8.1.1平方根 导学案 2024--2025学年人教版七年级数学下册

该初中数学导学案聚焦“平方根”核心内容，涵盖定义、开平方运算与平方运算的关系、性质及符号记法。通过回顾初一年级平方运算，逆向思考引出平方根，构建“回顾—逆向探究—归纳—应用”的学习支架，衔接前后知识。 以探究活动为主线，通过“探究1-4”引导学生主动参与定义建构和性质归纳，培养逆向思维与创新意识。例题融合基础计算与实际问题，练习分层设计，助力学生发展抽象能力和运算能力，提升应用意识，适合师生高效教学。

8.1 平方根 一、学习目标 1.能准确说出平方根的定义，明确 “若 x²=a（a≥0），则 x 叫做 a 的平方根”，并能区分平方根与算术平方根（算术平方根是平方根中的非负根）。 2.了解开平方运算的概念，理解开平方运算与平方运算的关系。 3.通过 “回顾平方运算 — 逆向探究平方根 — 归纳性质 — 应用计算” 的过程，体会 “逆向思维” 的数学思想。 二、课前预习 回顾平方运算（初一年级已学），计算下列各式： 3²=；(-3)²=；0²=；()²=；(-)²=；1.2²=；(-1.2)²=__。 观察结果：一个数的平方具有什么特点？____________________________（结果非负）。 逆向思考：已知一个数的平方等于 a，求这个数： 若 x²=9， 则 x=______； 若 x²= ，则 x=______； 若 x²=0， 则 x=______； 若 x²=-4，则 x=______； 预习课本，填空： （1）一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的_________或_________；如果 x²=a，那么 x 叫做 a 的_________. （2）一个正数 a 的正的平方根叫做 a 的_________. （3）0 的平方根是_________，0 的算术平方根是_________；_________没有平方根。 三、课堂学习 探究 1：认识平方根的定义 如果一个数的平方等于9,那么这个数是_______? 因为3²=9,所以这个数可以是_____;又因为(-3)²=9,所以这个数也可以是_____.因此，如果一个数的平方等于9,那么这个数是________. 若x2=a,填写下表： a 16 36 49 0.0001 0 -4 x 3 -3 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a, 那么a叫做这个数x的______; 这个数x叫作a的_________或_________. 探究 2：如何求一个数的平方根 求一个数的平方根的运算，叫作________. 平方运算和开平方运算是______________关系。 例1求下列各数的平方根： （1）100；（2）；（3）0.04；（4）-9。 解：（1）∵(±10)²=100，∴100 的平方根是 _______； （2）∵(_____)²=， ∴ 的平方根是________； （3）∵(_____)²=， ∴0.04的平方根是________； （4）∵任何数的平方都不是负数，∴-9________平方根。 小结：结合 x²=a ___0，可知 （1）正数有_____平方根，它们是_________； （2） 0 的平方根是______； （3）负数没有平方根. 探究 3：平方根的符号记法 一个正数 a 的有两个平方根，记作:_______,其中_____叫做a的正的平方根,“” 又叫做a的______________； _________叫做a的负的平方根； 0的平方根记作：___________，所以 =0 负数没有平方根.所以 有意义的条件是______________ 例2求下列各数的平方根 （1）0.36 （2）-5 （3）（-3）2 （4） 0.1 解：（1） 练习：说出下列各式的含义并计算： （1） 含义是________________，结果 =______； （2） 含义是________________，结果 =______； （3） 含义是________________，结果 =______； （4） 含义是________________，结果=______ ； （5）- 含义是________________，结果=______ ； （5） 含义是________________，结果=______ ； （6） 含义是________________； 探究4：平方根的性质应用与运算 表示a的_______，a 叫做___________, 因为负数没有平方根，所以有意义的条件是_____ 又因为其中叫做a的________,所以_____0 性质总结（结合探究 1、2、3）： （1）被开方数 a≥0（平方根有意义的条件）； （2）≥0（算术平方根的非负性）； 性质应用实例： 例3 若 有意义，求 x 的取值范围； 解：由被开方数非负，得 x-2≥0，∴x≥2； 例 4 若 + =0，求 x+y 的值； 解：∵≥0，≥0，且和为 0，∴=0，=0， ∴x=0，y=3，∴x+y=0+3=3； 例5 求下列各数的平方根 （1）225；（2）0.01（3）（-5）2（4） （5）3 解： 例6解决实际问题：一个正方形的草坪面积是 64 平方米，要在草坪四周围上栅栏，求栅栏的总长度。 解： 例7 若 + (y+2)²=0，求 x²+y² 的平方根。 四、课堂练习 1.填空题： （1）25 的平方根是_________，算术平方根是_________； (2）±=_____，=_____，-=_________； （3）若 x²=36，则 x=_____；若3，则 x=______； （4）_________的平方根是 ±0.1，_________的算术平方根是； （5）有意义的条件是_________，若 无意义，则 a 的取值范围是_________。 2.选择题： （1）下列各数中，没有平方根的是（ ） A. 0 B. (-3)² C. -(-2) D. -5² （2）的算术平方根是（ ） A. 4 B. ±4 C. 2 D. ±2 （3）若一个数的平方根等于它本身，则这个数是（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 0 或 1 3.计算下列各式： （1）±；（2）；（3）-；（4）； 4.求下列各式中 x 的值： （1）x²=121； （2）x² - 49=0； （3）2x²=8； （4）(x-1)²=36 5. 已知 + + y=4，求 x+y 的算术平方根。 6. 一个正数的两个平方根分别是 2a-1 和 a+7，求这个正数的值. 五、课后练习 （一）选择题 1.下列说法正确的是（ ） A. 任何数都有平方根 B. 一个数的平方根一定有两个 C. 表示 - 4 的平方根 D. 若=2，则 a=4 2.若 m 是 (-3)² 的算术平方根，n 是 的平方根，则 m+n 的值为（ ） A. 5 或 1 B. 5 或 - 1 C. -5 或 1 D. -5 或 - 1 3.已知 + (b+2)²=0，则 (a+b)² 的平方根是（ ） A. ±1 B. 1 C. ±3 D. 3 （二）填空题 1.计算：=______；±=______；-=_______；=______ 2. 若有意义，则 x 的取值范围是_________； 3. 若 x²=(-7)²，则 x=_______；若=，则 x=_______ 3.一个正数的两个平方根分别是 m 和 m-4，这个正数是_________ 4.求下列各数的平方根和算术平方根： （1）1.44；（3）(-2)²；（3）0.04; (4) 5.求下列各式中 x 的值： （1）4x² - 81=0； （2）(2x - 3)²=121； 6.解决实际问题： （1）一个圆形桌面的面积是 25π 平方分米，求桌面的半径（π 取 3.14，结果保留整数）； （2）一个正方体的表面积是 54 平方厘米，求正方体的棱长和体积。 7. 已知 + |b - 2|=0，求 a + b 的平方根. 学科网（北京）股份有限公司 $