精品解析：陕西省咸阳市武功县逸夫初级中学2025-2026学年八年级上学期数学第一次月考试题

2025—2026学年度第一学期周期学业能力评鉴 八年级数学（一） 注意事项：本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟．请将第一部分的答案填写在题后相应的答题栏内． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列实数，，0.1212212221（相邻两个1之间依次多一个2），，，中，无理数有（　　）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数、有理数的定义解答即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； =2、是整数，属于有理数； 无理数有、0.1212212221（相邻两个1之间依次多一个2）、，共有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如，，0.80800800008……(每两个8之间一次多1个0)等形式． 2. 下列说法中，错误的是（ ） A. 5是25的算术平方根 B. 的平方根是 C. 0的平方根与算术平方根都是0 D. 的平方根是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根的性质及计算方法，掌握以上知识是解题的关键． 根据平方根和算术平方根的性质，逐一分析选项． 【详解】解：A. 25的算术平方根是5，正确． B. ，9的平方根是，正确． C. 0的平方根和算术平方根均为0，正确． D. ，16的平方根是，但选项仅指出，错误． 故选：D． 3. 如图，有一个水池，截面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（　　） A. 15尺 B. 24尺 C. 25尺 D. 28尺 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质等知识，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．根据题意，可知EB'的长为14尺，则尺，设出尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程即可． 【详解】解：依题意画出图形， 设芦苇长尺，则水深尺，因为尺，所以尺， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴水深为：尺， 故选：B． 4. 已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（ ） A. B. 5 C. D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根的性质． 根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解n的值，再代入任一平方根表达式计算m即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得： ∴m的值为： 故选：D． 5. 勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样．下列各式能用如图所示的图形面积验证勾股定理的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键． 根据大正方形的面积等于四个直角三角形面积的和加上小正方形的面积计算． 【详解】解：大正方形的边长为，面积为， 小正方形的边长为，面积为， 四个直角三角形的面积都为， 所以， 故选：A． 6. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ） A. 5 B. 3 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】首先由勾股定理得AB，AC，BC的三边长，从而有AB2+AC2=BC2，得∠BAC=90°，再根据，代入计算即可． 【详解】解：由勾股定理得： ∵AB2+AC2=25，BC2=25， ∴AB2+AC2=BC2， ∴∠BAC=90°， ∴ ∴， ∴AD=2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆应用，通过勾股定理计算出三边长度，判断出∠BAC=90°是解题的关键． 7. 有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的x值为64时，输出的y值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，解题时要注意数值如何转换．依据转换器流程，先求出64的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数：再取算术平方根为， 最后输出，即可求出的值． 【详解】解：的算术平方根是8，8是有理数， 取8的立方根为2，是有理数， 再取2的算术平方根为， 是无理数， 则输出， 的值是． 故选：A． 8. 如图，，点为边上的两点，且，连结，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键． 利用已知条件证明三角形全等从而得出边和角的关系是解题的关键，再利用三角形的性质判断各个结论的正确性即可． 【详解】解： ，， ， 在与中， ， ，故①正确； ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 在中，， ，故③正确； ， ， ， ， 在中，， ， ，故④正确； 由题干条件无法证明出， 综上所述，其中正确的有①③④，共3个． 故选C． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 的算术平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 10. 如图，在数轴上，点，点分别表示实数，2，过点作．且，连接．若以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点对应的实数是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，熟练掌握数轴的性质是解题关键．设点对应的实数为，先求出，再根据勾股定理可得，从而可得，然后利用数轴的性质求解即可得． 【详解】解：设点对应的实数为， ∵在数轴上，点，点分别表示实数，2， ∴， ∵，， ∴， 由作图可知，， 又∵在数轴上，点表示实数，点在数轴的正半轴， ∴， ∴， 即点对应的实数为， 故答案为：． 11. 比较大小：________． （填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较实数的大小，先估算无理数的大小，进而即可得到答案． 【详解】解：∵，即：， ∴， ∴； 故答案为：． 12. 如图，已知，，，，则点C到BD的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先勾股定理求得，进而勾股定理的逆定理判定是直角三角形，进而根据等面积法求点C到BD的距离． 【详解】解：∵，， ∴ ，， ， 是直角三角形 设点C到BD的距离为，则 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理是解题的关键． 13. 若的三边长为、、，并且满足，则的形状是______． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了非负数的性质，解本题的关键是求出的值． 根据非负数的性质解得各边的长，再根据勾股定理的逆定理判定是否直角三角形． 【详解】解：为直角三角形，理由如下： 由题意得， 所以， 因为， 所以， ∴为直角三角形． 故答案为：直角三角形． 14. 如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是折叠问题及勾股定理，由折叠性质可知，设，则，利用勾股定理可以求出最后结果． 【详解】解：为中点， ， 由折叠的性质可知：， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 把下列各数填在相应的大括号里： ，，0，，，，，3.24，，3.1415 整数： 负分数： 正有理数： 无理数： ． 【答案】0，，；；，，，3.24，3.1415；，，． 【解析】 【分析】根据形如−5，−3，−2，0，1，3，5是整数，小于零的分数是负分数；大于零的有理数是正有理数，无限不循环小数是无理数，可得答案． 【详解】解：整数：，，； 负分数：； 正有理数： ，，，3.24，； 无理数：，，； 故答案为：0，，；；，，，3.24，3.1415；，，． 【点睛】本题考查了实数，有理数和无理数统称为实数，无限不循环小数是无理数，有限小数或无限循环小数是有理数． 16. 求下列各式中x的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根的性质和解一元一次方程等知识点，熟练掌握立方根的性质是解决此题的关键． （1）利用立方根的性质和解方程的步骤解答即可得解； （2）利用立方根的性质和解方程的步骤解答即可得解； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 17. 已知的平方根为，的立方根为，是的整数部分 （1）求a和b的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的定义以及无理数的估算，熟练掌握平方根、立方根的定义和无理数估算方法是解题的关键． （1）根据平方根的定义，一个数的平方根互为相反数，其平方相等，可由的平方根为列出方程求；再依据立方根的定义，若一个数的立方根为，则这个数是的立方，结合的值列出关于的方程求解． （2）先确定的整数部分得到，再将、、的值代入计算，最后求其平方根． 【小问1详解】 解：的平方根为， ，即， ， ． 的立方根为，， ，即， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ，即， ． 把，，代入， ． ， 的平方根为． 18. 如图，在由6个大小相同的小正方形（小正方形的边长为1）组成的方格中，A、B、C是三个格点（即小正方形的顶点），判断与的关系，并说明理由． 【答案】 和相等且垂直．理由如下： 如图，连接，由勾股定理可得 ，，， ∴，且， ∴是以为直角的等腰直角三角形， 即，且， ∴和的关系是相等且垂直． 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用，连接，再结合勾股定理及其逆定理可得答案． 【详解】略 19. 交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？ 【答案】超速 【解析】 【分析】解直角三角形，求出，再求出小汽车的速度，从而可进行判断．本题主要考查的是勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键． 【详解】∵是直角三角形，， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴这辆小汽车超速了． 20. 如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，，求：四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 在中，根据勾股定理可求得的长，然后根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，最后根据即可得解． 【详解】解：在中，，，， , 在中，，，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积是． 21. 如图，在正方形中，F为的中点，E为上一点，且，求证：． 【答案】 证明：设正方形的边长为， 即， ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴，则， 在中，，， 则， 在中，，， 则， 在中，，， 则， 在中，，，， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理解三角形以及勾股定理逆定理，设出边长根据勾股定理求解边长是解决本题的关键． 设出正方形的边长，根据勾股定理求出，再由勾股定理逆定理证明即可． 【详解】略 22. 如图，在中，，，，是延长线上的点，连接，若． （1）求的长； （2）过点作交于点，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，再由勾股定理求得，最后由角度和差即可求解； （）利用等面积法即可求解； 本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； 【小问2详解】 解：由（）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 已知：，，，，，根据上面的计算结果，回答下列问题： （1）______；若，______； （2）若a，b，c为三角形三边长，化简：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质及化简，根据二次根式的性质即可求出答案． （1）根据，结合已知条件求出结果即可； （2）根据三角形的三边关系可得，，，据此化简原式即可． 【小问1详解】 解：， ； 当时，， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵a，b，c为三角形三边长， ∴，，， ，，， 原式 ． 24. 【合作探究】如图①，在中，，过点作交于点，求的长．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． （1）设，则___________（用含的代数式表示）； （2）请根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程，并求出的值； 【类比应用】如图①，在中，，求的面积． 【答案】（1）； （2）由勾股定理，得， ， 故， 解得． 类比应用：24 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． （1）设，由表示出； （2）分别在直角三角形与直角三角形中，利用勾股定理表示出，列出关于x的方程，求出方程的解得到的值； 类比应用：过点作交的延长线于点，利用勾股定理解得，即可求出的面积． 【详解】（1）解：设， 故答案为：． （2）略 类比应用： 如图，过点作交的延长线于点， 则， 即， 解得， 所以， 所以． 25. 阅读下面问题： ； ； ． （1）求的值； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化： （1）仿照题意进行分母有理化即可； （2）先根据分母有理化的方法推出，据此把所求式子裂项并计算求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ， ∴ ． 26. 【问题背景】在四边形中，，连接、，，探究线段、、之间的数量关系． 小明同学的想法是：如图1，过点作，交延长线于点，则是等腰直角三角形，可通过证明，得到对应边、对应角相等，最终借助特殊三角形得出结论：．请根据小明的思路，完成以下证明过程： （1）①求证：； ②求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，若，，点是的中点，求的长． 【答案】 （1）①证明：如图，过点作，交延长线于点， ， ∴和均为等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ． ②证明：∵， ， ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ∴在 中，可有， 又 ∵在中，可有， ． （2） 【解析】 【分析】（1）①过点作，交延长线于点，则和均为等腰直角三角形，进而可得，，再证明，然后利用证明即可；（2）首先根据全等三角形的性质可得，再证明，进而在和中，利用勾股定理可知，，即可证明结论； （2）过点作于点，过点作于点，首先解得，易知和均为等腰直角三角形，进而确定，由勾股定理可解得的长度，进一步确定的值，然后利用勾股定理即可求得的值； 【详解】解：（1）①略 ②略 （2）如下图，过点作于点，过点作于点， 将代入， 可得，解得， ∵点是的中点， ， ， 和均为等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的性质等知识，难度较大，综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期周期学业能力评鉴 八年级数学（一） 注意事项：本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟．请将第一部分的答案填写在题后相应的答题栏内． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列实数，，0.1212212221（相邻两个1之间依次多一个2），，，中，无理数有（　　）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列说法中，错误的是（ ） A. 5是25的算术平方根 B. 的平方根是 C. 0的平方根与算术平方根都是0 D. 的平方根是 3. 如图，有一个水池，截面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（　　） A. 15尺 B. 24尺 C. 25尺 D. 28尺 4. 已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（ ） A. B. 5 C. D. 25 5. 勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样．下列各式能用如图所示的图形面积验证勾股定理的等式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ） A. 5 B. 3 C. 4 D. 2 7. 有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的x值为64时，输出的y值是（ ） A. B. 2 C. D. 8. 如图，，点为边上的两点，且，连结，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 的算术平方根是______． 10. 如图，在数轴上，点，点分别表示实数，2，过点作．且，连接．若以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点对应的实数是______． 11. 比较大小：________． （填“”“”或“”） 12. 如图，已知，，，，则点C到BD的距离为______． 13. 若的三边长为、、，并且满足，则的形状是______． 14. 如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为______． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 把下列各数填在相应的大括号里： ，，0，，，，，3.24，，3.1415 整数： 负分数： 正有理数： 无理数： ． 16. 求下列各式中x的值． （1）； （2）． 17. 已知的平方根为，的立方根为，是的整数部分 （1）求a和b的值； （2）求的平方根． 18. 如图，在由6个大小相同的小正方形（小正方形的边长为1）组成的方格中，A、B、C是三个格点（即小正方形的顶点），判断与的关系，并说明理由． 19. 交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？ 20. 如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，，求：四边形的面积． 21. 如图，在正方形中，F为的中点，E为上一点，且，求证：． 22. 如图，在中，，，，是延长线上的点，连接，若． （1）求的长； （2）过点作交于点，求的长． 23. 已知：，，，，，根据上面的计算结果，回答下列问题： （1）______；若，______； （2）若a，b，c为三角形三边长，化简：． 24. 【合作探究】如图①，在中，，过点作交于点，求的长．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． （1）设，则___________（用含的代数式表示）； （2）请根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程，并求出的值； 【类比应用】如图①，在中，，求的面积． 25. 阅读下面问题： ； ； ． （1）求的值； （2）计算：． 26. 【问题背景】在四边形中，，连接、，，探究线段、、之间的数量关系． 小明同学的想法是：如图1，过点作，交延长线于点，则是等腰直角三角形，可通过证明，得到对应边、对应角相等，最终借助特殊三角形得出结论：．请根据小明的思路，完成以下证明过程： （1）①求证：； ②求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，若，，点是的中点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $