精品解析：广西南宁市第三中学2025-2026学年高二上学期10月段考数学试题

南宁三中2025～2026学年度上学期高二段考 数学试题 2025.10 命题人：刘辉 审题人：蒙华生 黄樱 杨爵鸿 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（ ） A. 或 B. －1或－6 C. 或 D. －2或－7 7. 长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线距离的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 8. 已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，为椭圆上异于顶点的一点，分别是椭圆的左焦点和右顶点．过点分别向轴和直线作垂线，垂足分别为．记直线与轴的交点为为坐标原点，则下列比值与相等的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点在轴上方），为坐标原点，.则（ ） A. B. C. 与面积之比为3 D. 面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是______． 13. 已知椭圆（且）的焦点为为上的一点，若的周长为18，则椭圆的离心率为______． 14. 双曲线的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为△的内心，若内切圆的半径为1，则直线的斜率等于_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 16. 已知在中，. （1）判断的形状，并说明理由; （2）若点在边上，且.若，求的面积. 17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数； （2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ （3）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 参考公式：其中为总样本平均数． 18. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2． （1）求多面体的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 19. 已知椭圆的标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于，两点且不过原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标； （3）若直线，，的斜率分别为，且，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁三中2025～2026学年度上学期高二段考 数学试题 2025.10 命题人：刘辉 审题人：蒙华生 黄樱 杨爵鸿 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先对z进行变形化简，再结合复数和复平面的概念即可得到答案． 【详解】由，得，可得在复平面内对应的点为，位于第二象限． 故选：B． 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出的值，由此可知准线方程. 【详解】因为抛物线，所以， 因为准线方程为，所以准线方程为， 故选：D. 3. 若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先分别算出的值，然后将“与垂直”等价转换为，从而即可求解. 【详解】由题意有， 又因为与垂直， 所以， 整理得，解得. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角恒等变换及齐次式弦化切，即可求值. 【详解】. 故选：A． 5. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目所给条件，分析数列的周期性，通过周期性得到答案． 【详解】由题知，，，，， 所以3是数列的一个周期，所以． 故选：B． 6. 在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（ ） A. 或 B. －1或－6 C. 或 D. －2或－7 【答案】C 【解析】 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，根据，得到圆心C到直线l的距离， 再利用点到直线的距离公式求得t的值即可. 【详解】由题意可知，圆C：，标准化后可得圆C： 因为，，过点C作AB的垂线CD，.如图所示， ，在中，. 所以，圆心C到直线 l的距离: 因此，，解得， 故选：C . 7. 长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线距离的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】确定的中点的轨迹方程为圆，结合圆心到直线的距离即可求解. 【详解】设， 由题意可得：， 设的中点坐标为，则， 所以，即线段的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 圆心到的距离为：， 所以线段的中点到直线距离的最大值为， 故选：D 8. 已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，得，，，在中由勾股定理得，在中由勾股定理列方程可得答案. 【详解】 设，因为，所以， 由椭圆的定义可得，， 因为，在中由勾股定理得，解得 所以，， 在中由勾股定理得，从而可得. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，为椭圆上异于顶点的一点，分别是椭圆的左焦点和右顶点．过点分别向轴和直线作垂线，垂足分别为．记直线与轴的交点为为坐标原点，则下列比值与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由椭圆的几何性质逐个判断即可. 【详解】选项A：，A对； 选项B：，B对； 选项C：设，则不是定值，C错； 选项D：，D对． 故选：ABD 10. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据数列的通项公式，一一列举，分别分析选项即可. 【详解】由可知， 则，可知B、D正确，A、C错误. 故选：BD 11. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点在轴上方），为坐标原点，.则（ ） A. B. C. 与面积之比为3 D. 面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线方程由求出的值判断选项A；由求出点坐标，得直线MN的斜率和的值判断选项B；联立方程组利用韦达定理求出点坐标，可求与面积之比判断选项C；结合的坐标求出面积判断选项D. 【详解】抛物线的焦点为， ，即，解得，A选项正确； 抛物线，由，可得，. 直线MN的斜率为，则，B选项错误； 直线MN方程为，代入抛物线中有， 则有，得， ， 与面积之比为，C选项正确； ，D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是______． 【答案】1 【解析】 【分析】 求出右焦点坐标， 渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由知：， ，所以 ，即， 右焦点 ，其中一条渐近线， 所以右焦点到渐近线距离为， 故答案为：1 【点睛】本题组要考查了双曲线的基本性质，焦点到渐近线的距离等于，属于基础题. 13. 已知椭圆（且）的焦点为为上的一点，若的周长为18，则椭圆的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆定义分焦点在轴和轴分别研究的周长，可得的值，得解. 【详解】若的长半轴为3，即，又， 所以的周长小于12，不符题意． 所以的长半轴为，，解得， 所以椭圆， 所以的离心率为． 故答案为： 14. 双曲线的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为△的内心，若内切圆的半径为1，则直线的斜率等于_____. 【答案】 【解析】 【分析】首先设与圆的切点分别为，根据圆外一点引圆的切线长相等，结合双曲线的定义，列出等量关系式，求得，利用正切倍角公式，得到答案. 【详解】设与圆的切点分别为. 则， 所以 又，解得 连接 则， 故答案为：. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的焦点三角形的内切圆的问题，双曲线的定义，倍角正切公式，属于简单题目. 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义求解； （2）利用韦达定理求得，再根据抛物线的定义求解即可. 【小问1详解】 根据抛物线的定义可知， ，即，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，抛物线焦点为, 若直线l的斜率不存在，则, 则，不满足题意， 所以直线的斜率存在且不为零，并设为，则， 设， 联立，消去可得，， 所以， 因为， 解得， 所以直线的方程为. 16. 已知在中，. （1）判断的形状，并说明理由; （2）若点在边上，且.若，求的面积. 【答案】（1）三角形为直角三角形， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解，继而根据三角恒等变换可得，即可判断三角形的形状， （2）利用余弦定理可求解，即可利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由可得， 故，进而， 由于,故， 又，故, 化简可得,故， 由于,故， 进而,故三角形为直角三角形， 【小问2详解】 由于，，且为直角三角形， 设，则, 故在三角形中，由余弦定理可得,即，解得， 故 17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数； （2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ （3）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 参考公式：其中为总样本平均数． 【答案】（1），平均数74，中位数为75 （2）6人 （3）总平均数65，总方差36 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，根据平均数、中位数的计算公式计算即可； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的市民人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的市民人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【小问1详解】 由频率之和为结合频率分布直方图可得， 解得， 样本成绩的平均数约为． 区间，，的频率分别为． 因为， 的频率为，故中位数位于内 设中位数为x，则， 解得x＝75； 【小问2详解】 由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，，的三组市民有（人）， 其中样本答卷成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）． 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 18. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2． （1）求多面体的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定证平面，再由线面垂直性质有，由线面垂直判定平面，最后应用三棱锥体积公式计算求解； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再应用向量法求二面角余弦值； （3）令，,根据面面垂直及相关面的法向量列方程求参数，即可得答案. 【小问1详解】 因为，即, 又,平面， 所以平面，平面，所以. 又,平面，所以平面， 所以. 【小问2详解】 因为平面，，以为原点，为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以, 设平面的法向量，由，得， 因为平面，所以平面的法向量，所以. 因为所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 假设存在线段上存在一点，使得平面平面, 设，，则. 所以，设平面的法向量， 由，令，得， 因为平面平面，所以，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且. 19. 已知椭圆的标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于，两点且不过原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标； （3）若直线，，的斜率分别为，且，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，， 联立方程组消去得， 则，， 由，得， 由，得，即， 化简得， 从而， 化简得，即， 所以或（直线过点，舍去）， 即直线的方程为，所以直线过定点． 当直线的斜率不存在时，令，代入椭圆方程得， 则，所以， 可得，则，解得或（舍）， 所以直线的方程为，也过定点； （3）. 【解析】 【分析】（1）由离心率及椭圆上的点求椭圆参数，即可得方程； （2）讨论直线斜率的存在性，设直线为，，，联立椭圆，应用韦达定理并结合的坐标表示列方程求，即可得结论； （3）由（2）及题意得，进而得到，且，，应用点线距离、弦长公式、三角形面积公式得，最后应用基本不等式求范围即可. 【小问1详解】 由已知得，且， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知且，， ， 因为直线，，的斜率分别为，且， 所以，即，即， 又，所以，， 因为直线的斜率存在且不过原点，结合可得， 而斜率存在，故不为上下顶点，故， 设为点到直线的距离， 则 ， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $