河北省石家庄实验中学2025-2026学年高三上学期10月期中考试数学试题

石家庄实验中学2026届高三年级第一学期期中考试 数 学 命题：高三数学 考试时间：120分钟 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他案标号。回答非选择题时,将案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（       ） A．A，M，O三点共线 B．M，O，A1，A四点共面 C．B，B1，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 3．在正项数列 中，设甲： ，乙： 是等比数列，则 A． 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B． 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C． 甲是乙的充要条件 D． 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4．八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中给出下列结论，其中正确的结论为（    ） A．与的夹角为 B． C． D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量） 5．已知三棱柱的所有顶点都在球的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球的表面积为，则三棱柱的体积为 A． B．12 C． D．18 6．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 7．在直角坐标系中，绕原点将轴的正半轴逆时针旋转角交单位圆于点、顺时针旋转角交单位圆于点，若点的纵坐标为，且的面积为，则点的纵坐标为（ ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．己知直线，则下列选项中正确的有（    ） A．直线l的斜率为 B．直线l的倾斜角为 C．直线l不经过第四象限 D．直线l的一个方向向量为 10．已知函数，下列结论成立的是（       ） A．函数在定义域内无极值 B．函数在点处的切线方程为 C．函数在定义域内有且仅有一个零点 D．函数在定义域内有两个零点，，且 11．在正方体中，，，，分别为，，的中点，，分别为，上的动点，作平面截正方体的截面为，则下列说法正确的是（    ） A．不可以是六边形 B．存在点，使得 C．当经过点，时，点到平面的距离的最大值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面是正方形，且，.    店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）.则图A比图B最多节省的彩绳长度为 . 13．设当时，函数取得最大值，则 . 14．过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为，，设两条切线的夹角为 ，当取最小值时，________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：及其上一点. (1)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且，求直线l的方程； (2)设点满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围. 16．已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若的面积为，为边上的一点， （i）若，求长． （ii）若，求长的最小值； 17．如图，平面，，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 18．已知函数. (1)求函数的极值； (2)若对任意恒成立，求的最大整数值. 19．已知函数，. （1）若，求函数的最小正周期与单调区间； （2）若对于任意，恒有，求实数的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，. 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $石家庄实验中学2026届高三年级第一学期期中考试 数学参考答案 一.选择题： 1.B2.C3.A4.C5.A6.C7.B8.C 二.选择题： 9.AD 10.ABD 11.BCD 三，填空题： 2W5 42 12.20-10W2 13. 5 14.9 四.解答题： 15.(1)x2+y2-12x-14y+60=0,即(x-6)2+(y-7)}2=25,故圆心M(6,7),r=5, 设直线方程为y=2x+b,|BC=OA=V22+42=2√5， 枚圆心到直线的距肉为1=-5可-25，即d=2-7+4-25, V1+22 解得b=5或b=-15,故直线方程为y=2x+5或y=2x-15 (2)TA+Tp=0,即TA=T0-TP=P0,Pg≤2r=10, 故T在圆(x-2+(y-4)=100的内部，即(t-22+(0-42≤100， 解得2-2√21≤1≤2+2√2i,即实数r的取值范围是2-2V21,2+221 16.(1)由6.a+-c =0,则 2ab +(c+2a.a2+c2-b 2ac a+-c+d+c2-b+2+c2-b =0, 2a 2a 所以r+c2-6。c则cos8-心4-. 2ac 2 2》D由题设csmB=5,则5c c=3 4 c=41 若DE L AB且DE=x,如下图示， 由B=3,BD L BC’则∠DBE=T =6,则BD=2x' 所以x4x+31x2x=x=53- 3,则BD=23 3 D+BD-24-BD5os DBE621 3 3； 第1页，共5页 (i)由cD=2AD'如下图示，BD=BA+AD=BM+AC=B+BC-B, 所以顾-+c,则而居丽+Cg丽+号丽c+)C 3 g号-+g 又ocsn8=5,则oe=4故丽ep× 212 cx-a- 222 ac= 3 3 V9 2W2 当且仅当 =C=2时取等号，故BD长的最小值为1 3 D 17.()依题意，可以建立以A为原点，分别以AB,AD,A正的方向为x轴，y轴，z轴正方向 的空间直角坐标系（如图）， 2不 D 可得A0,0,0),B1,0,0),C(1,2,0),D(01,0),E(0,0,2),F(1,2,1. 因为AE⊥平面ABCD,且ABC平面ABCD,所以AE⊥AB,又AD⊥AB,且 ADOAE=A,所以AB⊥平面ADE,故AB=(1,O,O)是平面ADE的一个法向量， 又BF=(0,2,1,可得BF,AB=0, 又因为直线BF￠平面ADE,所以BF∥平面ADE, (2) 依题意，BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),CE=(-1,-2,2), 设n=(x,y,2)为平面BDE的法向量， nBD=0 -x+y=0 nBE=0'即 则 -x+2z=0’不妨令l,可得元=(22,1' 第2页，共5页 CE.n4 设直线。n与平面。所成角。，因此有sin0= CE BDE CEl9 4 所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 (3) BD=0 -x+y=0 设m=(x,为平面BDF的法向量，则 即 .BF=0' 2y+z=0 不妨令=1，可得m=(1,l,-2. m·n 2×1+2×1-1×2 由题意，有cos(m,n)= 6 园x园 V22+22+×V2+1P+(-2)2 9 由图可知平面BDE与平面BDF夹角为锐角，所以平面BDE与平面BDF夹角的余弦值为 6 9 18.(1)函数f(x的定义域为0，+o),f'(x=lnx+2, 令f'()<0,得0<x<e2,即函数f(x在0，e）上单调递减， 令f'(x)>0,得x>e2,即函数f(x在(e2,+o)上单调递增， 所以函数f(x)的极小值为fe)=-e2,无极大值： (2)因为k(x-I)<f(x对任意x>1恒成立， 即k<+xlnx x-1对任意x>1恒成立， 令gxs+nx>1,则8（以=X-lnr-2 (x-12 令)=x-1nr-2,x>1,则()=1-=-0， 所以函数h(x在(1，+∞)上单调递增， 又h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-2ln2>0, 所以函数h(x在(1，+∞)上存在唯一零点，且x∈(3,4，x。-lnx-2=0, 当1<x<x时，h(x)<0,即g')<0,当x>x时，h(x)>0,即g(x)>0, 所以函数gx在(1，)上单调递减，在(x,+∞)上单调递增， 所以[g]=g-1+h=51+-2=,3,4, x-1 x-1 所以k<∈(3,4，所以k的最大整数值为3. 第3页，共5页 19.(1)当a=0时，f= 2+cosx 因为f(r+2π= sin(x+2π) sinx 2+cos(x+2π)2+cos =f(x), 所以f(x)的最小正周期为2π： 对求号海/-2+cr-s四.24 (2+cosx) (2+c0sx)2, 令用0：期2得-号2边子点，Z 3 1 令fy≤0，即cosx≤-2，解得3 还+2≤x≤督+2，keZ 2+2km, 故函数fx的单调递增区间为 2T+2k 2π 单调递减区间为 3 +2kπ， +2kn,kEZ' (2)对f(x求导得 f(x)=-1+2cost 3 2 -a=-32+c 1 1)2 1 -a= (2+cosx)2 (2+cosr)22+cos 注意到f0=0,借助“端点效应可得f八0)=3a≤0，解得a≥3 当a≥3时，∫xs0,可得f()在区间[0，+∞上单调递减， 所以f(x)≤f(0)=0, 故实数的取值范围为 sinx 1 (3)由(2)可知，当x>0时，2+cosx3 ≤0台sinx2+cosr 3 设8x=cosr-1+4r,0<r<d 4 则g'(x)=-sinx+5x; 21 令o=mr+,e0=0引 则p'(x=-cosx 2<0,可得g在区间01上单调递减， 所以g'(x)<g(0=0, 所以gx在区间(0，上单调递减， 第4页，共5页 所以9x)<g(0=0。 所以当0551时，casr<1-子， 4 s1<1-11 可得kN时，eos店1-4家， 可得ksns 1 2+cos 2+1-1 2 k人3 k 品ag1股4 2e-时日物 第5页，共5页