8.3.1实数及其简单的运算 导学案2024-2025学年人教版 七年级数学下册

该初中数学导学案围绕“实数及其简单的运算”展开，引导学生理解无理数概念、实数分类及与数轴的关系。通过课前回顾有理数，课堂探究有理数与小数的联系引入无理数，构建从有理数到实数的知识支架，实现新旧知识的自然衔接。 这份资料以探究活动为核心，如π和√2在数轴上的表示培养几何直观与抽象能力（数学眼光），通过辨析题和变式训练深化概念理解发展推理意识（数学思维）。分层练习覆盖基础与拓展，强化符号意识和应用意识（数学语言），助力学生自主构建知识体系，提升学习效率。

8.3 实数及其简单的运算 一、学习目标 知识与技能 1.经历无理数的探究过程，理解无理数的概念,会判断一个数是否为无理数； 2.理解实数的概念，会对实数进行分类； 3.理解实数与数轴的关系，能用数轴上的点表示无理数。 二、课前预习 回顾有理数与无理数 有理数包括________和________，任何有理数都可以写成___________的形式. 无理数是________________________小数 思考：有理数和无理数统称为________ 预习课本 P52-53： _____________ 叫做无理数． _____________ 统称实数． 实数的分类： ① ② 4．实数与数轴上的点的关系是 _________ ． 三、课堂学习 探究 1：无理数的定义 把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么? 4=4.0, , -=-0.25, 可以发现，上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式， 把下列小数改写成分数： 0.5= = 0.14= = 0.434=___________________ 0.= = 0.= 0.3=___________________ 事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数 我们知道，很多数的平方根、立方根是无限不循环小数，例如,-, π=3.14159265……也是无限不循环小数._____________又叫作无理数. 探究 2：实数的定义与分类 _____________和___________统称为实数。 ① ② 例 1 将下列各数填入相应的集合内：3.1、（每两个 1 之间多一个 0）。 （1）有理数集合： （2）无理数集合： （3）正实数集合： （4）负实数集合： 变式训练： 1.判断题。 (1)无限小数都是无理数； (2)无理数都是无限小数； (3)用根号表示的数都是无理数； (4)所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数； (5)所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数。 2.在0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的平方根与立方根中，哪些是有理数?哪些是无理数? 探究 2：实数与数轴的关系 π在数轴上的表示 我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。同样的，无理数也可以用数轴上的点来表示 如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，OO′的长是这个圆的 ，点O′的坐标是 ，这样，无理数可以用数轴上的点表示出来。 ∵C=2r ∴=3.14 与在数轴上的表示： 如图：边长为1的正方形的对角线长为，在数轴上以原点O为圆心，以为半径画弧，弧与数轴有 个交点，与正半轴交点为 ，与负半轴的交点为 。这样，无理数与-也可以在数轴上表示出来。 有理数本身可以用数轴上的点表示； 因此，每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点一一对应。 应用：比较实数大小（利用数轴 “右边的数大于左边的数”）： 例 2 在数轴上表示、-2、1.5，并比较它们的大小。 4、 课堂练习 1．把下列各数填入相应的集合内： －7， 0.32，， ， 0， ， ， ， 0．010010001，－． ①有理数集合: { …}；②无理数集合: { …}； ③正实数集合: { …}；④实数集合: { …}. 2．下列说法正确有 ．（填序号） ①无限小数都是无理数；②带根号的数都是无理数；③开方开不尽的数是无理数；④不能除尽的分数都是无理数；⑤两个无理数的和与积都是无理数；⑥数轴上的点表示实数 3.下列说法正确的是( ) A.有理数包括正有理数和负有理数 B.实数包括有理数、无理数和零 C.无论是有理数还是无理数都是实数 D.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数 4. 和数轴上的点一一对应的是( ) A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数 5.如图所示,以A为圆心的圆交数轴于B,C两点,若A,B两点表示的数分别为1,,则点C表示的数是( ) A.-1 B.2- C.2-2 D.1- 6.已知a=,b=-2,c=,则a,b,c的大小关系是( ) A.b>a>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 7.在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小 -2， -， ， 5、 课后练习 1.下列各数中，无理数是（　 　） A.－ B.3.141414…… C. D. 2.若无理数a满足：－2＜a＜－1，请写出两个你熟悉的无理数： . 3.实数可以分成（　 　） A.正实数和负实数 B.分数和无理数 C.无限循环小数和无限不循环小数 D.有理数和无理数 4.如图所示，实数在数轴上的对应点可能是 点. 6.已知点A，B，C在数轴上的位置如图所示，点A表示的数是-2，点C表示的数是，点B是AC的中点，则点B表示的数是 . 7.下列判断正确的是（　 　） A.是整数，是有理数 B.是分数 B.是有理数 C.是有理数 D.的平方根是±3 8.如图所示，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示－1的点重合.将圆沿数轴向左滚动1周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（　 　） A.π－1 B.－π－1 C.－π＋1 D.-π+1 9.图①是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线AB，BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD. （1）在图①中，拼成的大正方形ABCD的面积为 ，边AD的长为 . 知识运用： （2）现将图①水平放置在如图②所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示－1的点重合，若以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E，求点E表示的数. 10.阅读下面的文字，解答问题. 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于1＜＜2，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分－1，根据以上的内容，解答下面的问题： （1）的整数部分是 ，小数部分是 . （2）1＋的整数部分是 ，小数部分是 . （3）1＋＋的整数部分是 ，小数部分是 . 学科网（北京）股份有限公司 $