8.1.2平方根 导学案 2024--2025学年人教版七年级数学下册

该初中数学导学案聚焦“算术平方根”，核心内容包括算术平方根的定义、非负性、估算方法（夹逼法）及计算器应用。课堂导入通过课前预习回顾平方根概念及计算，如“x²=(-7)²求x”，再结合课本预习引出算术平方根，搭建从平方根到算术平方根的知识支架，帮助学生区分两者。 资料亮点在于通过探究活动（如拼正方形探究√2）培养抽象能力和数感，夹逼法估算过程发展推理意识，实际问题（如裁纸片、场地面积）提升应用意识。习题分层设计，涵盖基础计算、估算比较和实际应用，助力学生逐步掌握，便于教师评估，促进学生用数学思维思考和解决问题。

8.1 平方根 （2 ） 一、学习目标 1.理解算术平方根的定义，能准确区分 “求一个数的平方根” 与 “求一个数的算术平方根”； 2.会估算非完全平方数的算术平方根的大致范围。 3.会用计算器求一个数的算术平方根，学会用 “夹逼法” 分析数的范围，培养数感和估算能力。 二、课前预习 回顾思考： 1.若 x²=(-7)²，则 x叫做______的平方根，记作：______,x=_______； 2.求下列各数的平方根： （1）1.44；（3）(-2)²；（3）0.04; (4) 3.求下列各式中 x 的值： （1）4x² - 81=0； （2）(2x - 3)²=121； 4. 一个圆形桌面的面积是 25π 平方分米，求桌面的半径r. 预习课本P42 （1） 一个正数 a 的有两个平方根，记作:_______,其中______是正的平方根,又叫做____________. （2） 计算：=_____，=______，=_______；对比结果与被开方数，发现：被开方数越大，对应的算术平方根________。 （2）“由于 =1，=2，所以 1<<2”，用同样的方法判断： 在整数______和______之间， 在______和______之间。 三、课堂学习 探究 1：算术平方根的定义 我们知道，正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的__________.正数a的算术平方根用_________来表示. 规定：0的算术平方根是0.0的算术平方根也记为√0. 探究 2：算术平方根的非负性 ≥0(a≥0) 例1求下列各数的算术平方根： (1)100;(2)64;(3)0.0001. 从例1可以看出：被开方数越大，对应的算术平方根就_______. 思考：“一个数越大，它的平方根就越大”对不对？ 例2 填空： 在整数______和______之间， 在______和______之间。 例3 比较大小 （1） ______4，（2） ______1.2 探究 3：用“夹逼法”求的范围 怎样用两个面积为1 dm³的小正方形拼成一个面积为2 dm²的大正方形?这个大正方形的边长是多少? 如图8.1-2,把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到右边一个面积为_____ dm³的大正方形. 设大正方形的边长为x dm,则x2=_____ 由边长不能为负数，可知 x=________ 所以大正方形的边长是_______dm. 介于 1 和 2 之间，那么它更接近 1 还是 2？ 计算 1.4²=1.96，1.5²=2.25，∵1.96<2<2.25，∴1.4<<1.5； 介于 1.4 和1.5之间，那么它更接近 1.4 还是1.5？ …… 如此进行下去，可以得到的更精确的估计范围.事实上，=1.414213562373…,它是一个__________小数. 实际上，很多正有理数的算术平方根(例如等)都是无限不循环小数. 例4 选择题 （1）实数 的值在（ ） A . 2和 3之间 B . 3和4 之间 C . 4和 5 之间 D . 9 和 11之间 （2）与 1 + 最接近的整数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 （3） 最接近的1个整数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 探究4、用计算器求一个数的算术平方根 探索：用计算器求下列各式的值： (精确到0.001) . (1) = ；(2) = ；(3) = ；(4) = ； 探究5、算术平方根的规律 (1) 利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗? 规律：被开方数的小数点每向右移动______位，它的算术平方根的小数点就向右移动_______位；被开方数的小数点每向左移动_______位，它的算术平方根的小数点就向左移动_______位. (2)用计算器计算(精确到 0.001)，并利用你在 (1) 中发现的规律说出 ,, 的近似值. 你能根据的近似值直接得到的近似值是多少吗? 例5 小丽想用一块面积为 400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片，使它的长与宽的比为 3∶2. 但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片!”你同意小明的说法吗?小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗? 四、课堂练习 1.求下列各数算术平方根 (1) 0.09 （2） （3） 52 （4） 2.求下列各式的值： (1); (2)—; (3)± 3.排球比赛场地呈长方形，长是宽的2倍，面积为162 m².它的长与宽分别是多少? 4.比较大小 与 2.24； (2) 与 0.5； (3) 与 1. 5. 的整部分是______，小数部分 6. 若 < x < ， x 为整数， 则 x =____. 7.先估算下列各数的整数部分，再用计算器求近似值： (1); (2) ; (3)(结果保留小数点后三位). 8.长方形画纸的面积为700 cm²,长与宽的比为5:4.王芳想从中裁出半径为12cm的圆形画纸，她的想法可行吗? 5、 课后练习 1.下列关于平方根的说法正确的是（ ） A. 的平方根是 ±4 B. -9 的平方根是 ±3 C. 0 的算术平方根是 0 D. 算术平方根等于它本身的数只有 1 2.估算 的值在（ ）之间. A. 5 和 6 B. 6 和 7 C. 7 和 8 D. 8 和 9 3.若 + (2-y)2=0，则 xy 的算术平方根是（ ） A. √2 B. 2 C. ±√2 D. ±2 4. 计算：(1) =______;(2)±=______；(3)-. 5. 一个正方形的面积是 18 平方厘米，它的边长是________厘米（结果保留根号），边长在________和________之间. 6.求下列各式中 x 的值 （1）(x + 5)²=36； （2）x²=(-√5)²。 7.比较下列各组数的大小： （1） 与2 （2） 与1.41 8. 设 a 、 b 是两个连续的整数，若 a < < b ，求 （a + b） 的算平方根. 9. 如果一个正数的平方根是，，求这个数． 10．观察下表，你能发现什么规律？ 0.0121 1.21 121 12100 0.11 1.1 11 110 已知，根据上述规律求，，的值 11．学校要在面积为64m2的正方形空地上，建一个面积为45 m2的圆形花坛，请你计算一下，能否 按规定在这块空地上建一个圆形花坛？ 12．某公路规定汽车速度不得超过80㎞/h，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后沉沦滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中是车速（单位㎞/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f 表示摩擦系数，在一次交通事故中，已知，请你判断一下，肇事汽车当时的速度是否超过了规定的速度? 学科网（北京）股份有限公司 $