8.1 平方根 （教学设计） 2025-2026学年人教版七年级下册数学

第八章 实数 8.1 平方根（教学设计） 课题：8.1 平方根 章节：第八章 实数 学科：数学 年级：七年级（下） 教材分析 本节是数系从有理数扩充到实数的关键起点，承接七年级上册有理数的平方运算，为后续立方根、无理数、实数运算奠定基础。教材以“第二宇宙速度计算”“正方形对角线长度”等实际问题为切入点，通过“逆运算”思路引出平方根概念，再区分算术平方根，结合例题讲解定义应用、性质归纳、计算器使用，最后通过“裁纸片”等实际问题强化应用。整体遵循“实际问题—概念抽象—性质探究—应用巩固”的逻辑，渗透“逆运算思想”“数形结合思想”“分类讨论思想”，注重知识的实用性和探究性。 核心素养 能力培养 1. 数学抽象：从平方运算逆问题中抽象平方根、算术平方根的定义，建立“数—平方—平方根”的对应模型； 2. 逻辑推理：通过实例归纳平方根的性质（正数、0、负数的平方根情况），培养推理条理性； 3. 运算能力：掌握开平方运算，能求一个非负数的平方根和算术平方根，熟练使用计算器求近似值； 4. 应用意识：运用平方根知识解决实际问题（如正方形边长计算、裁剪问题），感受数学与生活的联系。 教学目标 1. 理解平方根和算术平方根的定义；掌握平方根的性质；能准确求非负数的平方根和算术平方根；会用计算器求平方根近似值； 2. 经历“逆运算探究—概念形成—性质归纳—应用拓展”的流程，掌握“对比区分”“实例验证”的学习方法； 3. 通过实际问题激发学习兴趣，在探究中培养严谨思维，感受数系扩充的必要性。 教学重点 平方根和算术平方根的定义；求非负数的平方根和算术平方根；平方根的性质。 教学难点 区分平方根和算术平方根；理解“负数没有平方根”；运用平方根解决实际问题（如例5裁剪问题）。 教学方法 情境导入法、探究发现法、讲练结合法、对比辨析法 教学课时 1课时（40分钟） 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 复习回顾（新知导入） 1. 旧知衔接： 提问“计算：3²=？(-3)²=？0²=？”“一个数的平方具有什么特点？（非负数）”； 2. 逆问题设问：“已知一个数的平方是9，这个数是多少？”“平方等于16、36的数各是什么？”； 3. 情境拓展：出示“第二宇宙速度”问题，提问“v²=2gR，已知g和R，如何求v？”，引出课题“平方根”。 1. 快速口答平方运算结果，回忆平方数的非负性； 2. 思考逆问题，说出满足条件的数； 3. 带着实际问题困惑，进入新知探究。 1. 衔接平方运算，为“逆运算推导平方根”铺垫； 2. 逆问题激发探究欲，自然引出核心概念； 3. 实际情境体现知识实用性，激发学习兴趣。 新知探究 教师出示问题： （1）平方等于4、25、0.01的数各有几个？有什么关系？ （2）平方等于-4的数存在吗？ 【分析】 引导学生结合平方运算结果，分类讨论“正数、0、负数”的平方逆问题，梳理满足条件的数的特征。 【归纳结论】 1. 平方根定义：如果一个数x的平方等于a（x²=a），那么x叫作a的平方根（二次方根），求平方根的运算叫开平方； 2. 平方根性质：正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根； 3. 算术平方根定义：正数a的正平方根叫作a的算术平方根，记为a，0的算术平方根是0。 【教学说明】 通过“± 与 “ ”的符号对比，强调：平方根含正负，算术平方根仅非负；只有非负数才有平方根和算术平方根。 例1：求下列各数的平方根： （1）64； （2）9/100； （3）0.01 （板书解题格式：先找平方等于该数的数，再写平方根） 例 1 答案 （1）∵ 8²=64，(−8)²=64， ∴ 64 的平方根是 ±8； （2）∵ (3)²=9，(−3)²=9， ∴ 9/100的平方根是 ±3/10​； （3）∵ 0.1²=0.01，(−0.1)²=0.01， ∴ 0.01 的平方根是 ±0.01。 例2：判断下列各数是否有平方根，若有求其平方根： （1）0.36； （2）-5； （强调：先判断数的正负，再求平方根） 例 2 答案 （1）0.36 是正数，有平方根；∵ 0.6²=0.36，(−0.6)²=0.36，∴ 0.36 的平方根是 ±0.6； （2）-5 是负数，没有平方根； 【教学说明】学生独立思考，教师适当提示。 1. 分类讨论逆问题，小组交流结果，归纳数的平方逆问题的三种情况； 2. 记忆平方根、算术平方根定义及性质，区分两个概念的符号和范围； 3. 跟随例题学习解题格式，独立完成“做一做”，核对答案并纠正错误； 4. 标注易错点：负数无平方根，算术平方根不能为负。 通过教师的引导和学生的探究，使学生逐步理解平方根的概念、特点和性质，区分平方根与算术平方根，为后续的学习打下基础。 课堂练习 1. 基础必做题： （1）判断题： ①1的平方根是1； ②-1没有平方根； ③0.5是0.25的算术平方根； ④0的平方根是0； 答案： ①×（1的平方根是±1）； ②√（负数无平方根）； ③√（0.5²=0.25，且算术平方根为非负）； ④√（0的平方根只有0）； （2）求下列各数的平方根： 6²、0.49； 答案：6²=36，36的平方根是±6；0.49的平方根是±0.7； （3）求下列各式的值： 、- 、± 答案： =6（算术平方根取非 负）；- =-0.8（负号表示算术平方 根的相反数）；± =±4/3（求平方根含正负）； 2. 提升选做题： （1）求下列各式中x的值：x²=25、(x-1)²=1； 答案：x²=25→x=±5；(x-1)²=1→x-1=±1→x=2或x=0； （2）比较 与8的大小； 答案： ＞8（解析：8²=64， 表示平方为65的正数，65＞64， 故 ＞8）； 3. 反馈订正：重点讲解“负数无平方根”“算术平方根非负”的易错点，规范解题格式。 1. 独立完成基础题，巩固定义和性质； 2. 小组讨论提升题，分享解题思路； 3. 对照答案订正错误，记录易错点。 通过练习巩固学生对平方根的理解，提高他们的解题能力，同时，教师的点评和总结有助于学生发现自己的不足，及时纠正错误。 课堂小结 一、知识点提炼 1. 核心概念：平方根（± ，a ≥0）、算术平方根（ ，a≥0）； 2. 关键性质：正数有两个平方根（互为相反数），0的平方根和算术平方根都是0，负数无平方根； 3. 运算关系：开平方与平方互为逆运算。 二、数学思想方法 抽象思维：从实际问题和逆运算中抽象数学概念； 分类讨论思想：按数的正负分类探究平方根存在性； 逆运算思想：通过平方运算验证平方根。 三、注意事项 1. 被开方数必须是非负数（a≥0）； 2. 区分平方根（两个值）和算术平方根（一个非负值）； 3. 实际问题中，边长、速度等量取算术平方根（非负）。 1. 跟随教师梳理知识点，对比记忆两个核心概念； 2. 记录数学思想方法，总结解题技巧； 3. 标注注意事项，规避常见错误。 通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的学习内容，巩固所学知识。 作业布置 1. 必做题： 教科书P46-47，习题8.1第1、2、4题； 2. 选做题： （1）估算面积为3dm²的正方形边长（保留两位小数）；　　 答案：边长≈1.73dm（解析：正方 形边长= = ， ∵1.73²=2.9929，1.74²=3.0276， 2.9929更接近3，故 ≈1.73）； （2）思考：一个数的平方根是它本身，这个数是多少？　 答案：这个数是0（解析：正数的平方根互为相反数，不可能等于本身；负数无平方根；0的平方根是0，符合条件）。 完成教师布置的课后作业，巩固所学知识。 布置适量的课后作业，让学生进一步巩固和拓展所学知识。 板书设计 ### 8.1 平方根 一、核心概念 1. 平方根：x²=a→x=± （a≥0） 2. 算术平方根：正数a的正平方根→ （a≥0） 二、性质 1. 正数：两个平方根，互为相反数； 2. 0：平方根=算术平方根=0； 3. 负数：无平方根。 三、关键区分 符号 个数 教学反思 1. 亮点：以逆运算和实际问题导入，贴合学生认知；通过对比表格区分两个易混淆概念，降低理解难度；分层练习兼顾基础与提升，覆盖不同学生需求。 2. 不足：部分学生对“被开方数非负”的条件理解不透彻，易忽略实际问题中结果的非负性；计算器使用环节需加强实操指导。 3. 改进：后续课增加“被开方数取值范围”专项练习；实操课强化计算器求平方根步骤；设计概念辨析题（如 “的平方根是多少”），深化理解。 1 学科网（北京）股份有限公司 $