15.3等腰三角形的性质(第一课时)课件2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.3.1等腰三角形的性质 教学目标 知识与技能   1.通过实验操作，自主发现等腰三角形的性质，包括"等边对等角"和"三线合一"。 2.能够准确表述并理解这些性质的含义。 3.能够运用这些性质进行简单的计算和证明。 过程与方法 1.通过剪拼、测量、折叠基本等实验活动，体验等腰三角形性质的探索过程。 2.初步学会运用观察、实验、归纳、猜想和验证的数学思维方法。 3在小组合作中，提升动手操作和合作交流的能力。 情感态度与价值观 1.在动手实验、发现结论过程中，感受数学的乐趣，激发学习兴趣。 2.通过小组合作，培养团队协作精神和乐于分享的品质。 3.体验从具体到抽象、从特殊到一般的认知规律，增强学好数学的信心。 核心素养 1.逻辑推理：从实验现象中归纳出数学规律，并尝试进行证明。 2.直观想象：通过折叠等操作，发展空间观念，理解图形变换。 3.数学建模：实际问题转化为等腰三角形模型，运用性质解决问题。 创设情境，引入主题 等腰三角形 画一画 你能画等腰三角形吗？ 用直尺画等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形叫做 等腰三角形. 顶角 底角 底角 A C B 腰 腰 底边 等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. 等腰三角形是轴对称图形 用尺规作图画等腰三角形 实验操作、观察、发现、猜想等腰三角形的性质，提出问题 实验探究一：量一量，初步验证等腰三角形的性质 实验操作规程 同学们拿出画好的等腰三角形纸片，标出顶点A、B、C，用量角器测量∠B和∠C的度数，并记录，通过测量，小组交流，你们发现了什么？ 结论 实验探究二：折一折，验证等腰三角形的性质 实验操作规程 同学们将等腰三角形纸片对折，使两腰AB和AC重合。观察：折痕与底边BC的交点设为D，那么AD与BC是什么关系？BD与DC呢？∠BAD与∠CAD呢？ 结论 实验探究三：看一看，观察动画，验证等腰三角形的性质 实验操作过程 利用软件动态演示等腰三角形的翻折过程，验证实验一、二的结论。 ∠B=∠C。 观察、猜想：AD是BC的高、中线，也是顶角平分线。 量一量 折一折 看一看 找一找：通过三个实验的观察，找初图形中重合的线段和角 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB＝AC BD＝CD AD＝AD ∠B ＝ ∠C. ∠BAD ＝ ∠CAD ∠ADB ＝ ∠ADC 猜一猜：等腰三角形除了两腰相等以外，由这些重合的角和线段，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想. 猜想1 等腰三角形的两个底角相等。 等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合。 猜想2 理论论证，分析、解决问题 如何构造两个全等的三角形? 如何证明两个角相等呢？ 可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证 等腰三角形两底角相等。简称“等边对等角”。 已知：如图，△ABC 中，AB =AC，．求证：∠B =∠C． 方法一：作底边上边的高 方法二：作顶角的平分线 方法三：作底边上的中线   等腰三角形重要性质1： 数学语言描述：如图，在△ABC中，AB=AC则有∠B=C 证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°． 在△RtABD和Rt△ACD中 AB =AC 　　　AD =AD ∴△RtABD ≌Rt△ACD（HL）． ∴∠B =∠C 证明：作∠CAB的平分线AD交BC于点D ∵AD 平分∠ADB， ∴∠BAD =∠CAD． △ABD和△ACD中 AB =AC ∠BAD =∠CAD 　　　 AD =AD ∴△ABD ≌△AC（SAS）． ∴∠B =∠C 证明：取BC中点D，连接AD ∵D是BC的中点， ∴BD =CD． 在△ABD和△ACD中 AB =AC BD =CD 　　　AD =AD ∴△ABD ≌△AC（SSS）． ∴∠B =∠C 论证猜想2 等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合。 该性质应该分解为以下三个结论： （1）等腰三角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角的平分线。 已知AB=AC, BD=CD， 求证：∠1=∠2,AD⊥BC （2）等腰三角形的底边上的高也是底边上的中线和顶角的平分线。 已知AB=AC, AD⊥BC(已知)，求证：BD=CD, ∠1=∠2 （3）等腰三角形的顶角的平分线也是底边上的中线和底边上的高。 已知AB=AC, ∠1=∠2， 求证：BD=CD,AD⊥BC A B C D 又怎么证明这三个结论呢？ 结论1：等腰三角形底边上的中线也是底边上的高和顶角的平分线。 结论2：等腰三角形底边上的高也是底边上的中线和顶角的平分线。 结论3：等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线和底边上的高。 已知：如图，△ABC 中，AB =AC，AD 是底边BC 的中线．求证：∠BAD =∠CAD，AD⊥BC． 已知：如图，△ABC 中，AB =AC，AD 是底边BC 边上的高．求证：∠BAD =∠CAD，BD=CD． 已知：如图，△ABC 中，AB =AC，AD 平分∠BAC．求证：BD =CD，AD⊥BC． 证明：∵AD 是底边BC 的中线， ∴BD =CD． 在△ABD和△ACD中 BD =CD AB =AC 　　　AD =AD ∴△ABD ≌△ACD（SSS）． ∴∠BAD =∠CAD，∠ADB =∠ADC． ∵∠ADB +∠ADC =180°， ∴∠ADB =90°． ∴AD⊥BC． 证明：∵AD 是底边BC 的高线，∴AD⊥BC． ∵∠ADB =∠ADC =90°， 在△RtABD和Rt△ACD中 AB =AC 　　　AD =AD ∴△RtABD ≌Rt△ACD（HL）． ∴∠BAD =∠CAD，BD =CD     证明：∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD =∠CAD． 在△ABD和△ACD中 AB =AC ∠BAD =∠CAD 　　　 AD =AD ∴△ABD ≌△ACD（SAS）． ∴∠BDA =∠CDA，DB =DC． ∵∠ADB +∠ADC =180°， ∴∠ADB =90°． ∴AD⊥BC． 等腰三角形重要性质2 等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合。（简称等腰三角形“三线合一”性质） 用符号语言描述为： ∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, BD=CD (已知)，∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）. A B C D 知一推二 总结与应用 方法总结 等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”性质为我们以后证明两个角相等，两条线段相等和两条线段垂直提供了有用的途径和方法。 例题展示 练习1　填空： （1）如图，△ABC 中, AB =AC, ∠A =36°，则∠B= °； （2）如图，△ABC 中, AB =AC, ∠B =36°, 则∠A = °； （3）已知等腰三角形的一个内角为70°,则它的另外两个内角的度数分别是 .   练习2　如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB =AC，∠BAC =90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC 的度数，并写出图中所有相等的线段. 应用性质，解决问题 例题：如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。 A B C D 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x x ⌒ 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等边对等角) 设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x, 于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°， 在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72° 课堂小结 本节课你学到了什么？ 你是通过什么方法学到这些知识的？ 3.还有什么疑问吗？ 1、求有关等腰三角形的问题，作 顶角平分线、底边中线，底边的 高是常用的辅助线； 2、熟练掌握求解等腰三角形的 顶角、底角的度数； 3、数学思想方法：分类思想，转化思想和方程思想 。 对称性：轴对称图形 等腰三角形的性质 重要线段：等腰三角 形三线合一 角的性质：等边对等角 边的性质：两腰相等 布置作业： 1.若等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角为_____°；若顶角为70°，则底角为______°。 2.在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的中线，若BC=6，则BD=_____；若∠BAD=30°，则∠BAC=______°。 3.判断下列说法是否正确，对的打“√”，错的打“×”： 等腰三角形的两个底角一定相等（ ） 等腰三角形的高、中线、角平分线一定重合（ ） 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（ ） 4.在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各内角的度数。 5.已知：在△ABC中，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点，求证：BD=CE。 6.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求这个等腰三角形顶角的度数（提示：需分两种情况讨论）。 谢谢各位的聆听! $