(1+x),f1+x)=f1-x),f(x)的 图象关于直线x=1对称，故C正确，D不正确， 1.D原式=log,4-1og,号+log8+1-5=g(4×32×8 32 24=(号)(a>0=子 +1-5las9=l0g9+1-9=-6. 2.C 函数f(x)=gx+g(5-3x)的定义域是 a=(号lga=4 x>0, g0,人即{<} 13.(2)=(ga)'在R上为减函数， L5-3x>0J .0<log号a<1,即log号1<log号a<log号2 3.D函数y=fx)的定义域为(-0，-2)U(2,+∞)，因为函 数y=fx)是由y=lgt与t=g(x)=x2-4复合而成，又y= 7<a<1 -573— 14-子依题意得)=·(2+2)=(e)+4 [-1,+0)当a>1时，fx)=log(-x+1)在[-2,0] 亚时 上单调递减」 f-2)=logn3=0, 无解；当0<a<1时f(x)=log(-x+1) 等号成立，所以函数)的最小值为-子 f(0)=log1=-1, 在[-2,0]上单调递增 15.[解析](1)f代x)是奇函数，证明如下： f-2)=logm3=-1, 1 因为f(x)=log(x+1)-log(1-x), f0)=log1=0, 解得a=3 所以+1>0， 1-x>0, -3的图象不经过第一象限 解得-1<x<1f(x)的定义域为(-1,1). f(-x)=log (x+1)-log.(1+x)=-[log.(1+x)- -3≤0，解得m≥-1，即实数m的取值范围是 log（-x+1)]=-f(x),故fx)是奇函数. [-1,+o) (2)因为当a>1时，y=log.(x+1)是增函数 y=log(1-x)是减函数， 5[解析】(1)要使函数有意义，则+x>0, 1-x>0, 所以当a>1时，f(x)在定义域(-1,1)内是增函数， 解得-1<x<1, f(x)>0 log (x+1)-log,(1-x)>0, 即函数f代x)的定义域为(-1,1) g>0>1,>0, (2)f-x)=log.(-x+1）-log(1+x)=-[log.(x+1)- log.(1-x)]=-f(x), 2x(1-x)>0,解得0<x<1, “f代x)是奇函数. 故使f(x)>0的x的取值范围为(0,1). 16.[解析](1)若函数f(x)是R上的奇函数，则f0)=0, 3)若)=2。 .l0g2(1+a)=0,.a=0. 当a=0时，f(x)=-x是R上的奇函数.∴.a=0. g(1+号）-1g(1-)=1og4=2. (2)由已知得函数f八x)是减函数，故f(x)在区间[0,1]上的最 解得a=2, ..f(x)=log2 (1+x)-log2 (1-x), 大值是f0)=lg（1+a),最小值是1)=log(号+a） 若fx)>0,则log2(x+1)>log2(1-x), 由题设得1o照1+o)-log(分+a小≥2， .x+1>1-x>0, 解得0<x<1, 则log2(1+a)≥log2(4a+2) 故不等式的解集为(0,1) {002解得-之<a≤-司 6.[解析](1)h(x)=(4-2log2x)1og2x 4a+2>0, =2-2(1og2x-1)2. 故实数。的取值范国是(-弓，-弓] 因为x∈[1,4]，所以log2xe[0,2], 故函数h(x)的值域为[0,2]. B组能力提升 (2)由fx2)·f)>k·g(x), 1.C因为函数y=log（-x)的图象与函数y=log。x的图象关于y 得(3-41og2x)(3-log2x)>k·log2x, 轴对称， 令t=log2x, 所以函数y=1og（-x)的图象恒过定点(-1,0)，故A,B错误； 因为xe[1,4], 当a>1时，函数y=logx在(0，+)上单调递增， 所以t=log2xe[0,2], 所以函数y=log（-x)在(-∞，0)上单调递减， 所以(3-4t)(3-t)>k·t对-切t∈[0,2]恒成立， 面y=十a>1)在(-×.0).(0，+a)上单调递减，放D错 ①当t=0时，keR; 误，C正确。 ②当te(0,2]时，k<3-4)3-山恒成立， t 2.D设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×(1-30%)<20， 即0.7<了易知函数)y=0.7在定义域上单调递减，所以x> 即k<4+?-15, 1 因为4+兰≥2，当且仅当4=兰。 o3g07=g7g3=008=81=3.2.所以他至 1 即1=子时取等号， 少经过4小时才能驾驶.故选D. 3.D因为函数y=log2(ax2-x)在区间(1,2)上单调递增，y= 所以和+ -15的最小值为-3. 1og2x为增函数，所以函数y=log2(ax2-x)在区间(1,2)上有意 所以k<-3. 义，且y=ax2-x在(1,2)上单调递增， 综上，实数k的取值范围为(-∞，-3). ra>0, ra<0, C组拓展应用（选作）】 所以a≠0，则2a 2a≥2， C因为f(x)=log(x+m)是[-2,2]上的局部奇函数， 1，或 所以x+m>0在[-2,2]上恒成立， La-1≥0La-1≥0. 所以m-2>0,即m>2, 解得a≥1，所以a的取值范围为[1，+o).故选D. 由局部奇函数的定义，存在xe[-2,2], -574 使得log3(-x+m)=-log3(x+m), y=llog x|=log2xl,根据“上不动、下翻上”可知D正确.故 即log(-x+m)+log(x+m)=log(m2-x2)=0,所以存在 选ABD. xe[-2,2], 使得m2-x2=1,即m2=x2+1, 10.AC由题意可知，函数f(x)的定义域为R,且fx)=41 2*9 又因为x∈[-2,2]，所以x2+1∈[1,5]， 2-2f(-x)=2-2=-f(x),所以函数f(x)为奇函数， 所以m2e[1,5],即me[-5,-1]U[1,W5], 又因为y=2是增函数，y=2是减函数，f(x)为增函数.故 选AC. 综上，me(2,5]. 11.ACf5(x)=log2x是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不 练案[12] 是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与(x)的图象 重合，故排除选项B、D:f4(x)=log2(2x)=1+log2x,将(x)= A组基础巩固 1og2(x+2)的图象沿着x轴先向右平移两个单位长度得到y= 1.D将函数f代x)=tanx的图象向右平移1个单位长度，所得函 1og2x的图象，再沿着y轴向上平移一个单位长度可得到f4(x) 数为f(x-1)=tan(x-l),则函数f(x-1)=tan(x-1)的图象 =log2(2x)=1+log2x的图象，可知选项A是“同形”函数；将 再关于y轴对称得函数g(x)=f(-x-1)=tan(-x-1)= f(x)=lg2(x+1)的图象沿着x轴向右平移一个单位长度得 -tan(x+1).故选D. 到y=log2x的图象，再沿着y轴向上平移一个单位长度可得到 2.D因为f代x)与g(x)均为定义在R上的奇函数，所以f代-x)= f(x)=log2(2x)=1+log2x的图象，可知选项C是“同形”函 -f(x),g(-x)=-g(x),所以h(-x)=f(-x)g(-x)= 数，故选AC h(x),则h(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故选D. :12.(3,1)由于函数y=f(4-x)的图象可以看作y=f代x)的图象 3.A因为函数f(x)=cosx+xsin x-1的定义域为[-T,π]，且 先关于y轴对称，再向右平移4个单位长度得到.点(1,1)关于 f-x)=cosx+（-x)sin(-x)-1=f(x),所以函数f(x)是偶 y轴对称的点为(-1,1)，再将此点向右平移4个单位长度，可 函数，其函数图象关于y轴对称，排除C、D;又f(π)=c0sT+T: 推出函数y=f(4-x)的图象过定点(3,1). ·sinπ-1=-2<0，排除B.故选A, 13.(-2,-1)U(1,2).f(x）)<0,.x和fx)异号 4.C显然x>2时，f(x)>0,排除D;x<0时，f(x)>0,排除B; 由于f代x)为奇函数，补齐函数f代x)的图象如图 1<x<2时，f(x)<0,排除A.故选C. 5.C由y=f代x)的图象关于x轴对称，得到y=-f(x)的图象，再 向左平移1个单位长度，得到y=-f(x+1)的图象.故选C. 6.CA中函数f(x),当x>1时，f(x)<0,与图象不符，故A排 除；B中函数f(x)的定义域为R,故B排除；D中函数f(x)为偶 函数，故D排除：C中函数f(x),定义域为{xlx≠±1}，且满足 当x∈(-2，-1)U(0,1)U(2,+∞)时f(x)>0, f代-x)=-f(x),其图象关于原点对称，当0<x<1时，f(x)< 当xe(-∞，-2)U(-1,0)U(1,2)时f(x)<0, 0,当x>1时，f(x)>0,与图象一致.故选C. ∴.不等式f(x)<0的解集为(-2，-1)U(1,2). 7.A由图象可知y=f(x)的图象关于y轴对称，是偶函数，y=: 14.xlx≥1} 画出y=2-x,y=1og2(x+1)的图象如图所示，由 g(x)的图象关于原点对称，是奇函数且定义域为xx≠0}，所 图可知，解集为{xlx≥1}. 以y=f孔x)·g(x)的定义域是{xlx≠0}，且是奇函数，排除B、 C;又当x∈(0,2）时x)>0,g(x)<0,所以fx)·g(x)<0, y=log,(x+1) 排除D.满足题意的只有A.故选A. 8.Cf(x)=loga Ix I的解的个数，等价于y=f(x)的图象与函数 y=log,IxI的图象的交点个数，因为函数f(x)满足f(x+2)= f(x),所以周期T=2, -2-1 当x∈[0,1]时，f代x)=x,且f(x)为偶函数， 1 在同一个坐标系中画出函数y=f(x)的图象与函数y=log1x1 -2 的图象，如图所示： y=2-x yt :B组能力提升 1.C定义域为xx≠0f(-x)=em2(-==esin2。 e-2-1 1-e2x y=1 f代x),故该函数为偶函数，故可排除B、D;当x=π时，有fπ)= e“sim2m=0,故可排除A故选C e2m-1 是处数？=的图象与函数，=的图象有4个交点，2D当=子时，m子号（晋）=m子>0，与图象子百。 故选C. 故A错误；当x=0时，cos0=1,则f代0)=tan1>0,与图象矛盾， 9ABD由图可得。=2，即a=2y=a=(分）广单调递减且 故B错误；当x=0时，sin0=0,ln(1sin0I)无意义，故C错误； 图象过点(-1,2)，故A正确；y=x“=x-2为偶函数，在(0， 因x)=h(os)e(-受受）则csx>0,由-)= +∞)上单调递减，在(-∞，0)上单调递增，故B正确；y=a ln[cos(-x)]=ln(cosx)=f(x),知f(x)=ln(cosx)为偶函数， =2“=2,≥0为偶函数，结合指数函数图象可知C错误； 12,x<0 图象关于y轴对称，且当x=±受时，casr=0,h(m)无意 575练案[11] 第六讲 对数与对数函数 的A组基础巩固 8.(2024·南京模拟)苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier, 1550一1617)发明的对数及对数表（如下表），为当时 一、单选题 的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就 是任何一个正实数N可以表示成N=a×10"(1≤a< 1.（2025·河西区模拟)计算2log2-log +(2-1)° 32 10,neZ),则lgN=n+ga(0≤lga<1),这样我们可 以知道N的位数，已知正整数M是35位数，则M的 +l0g8-25gs3= 值为 ( A.-7 B.-3 C.0 D.-6 N23451112131415 2.函数f八x)=√gx+lg(5-3x)的定义域是 1gN0.300.480.600.701.041.081.111.151.18 ao,引 B.[o.] A.3 B.12 C.13 D.14 二、多选题 c.) D1别 9.下列运算错误的是 A.2log10+l0g=0.25=2 3.函数f(x)=log(x2-4)的单调递增区间为 ( A.(0,+0) B.(-0,0)》 B.log,27x logas8xlog,5=8 9 C.(2,+∞) D.（-∞，-2) C.lg2+lg50=10 4.已知函数f(x)=logo.5(x-4x2+6),则 D.lg2+(2-5)-(10%2)2=- 4 A.f(x)有最小值，且最小值为-2 10.已知0<a<b<1,下列不等式成立的是 B.f(x)有最小值，且最小值为-1 B.ab C.f(x)有最大值，且最大值为-2 D.f(x)有最大值，且最大值为-1 1 C.logia logb D.lbg。2>log3 5设a=57,b=lg方c=lg是，则这三个数之间的大1.已知明数)=n+n(2-),则 1 A.f(x)在(0,2)上单调递增 小关系是 ( B.f(x)在(0,2)上的最大值为0 A.a>b>c B.a>c>b C.f(x)的图象关于直线x=1对称 C.b>c>a D.b>a>c D.f(x)的图象关于点(1,0)对称 6.(2025·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y=a的 三、填空题 图象如图所示，则西数)-lg《-+1)的都分图12(2025·河南信阳质量检测)若。-分(a>0),则 象大致为 log号a= 13.(2024·云南玉溪模拟)f(x)=(loga)在R上为减 函数，则实数a的取值范围是 14.函数f(x)=log2Vx·log(2x)的最小值为 四、解答题 15.已知函数f(x)=log(x+1)-log(1-x),a>0且a ≠1. (1)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (2)当a>1时，求使f(x)>0的x的取值范围. 7.已知函数y=∫(x)的图象与函数y=2的图象关于直 线y=x对称，g(x)为奇函数，且当x>0时，g(x)= f(x)-x,则g(-8)等于 A.-5 B.-6 C.5 D.6 -299 16.已知函数)=l喝（分+a） 4.已知函数(x)=logn(-x+1)(a>0,且a≠1)在 [-2,0]上的值域是[-1,0]，则实数a= (1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值； 若函数g(x)=a+m-3的图象不经过第一象限，则实 (2)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值 数m的取值范围为 的差不小于2，求实数α的取值范围. 5.已知函数f(x)=log.(1+x)-log。(1-x),其中a>0 且a≠1. (1)求函数f(x)的定义域： (2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由； (3)若)=2，求使)>0成立的x的集合。 的B组能力提升 1.在同一平面直角坐标系中，函数y=log。(-x),y= “:(a>0,且a≠的图象可能是 6.已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=l0g2x (1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)=[f(x)+1]·g(x) 的值域； (2)如果对任意的xe[1,4],不等式f八x2)·f(x)> k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围. 2.（2024·哈尔滨一模)酒驾是严重危害交通安全的违 法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定： 100mL血液中乙醇含量大于或等于20mg的驾驶员即 为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾 驶员喝了一定量的酒后，其血液中的乙醇含量上升到 了0.6mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中乙醇含量 会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小 时才能驾驶？（结果取整数，参考数据：1g3=0.48, C组拓展应用（选作）习 1g7=0.85) A.1 B.2 C.3 D.4 (2025·龙岩模拟)已知函数y=f(x),若在定义域内 3.(2025·浙江名校协作体返校联考)已知函数y= 存在实数x,使得f(-x)=-f(x),则称函数y=f(x) log2(ax2-x)在区间(1,2)上单调递增，则a的取值范 为定义域上的局部奇函数，若函数f(x)=log3(x+m) 围为 是[-2,2]上的局部奇函数，则实数m的取值范围是 () A(o2] B[31 A.[-5,5] B.[-2,2] c[分，+o】 D.[1,+o) C.(2,5] D.(0,2) —300