精品解析：重庆市巴蜀中学校2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

初二数学 巴蜀中学初中数学试题研究中心命制 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2025各省足球联赛火热开启，下列队徽图案为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 2. 下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．利用因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A、没有把多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、没有把多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、符合因式分解的定义，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查整式的计算，正确掌握合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方的计算方法是解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方计算即可判断． 【详解】解：A． ，故该选项正确，符合题意； B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项不正确，不符合题意； D． ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 4. 一个三角形三边长均为奇数，其中的两条边长分别是3和7，满足上述条件的三角形的个数为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，首先设三角形第三边长为，根据三角形的三边关系可得，解不等式可得的取值范围，再根据三边长均为奇数确定的值，进而可得答案，解题的关键是掌握三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 【详解】解：设三角形第三边长为， 由题意得：， ∴， ∵三角形三边长均为奇数， ∴，，，共个， 故选：D． 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算，掌握同底数幂的除法法则和幂的乘方运算法则是解题的关键．先将通过同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算拆解成含有和的式子，再根据已知条件把，代入求解即可． 【详解】，， ． 故选C． 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先根据提公因式法因式分解，再将已知式子的值代入，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 7. 在学习用平方差公式分解因式时，老师给了每个学生一张边长为的正方形卡片，让学生通过裁剪拼接的方式来验证，下面是位同学裁剪拼接的过程，其中能验证上述公式的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何表示，数形结合是解决问题的关键． 根据位同学裁剪拼接的过程，数形结合，由面积相等验证平方差公式即可得到答案． 【详解】解： 左图阴影部分是由四个全等的等腰梯形构成，梯形上底为、下底为，高是， 左图阴影部分的面积为；右边阴影部分为， 即该图可以验证平方差公式； 左图阴影部分是由两个全等的直角梯形构成，梯形上底为、下底为，高是， 左图阴影部分的面积为；右边阴影部分为， 即该图可以验证平方差公式； 左图阴影部分是由两个全等的矩形和一个正方形构成，矩形长为、宽为；正方形边长为， 左图阴影部分的面积为；右边阴影部分为， 即该图可以验证平方差公式； 综上所述，位同学裁剪拼接的过程，均能验证平方差公式， 故选：D． 8. 如图，在中，，为中点，，，点为上一动点，将沿折叠得到，与交于点，若，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，折叠的性质，先证明得出，如图设交于点，根据三角形内角和定理得出，再导角得出，则是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵在中，，为中点， ∴，， ∴ 设 ∵ ∴ ∴ ∵ 即 即 ∴ 如图设交于点， ∵折叠， ∴ 又∵ ∴， ∵折叠， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 故选：B． 9. 如图，在中，于点，，，，则的长度为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，作关于的对称点，连接，得出，，根据得出，根据三角形的外角的性质得出，即可得出，根据等角对等边得出，进而求得的长． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接， ∴ ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 10. 已知，则的值为（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，设，则，，再根据求出的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故选：A． 11. 如图，在中，，，，为角平分线上一动点，为边上一动点，的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】过点Q作的对称点，连接，则，过点作交延长线于点，则，那么的最小值为，过点作交于，过点作于点，证明，导角证明得到，则由等腰三角形的性质以及全等三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：过点Q作的对称点，连接，则，过点作交延长线于点， ∵为角平分线上一动点， ∴点在射线上， ∴， ∴的最小值为，此时重合，点共线， 过点作交于，过点作于点， ∴， ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂线段最短，三角形的外角定理等知识点，难度大，解题的关键是正确构造全等三角形． 12. 关于的多项式，其中为整数，为正整数．当，取不同的值时会产生不同的．下列说法正确的个数有（ ） ①当，，时，多项式（，为整数），则的值为5； ②已知，则当（为正整数）时，，当（为正整数）时，； ③当，时，多项式，且满足．则当二次根式有意义时，多项式的最大值为． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，二次根式有意义的条件，配方法的应用；①先计算，根据题意得出，列出方程组，根据加减消元法求得代数式的值；②取得出，进而分别令和，求得代数式的值，两式相加，进而求得，当 （ 为正整数）时，同理可得；③计算，进而求得的值，根据二次根式有意义的条件求得的最大值，进而配方法求得的最大值，即可求解． 【详解】解：（1）当，，时， ： ． ， ． 解方程组： 得，故说法①正确． （2）已知 ， 令，则， 令，① 令，② ①+②得， ∴ ∴当 （ 为正整数）时，； 同理可得，当 （ 为正整数）时，．故说法②正确． （3） ，则 ，， ． ∴ ∵ ∴ ，． ． 当二次根式有意义时， ∴的最大值为 ∴的最大值为，故③正确， 所有三个说法均正确，正确个数为 3 个． 故选： D． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方公式的逆用．根据计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 14. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为：． 15. 若多项式是一个完全平方式，则的值是___________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据完全平方式的特点得出，再求出即可． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ， 或7， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个． 16. 如图，，为角平分线上一点，，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，过点作的延长线于点，由角平分线的性质可得，由平行线的性质得，进而根据直角三角形的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵为角平分线上一点，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 等腰的两边长为，，且则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，三角形三边关系，非负数性质，求得的值是解题的关键．根据完全平方公式因式分解，根据平方的非负性，求得的值，根据等腰的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴，， 解得，， ∵等腰的三边长为、、， 当时，,不能构成三角形； 当时，的周长为； 综上，的周长为． 故答案为：． 18. 关于，的二元一次方程组的解为整数，关于的不等式组有且仅有2个奇数解，则所有满足条件的整数的和为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解；先求出方程组的解，根据方程组的解为整数得出为奇数，根据不等式组有且仅有个奇数解得出关于的不等式组的解集，从而求出符合题意的的奇数解，求其和即可． 【详解】解：， 得： 解得， 得， 解得 ∵关于，的二元一次方程组的解为整数， ∴为奇数 解关于的不等式组，得； ∵关于的不等式组有且仅有个奇数解， ； 解得：， 奇数为，，其和为； 故答案为：． 19. 如图，在等腰中，点为内部一点，连接，，，，记，若，则________．（用表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，过点作于点，在上取点使得，连接，设，根据已知得出，进而得出，则，证明，进而得出是等边三角形，得出，则，根据三角形的外角的性质得出，进而求得． 【详解】解：如图所示，过点作于点，在上取点使得，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 故答案为：． 20. 如果一个自然数能分解成：，其中和都是两位数，且与的十位数字之和的平方与它们个位数字之和的平方的差为13，则称为“诚朴数”，把叫做的“诚朴分解”．例如：1435可分解为，满足，则1435的“诚朴分解”为，则“诚朴数”的“诚朴分解”是________；若将“诚朴数”的“诚朴分解”中的的十位数字与个位数字的差，与的十位数字与个位数字的和相加所得的和记为，将的十位数字的2倍与个位数字的和，与的十位数字与个位数字的差相减所得的差记为，．若是“诚朴数”，且能被6整除，则满足条件的的最大值与最小值的差为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查新定义，理解题意，按新定义用数学式子表示出相关量分析是解决问题的关键． 对分解质因数，再按照“诚朴分解”定义验证即可得到答案；设，按照题中定义表示相关式子，采用枚举法逐个验证即可得到答案． 【详解】解：， 由“诚朴分解”定义可知，， “诚朴数”的“诚朴分解”是； 设， 则；， 是“诚朴数”， ， 则， 由于分解质因数为，则， ， ， 则；， 即；， ， 则； ； ， 是奇数、为偶数， 必为奇数， 若能被6整除，则必须为偶数； 由是两位数可知，，， 则， 值可取； ， ， 则值可取； ， ， 则， ， 当时，， 即取值不超过，列举如下： 当时，： 时，，此时，不能被6整除，舍去； 时，，此时，不能被6整除，舍去； 时，，此时，能被6整除： 由可得，， 则，此时； 时，，此时，不能被6整除，舍去； 时，，此时，不能被6整除，舍去； 时，，此时，能被6整除： 由可得，， 则，此时； 时，，此时，不能被6整除，舍去； 当时，，与必须为偶数矛盾，舍去； 当时，： 时，，此时，不能被6整除，舍去； 时，，此时，不能被6整除，舍去； 时，，此时，能被6整除： 由可得，， 则，此时； 时，，此时，不能被6整除，舍去； 时，，此时，不能被6整除，舍去； 时，，此时，能被6整除： 由可得，， 则，此时； 时，，此时，不能被6整除，舍去； 综上所述，满足题意的有、、、， 满足条件的的最大值与最小值的差为； 故答案为：；． 三、解答题：（本大题6个小题，第21题20分，其余每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 21. 计算题 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算； （1）根据零指数幂，有理数的乘方，化简绝对值进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法，积的乘方，单项式除以单项式，进行计算，最后合并同类项，即可求解； （3）根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，进行计算即可求解； （4）根据平方公式与完全平方公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 22. 先化简，再求值： ，其中，满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先利用整式的乘法公式和运算法则进行化简，再根据非负数的性质求出的值，然后代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的乘法公式和运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴原式 ． 23. 在学习了等腰三角形的相关知识后，数学学习小组进行了更深入的研究，他们发现一个三角形两边中线相等，则这个三角形是等腰三角形，可利用证明三角形全等得到此结论，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在中，点是边上的中点，用尺规过点作边的垂线交于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：在中，点、点分别是、边上的中点，过点作于点，过点作于点，满足，求证：是等腰三角形． 证明：∵点、点分别是、边上的中点， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴ ① ， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ ④ ， ∴ ∴是等腰三角形． 【答案】（1） 如图所示， （2）；；； 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，全等三角形的性质与判定，等角对等边； （1）根据题意过点作的垂线，连接，即可； （2）根据全等三角形的性质与判定完成填空，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 随着科技的发展，智能机器人进入现代化车间，某智能制造车间有A、B两种机器人组装同一款玩具，一台种机器人比一台种机器人每小时多组装60个玩具，10台种机器人和5台B种机器人每小时共组装3000个． （1）求一台种机器人、一台种机器人每小时分别能组装多少个玩具？ （2）因玩具市场销售火爆，销售商决定向该车间追加订单，该车间随即对A、B两种机器人进行技术升级．升级工作全面完成后，种机器人每小时组装的玩具数量增加10%，B种机器人每小时组装的玩具数量增加20%．已知升级改造后，投入生产的A种机器人的台数比B种机器人台数的2倍还多15台，且A、B两种机器人每小时组装的玩具数量之和不低于23630个，那么该车间最少应安排多少台种机器人投入生产？ 【答案】（1）一台种机器人每小时能组装个玩具，一台种机器人每小时能组装个玩具 （2）该车间最少应安排台种机器人投入生产 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程与一元一次不等式的应用； （1）设一台种机器人每小时组装 个玩具，则一台种机器人每小时组装  个玩具，根据题意，列出方程，解方程，即可求解； （2）先分别求得的工作效率，根据题意列出一元一次不等式，然后求得不等式的最小整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：设一台种机器人每小时组装 个玩具，则一台种机器人每小时组装  个玩具，根据题意，得 解得， （个） 答：一台种机器人每小时能组装个玩具，一台种机器人每小时能组装个玩具． 【小问2详解】 种机器人效率提升，新效率为个小时，种机器人效率提升，新效率为个小时； 设投入生产的种机器人台数为台，则种机器人台数为  台，依题意得， ， 解得：． ∵为正整数， ∴最小值为． 答：该车间最少应安排台种机器人投入生产． 25. 如图，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． （1）若，，求的长； （2）在（）条件下，点为边上一点，连接，过点作，且（点在直线的上方），连接交直线于点，若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）证明，得到，，进而由即可求解； （）过点作于点，可证，得到，由可求得，进而根据线段的和差关系即可求解； 本题考查了余角性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，则， ∴， 又∵， ∴， ∴, ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 26. 如图，在中，，点E是底边上一点，连接，D为射线上一点，以A为顶点、为腰，在右侧作等边． （1）如图1，点D与点E重合，，连接，过F作于，当，求的值； （2）如图2，点D与点E重合，，K为中点，与相交于点N，当时，求证：； （3）如图3，，是的角平分线，将沿边向下翻折，得到，点D为射线与直线的交点，点E在边上的运动过程中，当最小时，过C作直线，在直线m上有一动点H，当的值最小时，直接写出的度数． 【答案】（1） （2） 证明：在上截取，并连接， ∵，， ∴， 又∵K是中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意证明是等边三角形，由为等边三角形得到，利用“”证明，得到，，设，则，，通过线段间的等量关系得到和的表达式，进一步求得其比值； （2）在上截取，并连接，根据等腰三角形的性质及中垂线定理得到，利用“”证明，得到，，进而求得，，再利用“”证明，得到，最后通过线段之间的等量关系求证结果； （3）根据题意要使的值最小，则的值也最小，当时，的值最小，再过点A作关于直线m的对称点，连接交直线m于点Q，交于点，连接交直线m于点H，连接，此时的值最小，根据已知条件利用三角形内角和定理，外角的定义及全等三角形的判定与性质得出相应角的度数即可， 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵为等边三角形，点D为上的动点， ∴， 要使的值最小，则的值也最小， 如图，当时，的值最小， ∵，， ∴， 又∵为的角平分线， ∴， ∵沿翻折至， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵直线， ∴， ∴，， ， ∴， 如图，过点A作关于直线m的对称点，连接交直线m于点Q，交于点，连接交直线m于点H，连接，此时的值最小， ∵直线， ∴， 又， ∴，则， ∵， ∴， ∴点C，A，G，四点共圆， ∵ ∴，， ∴为等边三角形，即， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义，角平分线的定义及动点最值等知识点，综合性强，题目难度大，属中考的几何压轴题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学 巴蜀中学初中数学试题研究中心命制 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2025各省足球联赛火热开启，下列队徽图案为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个三角形三边长均为奇数，其中的两条边长分别是3和7，满足上述条件的三角形的个数为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在学习用平方差公式分解因式时，老师给了每个学生一张边长为的正方形卡片，让学生通过裁剪拼接的方式来验证，下面是位同学裁剪拼接的过程，其中能验证上述公式的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 8. 如图，在中，，为中点，，，点为上一动点，将沿折叠得到，与交于点，若，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，在中，于点，，，，则的长度为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 13 10. 已知，则的值为（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 11. 如图，在中，，，，为角平分线上一动点，为边上一动点，的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 12. 关于的多项式，其中为整数，为正整数．当，取不同的值时会产生不同的．下列说法正确的个数有（ ） ①当，，时，多项式（，为整数），则的值为5； ②已知，则当（为正整数）时，，当（为正整数）时，； ③当，时，多项式，且满足．则当二次根式有意义时，多项式的最大值为． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13. 计算：________． 14. 因式分解：________． 15. 若多项式是一个完全平方式，则的值是___________． 16. 如图，，为角平分线上一点，，若，，则______． 17. 等腰的两边长为，，且则的周长为________． 18. 关于，的二元一次方程组的解为整数，关于的不等式组有且仅有2个奇数解，则所有满足条件的整数的和为________． 19. 如图，在等腰中，点为内部一点，连接，，，，记，若，则________．（用表示） 20. 如果一个自然数能分解成：，其中和都是两位数，且与的十位数字之和的平方与它们个位数字之和的平方的差为13，则称为“诚朴数”，把叫做的“诚朴分解”．例如：1435可分解为，满足，则1435的“诚朴分解”为，则“诚朴数”的“诚朴分解”是________；若将“诚朴数”的“诚朴分解”中的的十位数字与个位数字的差，与的十位数字与个位数字的和相加所得的和记为，将的十位数字的2倍与个位数字的和，与的十位数字与个位数字的差相减所得的差记为，．若是“诚朴数”，且能被6整除，则满足条件的的最大值与最小值的差为________． 三、解答题：（本大题6个小题，第21题20分，其余每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 21. 计算题 （1） （2） （3） （4） 22. 先化简，再求值： ，其中，满足． 23. 在学习了等腰三角形的相关知识后，数学学习小组进行了更深入的研究，他们发现一个三角形两边中线相等，则这个三角形是等腰三角形，可利用证明三角形全等得到此结论，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在中，点是边上的中点，用尺规过点作边的垂线交于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：在中，点、点分别是、边上的中点，过点作于点，过点作于点，满足，求证：是等腰三角形． 证明：∵点、点分别是、边上的中点， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴ ① ， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ ④ ， ∴ ∴是等腰三角形． 24. 随着科技的发展，智能机器人进入现代化车间，某智能制造车间有A、B两种机器人组装同一款玩具，一台种机器人比一台种机器人每小时多组装60个玩具，10台种机器人和5台B种机器人每小时共组装3000个． （1）求一台种机器人、一台种机器人每小时分别能组装多少个玩具？ （2）因玩具市场销售火爆，销售商决定向该车间追加订单，该车间随即对A、B两种机器人进行技术升级．升级工作全面完成后，种机器人每小时组装的玩具数量增加10%，B种机器人每小时组装的玩具数量增加20%．已知升级改造后，投入生产的A种机器人的台数比B种机器人台数的2倍还多15台，且A、B两种机器人每小时组装的玩具数量之和不低于23630个，那么该车间最少应安排多少台种机器人投入生产？ 25. 如图，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． （1）若，，求的长； （2）在（）条件下，点为边上一点，连接，过点作，且（点在直线的上方），连接交直线于点，若，求的长． 26. 如图，在中，，点E是底边上一点，连接，D为射线上一点，以A为顶点、为腰，在右侧作等边． （1）如图1，点D与点E重合，，连接，过F作于，当，求的值； （2）如图2，点D与点E重合，，K为中点，与相交于点N，当时，求证：； （3）如图3，，是的角平分线，将沿边向下翻折，得到，点D为射线与直线的交点，点E在边上的运动过程中，当最小时，过C作直线，在直线m上有一动点H，当的值最小时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $